微積分B(1)第十次習題課參考答案（第十四周教學目的：本周習題課練習的是廣義積分、瑕積分的有關內容，希望掌握被積函數的廣義積分的Abel與Dirichlet判別法，掌握廣義積分、瑕積分的Cauchy收斂準則，會計ln

ln（1）. dx(p0) （2）. dx(p0) x x（3）.ln(1x)dx(p0) （4）.ln(x1)pdx(p0) x 1 1x（5． )dx 2

lnsin dx； ． 3x(x2)2(x3x(x2)2(x1

|p1|x

|cos(ln （9．

1 dx （10．

(1 )dxxxln 1ln ln 1ln（２．ln

dxx

0x

dx

x

dx．

x xln(1 1ln(1 ln(1 1ln(1

x dx

x dx

x dx． x

dx的斂散性與1 ln(1 0x

dx一致

dx的斂散性與

dx一致．綜上可知，當1p2x x1 （４． )dx1ln(1 ) 1x 1x2 2)pdx )pdx1 1x 2 1x1xparctan xparctan

2

I2

2I1x0時q0

xparctan2

x

xparctan2

x

arctanx同階，故只當p1q1pq2I2x

xparctan2

q0

xparctan2

x

同階，故只當p1p1I2q0且2pq xparctan綜上所述，當

dx或q0且q2p

2

limx2lnsinx0， dx收斂，所1x x02lnsinxdx收斂 2 dx，瑕點x ．因為 且 dx(a)發散，所20lnsin

xlnsin 0x 2 20lnsin

dx發散 00

dxx0,x2,x4 x3(x2)3(x4)1411

11，所以 dx 0

3x(x3x(x2)2(x

5x3(x2)3(x4)33x(x2)2(x

|xa|p1|x

， I0

f(x)dx，Ii

ai2ai1

f

(i

1

f(x)dxa則f(x)dx

I1

n

a1 I0

|xa|p1|x

pn在pi1時收斂，在pi1

Ii(i12,n有唯一奇點ai，其在ai1時收斂，在ai1 與I0類似，In1a1 pn pi1時收斂，在pi1發散n|xa1||x

n（9cos(lnxdxcos 1 01

etdt 2n 12n因為lim 1，所以當n充分大時，有 2 tetdt 2costdt1．根t1

2n21

22n（101 sin

12 1o(u4 u u4u !

o(u4

u44)24 所以1 sin2x24x2o(x2)由

x2(1cos1sin1)

（1）.x3ex2dx 0 xln（3）.0(1x2

xdx ．0 x tx21

1

（1）

x3

dx

2

tedt2

etdt] e

arctanxdx1arctanx

(1

1 1

x(1x2 4 1 xln xln xln（3） (1x2)2dx0(1x2)2dx (1x2)2dx xln

xt1 xt1

tln2 20(1x2

+(11t

(t2)dt

(1

)2dt xln dx xln dx xln (1x2 0(1x2 (1x2 tln dt xln dx (1t2 (1x2由 2lnsinxdx2ln2 dx2ln2dx2ln dx2ln ln22ln

dx2lncos ln2

2lnsin

dxln

x ln2lnsinx ln22lnsintdt2 22lnsinxdx ln2 f(x)dx斂散與

f(x之間的關系

f(x)dx 1

Nf(x1nxnn21 1

f

lim1limf(x)0n

N

f(x在[a,f(x)dx收斂，則

f(x)0 如果將非負條件去掉，是否仍然有

f(x0反證：若

f(x)0不成立，則存在某個正數b，以及一個趨向于正無窮的點列{xnf(xn2bx1a1xn1xn2f(xbf(x)dxxnf(x)dxxkf(x)dx

2b2nb(當n k1xk k因此 f(x)dx發散

f(x)dx

f(x)=0

f(x)b0,若極限小于零,則考慮f(xXax f(x)2，因此有af(x)dxaf(x)dxXf(x)dx

f(x)dx (xX2x，得 f(x)dx發散 f(x)dxf(x在[a

)上單調，證明：

f(x)=0 f(x在[af(x0（x0[af(x00xx0f(xf(x00x f x

f(x)dx

f(x)dxf(x0)(xXf(x)dx 令x，得 f(x)dx發散

3

f(x)=0f(x)dxf(x在[a

limxf(x)=0 f(x在[af(x0 f(x)dx收斂，則0Xax2X時，|xf(t)dt|，即xf(t)dt 又f(x)[a)上單調遞減，有

22f(x)2

f(t)dt0xf(x2limxf(x)=0f(x在[a上連續可微，f(x)dx，f(x)dxlimf(x)=0 證明：由xf(x)dxf(xf(a，以及f(x)dxlimf(x 由于

f(x)dx