第2頁/共19頁順義區2025年高三統一測試試卷數學本試卷共6頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.2.已知平面向量，滿足，，，則（）A.6 B.3 C. D.3.下列函數中，單調遞增且值域為的是（）A. B. C. D.4.復數的共軛復數為，且滿足，則（）A.2 B. C.1 D.5.在天文學中，天體的明暗程度可以用視星等和絕對星等來描述.視星等是在地球上看到的星體亮度等級，視星等受恒星距離影響.絕對星等M是假設把恒星放在距離地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）時的視星等，這樣能比較不同恒星本身的亮度.視星等和絕對星等M滿足，其中是與地球的距離，單位為秒差距.若恒星A距離地球約32.6光年，恒星B距離地球約326光年，恒星A，B的視星等滿足，則（）A. B. C. D.6.已知,點M滿足，則的可能取值是（）A.4 B. C.1 D.7.六氟化硫是一種無機化合物，常溫常壓下為無色無味無毒不燃的穩定氣體.化學式為，在其分子結構中，硫原子位于中心，六個氟原子均勻分布在其周圍，形成一個八面體的結構.如圖所示，該分子結構可看作正八面體，記為，各棱長均相等，則平面與平面夾角的余弦值是（）A. B. C. D.8.設為等比數列，則“存在，使得”是“為遞減數列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.已知拋物線：的焦點為，準線為，過點的直線與交于不同的兩點A，B，為坐標原點，直線與交于點M，若，則的面積等于（）A. B. C. D.210.已知直線分別與函數和的圖象交于，，給出下列三個結論：①；②；③.其中正確結論的個數是（）A.0 B.1 C.2 D.3第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，且過點，則雙曲線的漸近線方程為______.12.若，則_______；________.13.已知直線：與圓：有兩個交點，則可以是_______.（寫出滿足條件的一個值即可）14.在中，，，則_______.15.已知函數，數列滿足，.給出下列四個結論：①若，則有3個不同的可能取值；②若，則；③對于任意，存在正整數，使得；④對于任意大于2的正整數，存在，使得；其中所有正確結論的序號是______.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，，.（1）若平面與棱交于點，且平面，求證：是中點；（2）若是棱上一點，且滿足，當時，求與平面所成角的正弦值.17.已知函數.（1）求的值；（2）再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為已知條件，使函數存在且唯一確定.當在區間上僅有一個零點時，求的取值范圍.條件①：在上是單調函數；條件②：圖象的一個對稱中心為；條件③：對任意的，都有成立.注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.18.AI智能閱卷是一種利用人工智能技術對試卷進行批改和評估的技米，它可以幫助教師提高閱卷效率，并為學生提供更快速更有針對性的反饋.某教師嘗試使用AI系統進行閱卷，由甲、乙兩種系統進行獨立閱卷評分.如果兩個系統評分相差2分及以下，則以兩種系統評分的平均分作為最后得分；如果兩個系統評分相差3分及以上，則人工進行復核閱卷并給出最后得分.從兩種系統進行閱卷的試卷中隨機抽取12份試卷作為樣本，其評分情況如下表所示：試卷序號123456789101112系統甲評分828876928766756990588684系統乙評分808276908061716588548280最后得分818576918564746789568483（1）從這12份試卷中隨機選取1份，求甲、乙兩種系統評分之差的絕對值不超過2分的概率；（2）從這12份試卷中隨機選取3份，甲、乙兩種系統評分之差的絕對值不超過2分的份數記為X，求X的分布列和數學期望；（3）從上述的12份試卷中隨機抽取1份，設甲系統對其評分為，乙系統對其評分為，最后得分為.令，，試比較方差和的大小.（結論不要求證明）19.已知橢圓：的一個頂點為，離心率為.（1）求的方程和短軸長；（2）直線：與E相交于不同的兩點B，C，直線，分別與直線交于點M，N.當時，求的值.20.已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）設，求證：是上的單調遞減函數；（3）求證：當時，21.已知數列：各項為正整數.對任意正整數，定義：，，其中表示有限集中的元素個數，規定.（1）對于數列：1，3，2，2，寫出，，，的值；（2）若數列：滿足.（i）若，令，當時，求；（ii）求證：.

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）C（2）D（3）B（4）A（5）C（6）B（7）D（8）B（9）A（10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12）；（13）（答案不唯一） （14）（15）=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題滿分13分）（Ⅰ）設與交點為，連結.因為平面，平面平面，平面.所以，又因為為中點，所以是中點.………5分（=2\*ROMANII）方法一：因為，，.所以平面，平面，所以.因為.所以，即可知，又.所以平面以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，經過點且平行于的直線為軸，建立空間直角坐標系.則，，，，．因此，，．因為，所以.所以，因此.設平面的法向量為，則即令，則．于是．所以．設與平面所成角為，則．所以，與平面所成角的正弦值為．………13分（=2\*ROMANII）方法二：取中點,連結因為四邊形為菱形，.所以為等邊三角形.所以.又因為.所以.因為，，.所以平面，平面，所以.因為.所以，即可知，又.所以平面以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系.則，，，．因此，，．因為，所以.所以，因此.設平面的法向量為，則即令，則．于是．所以．設與平面所成角為，則．所以，與平面所成角的正弦值為．………13分（17）（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）因為().所以………3分（Ⅱ）().選擇條件=1\*GB3①=2\*GB3②：因為在上是單調函數；所以最小正周期滿足：，即所以，又,所以.又因為圖象的一個對稱中心為；所以，即.所以.所以.因為，所以，又因為在區間上僅有一個零點所以,即所以的取值范圍是.選擇條件=1\*GB3①=3\*GB3③：因為在上是單調函數；所以最小正周期滿足：，即所以，又,所以.又對任意的，都有成立.所以為的最大值,即所以，即.所以,所以.因為，所以，又因為在區間上僅有一個零點所以,即所以的取值范圍是.………13分（18）（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）從這份試卷中隨機選取份，甲、乙兩種系統評分之差的絕對值不超過分為事件，則中包含的基本事件有個，所以.………4分（Ⅱ）從這份試卷中隨機選取份，甲、乙兩種系統評分之差的絕對值不超過分的份數記為，則的可能取值為.又,,,.所以，的分布列為數學期望.………11分（Ⅲ）.………14分（19）（本小題滿分15分）解：（=1\*ROMANI）由題設，解得．所以的方程為，短軸長為．………5分（=2\*ROMANII）設，，其中.由消去得所以.又直線的斜率直線的方程為，令可得.同理可得.又，所以即……=1\*GB3①又，.由題意可知所以=1\*GB3①式可得……=2\*GB3②.因為=所以=2\*GB3②式可得，解得.所以的值為.………15分（20）（本小題滿分15分）解：（Ⅰ）依題意，．又,所以.所以曲線在點處的切線方程為即.………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以.令，則因為，所以，即所以在上單調遞減，所以即，所以是上的單調遞減函數.………9分（III）令.則.由（Ⅱ）知，在上單調遞減.所以當時，，此時，即在上單調遞減所以，即當時，，，.所以即所以即綜上可得：當時，.………15分（21）（本小題滿分15分）解：（Ⅰ），，，………4分（Ⅱ）令，則，根據的定義，可知數列中有兩項等于1，根據數列的增減性質，可得；令，則，可知數列中有四項小于等于2，可得，……，以此類推可得得前項為，，其中………9分（Ⅲ）（法一）用數學歸納法證明對成立，（**）當時，令，，（*