番禺中學(xué)2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)理試題試卷說(shuō)明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試時(shí)間120分鐘.試卷滿分150分.注意事項(xiàng)：1．考生應(yīng)在答題之前將班級(jí)、姓名、學(xué)號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡、答題卷指定的位置上．2．選擇題每小題選出答案后，應(yīng)將對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)填寫在答題卡指定的位置上．3．非選擇題的答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．本次考試過程中不得使用計(jì)算器．5．考生必須保持答題卡、答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將答題卡、答題卷一起交回．第Ⅰ卷選擇題(共40分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的．1．函數(shù)的定義域是（）....2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）....3．若直線過圓的圓心,則的值為()....4．閱讀右圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果是（）．....5．若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其側(cè)面積等于()....6．已知函數(shù)的部分圖象如題圖所示，則（）....丙的成績(jī)環(huán)數(shù)78910頻數(shù)46647．如圖，矩形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，若在矩形內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則點(diǎn)取自內(nèi)部的概率等于（）....8．已知向量（1，0），（0，1），（R），向量如圖所示.則（）A．存在，使得向量與向量垂直B．存在，使得向量與向量夾角為C．存在，使得向量與向量夾角為D．存在，使得向量與向量共線第二部分非選擇題（共110分）填空題：本大題共6小題．每小題5分，滿分30分9．某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有、、、名學(xué)生，為了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丙專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為.10．在中，，且,則邊AB的長(zhǎng)為．11．如圖，點(diǎn)在四邊形內(nèi)部和邊界上運(yùn)動(dòng)，那么的最小值為________.12．已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為4，則該雙曲線的離心率為．13．在平面直角坐標(biāo)系中,有一定點(diǎn),若線段的垂直平分線過拋物線的焦點(diǎn),則該拋物線的準(zhǔn)線方程是．14．如圖（１）是反映某條公共汽車線路收支差額（即營(yíng)運(yùn)所得票價(jià)收入與付出成本的差）與乘客量之間關(guān)系的圖象．由于目前該條公交線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種調(diào)整的建議，如圖（２）（３）所示.給出下說(shuō)法：①圖（2）的建議是：提高成本，并提高票價(jià)；②圖（2）的建議是：降低成本，并保持票價(jià)不變；③圖（3）的建議是：提高票價(jià)，并保持成本不變；④圖（3）的建議是：提高票價(jià)，并降低成本．其中所有說(shuō)法正確的序號(hào)是．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過程.15.(本小題滿分12分)已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域.16.(本題滿分12分)某日用品按行業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)依次為．現(xiàn)從一批該日用品中隨機(jī)抽取件，對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：（1）若所抽取的件日用品中，等級(jí)系數(shù)為的恰有件，等級(jí)系數(shù)為的恰有件，求的值；（2）在（1）的條件下，將等級(jí)系數(shù)為的件日用品記為，等級(jí)系數(shù)為的件日用品記為，現(xiàn)從這件日用品中任取兩件（假定每件日用品被取出的可能性相同），寫出所有可能的結(jié)果，并求這兩件日用品的等級(jí)系數(shù)恰好相等的概率．17.(本題滿分14分)如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，為的中點(diǎn)，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）證明：；（3）求三棱錐的體積.18.(本題滿分14分)已知二次函數(shù)滿足條件：且方程有等根.（1）求的解析式；（2）問是否存在實(shí)數(shù)使的定義域和值域分別為和，如存在，求出的值；如不存在，說(shuō)明理由．19.(本題滿分14分)已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值.20.(本題滿分14分)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，.設(shè).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，求證：(3)是否存在正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)均成立？若存在，求出的最大值，若不存在，說(shuō)明理由．廣東番禺中學(xué)2023-2023學(xué)年度上學(xué)期高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)二、填空題：本大題主要考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．本大題共6小題，．（9）16；（10）1；（11）1；（12）2；（13）；（14）②③.三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或推證過程.15.(本小題滿分12分)16.(本題滿分13分)解：（1）由頻率分布表得，即．…………2分因?yàn)樗槿〉募沼闷分校燃?jí)系數(shù)為的恰有件，所以，………3分又因?yàn)樗槿〉募沼闷分校燃?jí)系數(shù)為的恰有件，所以，………4分于是．所以，，．…6分（2）從件日用品中任取兩件，所有可能的結(jié)果為：．所以所有可能的結(jié)果共個(gè)。…9分設(shè)事件表示“從這件日用品中任取兩件，等級(jí)系數(shù)恰好相等”則包含的事件為，共個(gè)，…11分所以所求的概率為．…12分18.(本題滿分14分)解：（Ⅰ）方程，即，亦即，由方程有等根，得，∴①…………1分由，得②…………2分由①、②得，，，…………3分故.…………4分（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)、滿足條件，由（1）知，，…………5分則，即.…………7的對(duì)稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù).…………9分于是有，即，…………11分∴，又，∴.故存在實(shí)數(shù)，，使的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?…………14分19.(本題滿分14分)解(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸,半焦距,則半短軸.…………3分又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為…………4分(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0),…………5分由x=得x0=2x－1y=y0=2y－由點(diǎn)P在橢圓上,得,…………7分∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是.…8分(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此△ABC的面積S△ABC=1.…………9分當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(－,－),…………10分則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=,…………11分∴△ABC的面積S△ABC=于是S△ABC=…………12分由≥－1,得S△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時(shí),等號(hào)成立.…………13分∴S△ABC的最大值是.…14分20.(本題滿分14分)解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，由題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10,a1q2＋a1q4＝40))，…………2分∴a1＝q＝2，∴an＝2n，∴bn＝n.…………4分(2)∵c1＝1＜3，cn＋1－cn＝eq\f(n,2n)，…………5分當(dāng)n≥2時(shí)，cn＝(cn－cn－1)＋(cn－1－cn－2)＋…＋(c2－c1)＋c1＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(2,22)＋…＋eq\f(n－1,2n－1)，…………6分∴eq\f(1,2)cn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(2,23)＋…＋eq\f(n－1,2n).…………7分相減整理得：cn＝1＋1＋eq\f(1,2)＋…＋eq\f(1,2n－2)－eq\f(n－1,2n－1)＝3－eq\f(n＋1,2n－1)，…………8分因?yàn)閑q\f(n＋1,2n－1)大于零，故cn＜3.…………9分(3)令f(n)＝eq\f(1,bn＋1)＋eq\f(1,bn＋2)＋…＋eq\f(1,bn＋n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)…………10分∵f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2