成都樹(shù)德中學(xué)高2023級(jí)第二期期中考試數(shù)學(xué)試題命題牟秀錦考試時(shí)間:120分鐘試卷滿分：150分一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每題5分，共60分。每小題所給四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。請(qǐng)將所選答案代號(hào)填涂在機(jī)讀卡的相應(yīng)位置。1.若向量的模為，則（）A． B． C． D．2.如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)得AC的距離為50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，則可計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間離為（）A．B．C．D．3.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若，，成等差數(shù)列，則（）A．7 B．8 C．16 D．154．我們把1，3，6，10，15，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)子可以排成一個(gè)正三角形（如下圖），1361015…則第七個(gè)三角形數(shù)是（）A．27 B．28 C．29 D．305．已知三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則（）A．B．C．D．6．在中，，則A的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，當(dāng)時(shí)，，則S2023=（）A．1005B．1006C．1007D．10088．已知是等比數(shù)列，，是關(guān)于的方程的兩根，且，則銳角的值為（）A．B．C．D．9．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．B．C．D．10.數(shù)列滿足，若，則（）A．B． C． D．11．已知是等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)、，則（）A．2023B．4022C．0D．112．，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每題4分，共16分。請(qǐng)將答案填在答題卷的相應(yīng)位置。13．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則當(dāng)時(shí)，取得最大值。14.已知，則。15．若兩個(gè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，對(duì)任意的都有，則=。16.已知一非零“向量數(shù)列”滿足：，（）。給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列是等差數(shù)列；②；③設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，取得最大值；④記向量與的夾角為，則均有。其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是。成都樹(shù)德中學(xué)高2023級(jí)第二期期中考試數(shù)學(xué)試題答題卷二、填空題：13．；14．；15．；16．。三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共74分。解答必須寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或解答過(guò)程。17．（12分）已知為第二象限的角，，為第三象限的角，。求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的值。18．（12分）設(shè)數(shù)列滿足，。（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。19．（12分）已知向量，。設(shè)函數(shù)。（Ⅰ）求函數(shù)的最大值及此時(shí)x的取值集合；（Ⅱ）在角A為銳角的中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且的面積為3，，求a的值。20．（12分）從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)。根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少。本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加。（Ⅰ）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為萬(wàn)元，寫(xiě)出，的表達(dá)式；（Ⅱ）至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？21．（12分）已知函數(shù)，點(diǎn)、是函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為。（Ⅰ）求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；（Ⅱ）在數(shù)列中，若,,,,,,,，求數(shù)列的前項(xiàng)和。22．（14分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且。數(shù)列滿足()，且，。（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使不等式對(duì)一切都成立的最大正整數(shù)的值；（Ⅲ）設(shè)，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。成都樹(shù)德中學(xué)高2023級(jí)第二期期中考試數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：BADBCCBBB二、填空題：13．13；14.2；15．；16.②④。三、解答題17．解：（Ⅰ）因?yàn)闉榈诙笙薜慕牵浴?分………………………2分又，所以…………………4分（Ⅱ）因?yàn)闉榈谌笙薜慕牵裕?分又，…………10分所以…12分18．解：（Ⅰ）由已知，當(dāng)時(shí)，。………………………4分而，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為…………6分（Ⅱ）由知……①?gòu)亩?.②……………8分①-②得。………………10分即。…………12分19．解：（Ⅰ）…………4分令得，，此時(shí)的集合為……………6分（Ⅱ）由（I）可得。因?yàn)椋浴亩?分又……………10分又，……………………12分20．解：（I）第1年投入為800萬(wàn)元，第2年投入為萬(wàn)元，…，第n年投入為萬(wàn)元，所以，n年的總收入為……3分第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，第2年旅游業(yè)收入為萬(wàn)元，…，第n年旅游業(yè)收人為萬(wàn)元。所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為…6分（Ⅱ）設(shè)至少經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，由此，，……………9分，，，。，。答：至少經(jīng)過(guò)5年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入。……………………12分21．（Ⅰ）證明：由題意，EQ\f(1,2)(x1＋x2)＝EQ\f(1,2)，所以x1＋x2＝1………1分此時(shí)y1＋y2＝EQ\f(1,4x1＋2)＋\f(1,4x2＋2)＝\f(4x1＋4x2＋4,(4x1＋2)(4x2＋2))=EQ\f(4x1＋4x2＋4,4x1＋x2＋2(4x1＋4x2)＋4)＝\f(4x1＋4x2＋4,2(4x1＋4x2＋4))＝\f(1,2)……………4分∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值EQ\f(1,4)。……………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)x1＋x2＝1時(shí)，y1＋y2＝EQ\f(1,2)。由P1、P2的任意性，且EQ\f(k,m)＋\f(m－k,m)＝1，有f(EQ\f(k,m))＋f(\f(m－k,m))＝\f(1,2)。…………………6分∵Sm＝a1＋a2＋……＋am＝f(EQ\f(1,m))＋f(\f(2,m))＋……＋f(\f(m－2,m))＋f(\f(m－1,m))＋f(1) ……①又Sm＝f(1)＋f(EQ\f(m－1,m))＋f(\f(m－2,m))＋……＋f(\f(2,m))＋f(\f(1,m))……②………………8分①＋②得：2Sm＝2f(1)＋[f(EQ\f(1,m))＋f(\f(m－1,m))]＋[f(\f(2,m))＋f(\f(m－2,2))]＋……＋[f(\f(m－1,m))＋f(\f(1,m))]……，且f(1)＝EQ\f(1,4＋2)＝\f(1,6)。………………10分∴2Sm＝EQ\f(1,3)＋\f(m－1,2)＝\f(1,6)(3m－1)。∴Sm＝EQ\f(1,12)(3m－1)。………12分22．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),。而滿足上式。∴。又即，是