PAGEPAGE4空間中直線與直線之間的位置關系一、選擇題1．一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是()A．平行或異面 B．相交或異面C．異面 D．相交解析：選B假設a與b是異面直線，而c∥a，則c顯然與b不平行(否則c∥b，則有a∥b，矛盾)．因此c與b可能相交或異面．2.如圖所示，在三棱錐S—MNP中，E、F、G、H分別是棱SN、SP、MN、MP的中點，則EF與HG的位置關系是()A．平行B．相交C．異面D．平行或異面解析：選A∵E、F分別是SN和SP的中點，∴EF∥PN.同理可證HG∥PN，∴EF∥HG.3．如圖是一個正方體的平面展開圖，則在正方體中，AB與CD的位置關系為()A．相交 B．平行C．異面而且垂直 D．異面但不垂直解析：選D將展開圖還原為正方體，如圖所示．AB與CD所成的角為60°，故選D.4．下列命題中①如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等；②如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補；④如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行．正確的結論有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：選B對于①，這兩個角也可能互補，故①錯；對于②，正確；對于③，不正確，舉反例：如右圖所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個角既不一定相等，也不一定互補；對于④，由公理4可知正確．故②④正確，所以正確的結論有2個．5．若P是兩條異面直線l，m外的任意一點，則()A．過點P有且僅有一條直線與l，m都平行B．過點P有且僅有一條直線與l，m都垂直C．過點P有且僅有一條直線與l，m都相交D．過點P有且僅有一條直線與l，m都異面解析：選B逐個分析，過點P與l，m都平行的直線不存在；過點P與l，m都垂直的直線只有一條；過點P與l，m都相交的直線1條或0條；過點P與l，m都異面的直線有無數條．二、填空題6．空間中有一個角∠A的兩邊和另一個角∠B的兩邊分別平行，∠A＝70°，則∠B＝________.解析：∵∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.答案：70°或110°7．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與A1B1解析：設棱長為1，因為A1B1∥C1D，所以∠AED1就是異面直線AE與A1B1所成的角．在△AED1中，AE＝eq\r(12＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(3,2)，cos∠AED1＝eq\f(D1E,AE)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,2))＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．如圖，點P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是________．解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案：③三、解答題9.如圖所示，E、F分別是長方體A1B1C1D1—ABCD的棱A1A，C1求證：四邊形B1EDF是平行四邊形．證明：設Q是DD1的中點，連接EQ、QC1.∵E是AA1的中點，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C∴EQ綊B1C1∴四邊形EQC1B1為平行四邊形．∴B1E綊C1Q.又∵Q、F是DD1、C1C兩邊的中點，∴QD綊C1∴四邊形QDFC1為平行四邊形．∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF.∴四邊形B1EDF為平行四邊形．10．已知三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD成60°角，點M，N分別是BC，AD的中點，求直線AB和MN所成的角．解：如圖，取AC的中點P，連接PM，PN，因為點M，N分別是BC，AD的中點，所以PM∥AB，且PM＝eq\f(1,2)AB；PN∥CD，且PN＝eq\f(1,2)CD，所以∠MPN(或其補角)為AB與CD所成的角．所以∠PMN(或其補角)為AB與MN所成的角．因為直線AB與CD成60°角，所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.又因為AB＝CD，所以PM＝PN①，(1)若∠MPN＝60°，則△PMN是等邊三角形，所以∠PM