第五章

大數定律及中心極限定理§5.1大數定律§5.2中心極限定理概率論與數理統計是研究隨機現象統計規律性的學科.隨機現象的規律性只有在相同的條件下進行大量重復試驗時才會呈現出來.也就是說，要從隨機現象中去尋求必然的法則，應該研究大量隨機現象.第五章大數定律及中心極限定理

研究大量的隨機現象，常常采用極限形式，由此導致對極限定理進行研究.極限定理的內容很廣泛，其中最重要的有兩種:與大數定律中心極限定理下面我們先介紹大數定律

§5.1大數定律則稱隨機變量序列Y1,Y2,…,Yn

,...依概率收斂于a

，記為:若對任意正數，有定義1

設Y1,Y2…,Yn

,...為一隨機變量序列，a是常數，例如:意思是:當a而意思是:時,Xn落在內的概率越來越大.,當定理1

（切比雪夫定理的特殊情況）設隨機變量序

列X1,X2,…,Xn,...相互獨立，且具有相同的數學期望和方差：E(Xk)=，D(Xk)=2(k=1,2,...),則對任意此定理表明:相互獨立具有相同期望和方差的隨機變量X1,X2,…,Xn的算術平均值依概率收斂于其數學期望值.即的>0，有提示：利用切比雪夫不等式證.證由切比雪夫不等式即關于定理1的說明:（這個接近是概率意義下的接近）即在定理條件下,n個隨機變量的算術平均,當n無限增加時,幾乎變成一個常數.定理2

（伯努利大數定律）設nA是n次獨立重復試驗中A發生的次數.p是事件A在每次試驗中發生的概率,則對任意>0,有證:因而E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-p),(k=1,2,...),由定理1,因為有即即：事件A發生的頻率依概率收斂于事件的概率p.這個定理以嚴格的數學形式表達了頻率的穩定性.此定理表明：

伯努利大數定律就是頻率穩定性的理論依據．因而在實際應用中，當試驗次數很大時，往往用事件發生的頻率來代替事件的概率．定理3（辛欽定理）設隨機變量序列X1,X2,…,Xn,...相互獨立且同分布，數學期望：E(Xk)=，則對任意正數，有

伯努利大數定律是辛欽定理的特殊情況.[注](證明略)

在客觀實際中有許多隨機變量,它們是由大量的相互獨立的隨機因素的綜合影響所形成的,而其中每一個別因素在總的影響中起到的作用都是微小的.這種隨機變量往往近似的服從正態分布.這種現象就是中心極限定理的客觀背景.

本節只介紹三個常用的中心極限定理.§5.2中心極限定理實例:考察射擊命中點與靶心距離的偏差.

這種偏差是大量微小的偶然因素造成的微小誤差的總和,這些因素包括:瞄準誤差、測量誤差、子彈制造過程方面(如外形、重量等)的誤差以及射擊時武器的振動、氣象因素(如風速、風向、能見度、溫度等)的作用,所有這些不同因素所引起的微小誤差是相互獨立的,并且它們中每一個對總和產生的影響不大.問題:

某個隨機變量是由大量相互獨立且均勻小的隨機變量相加而成的,研究其概率分布情況.定理1

設隨機變量X1,X2,…,Xn,…相互獨立，服從同一分布,且E(Xk)=，D(Xk)=20(k=1,2,...),則定理表明,當n充分大時,Yn近似服從標準正態分布.的分布函數Fn(x)滿足:對任意實數x，有(證明略)獨立同分布的中心極限定理例1

一盒同型號螺絲釘共100個，已知該型號的螺絲釘的重量是一個隨機變量，期望值是100g，標準差是10g，求一盒螺絲釘的重量超過10.2kg的概率.解：設Xi

為第i個螺絲釘的重量,i=1,2,…,100,且相互獨立,于是,一盒螺絲釘的重量為且由中心極限定理定理2(李雅普諾夫定理)設隨機變量X1,X2,…,Xn,…相互獨立,且具有數學期望和方差：E(Xk)=k，D(Xk)=2k0(k=1,2,...),

此定理表明，當n充分大時，Zn的分布近似于標準正態分布.記,若存在>0,使得則隨機變量的分布函數Fn(x)對任意x，有(證明略)證由§4.2例知,n可以看成n個相互獨立的服從同一(0-1)分布的隨機變量X1,...,Xn之和，即定理3(德莫佛-拉普拉斯定理)設隨機變量n(n=1,2,…)服從參數為n，p(0<p<1)的二項分布，則對任意x，恒有此定理表明，正態分布是二項分布的極限分布，所以當n充分大時，我們可以用標準正態分布近似二項分布.由定理1知，下面的圖形表明:正態分布是二項分布的逼近.中心極限定理的意義

在后面的課程中，我們還將經常用到中心極限定理.

中心極限定理是概率論中最著名的結果之一，它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的經驗頻率呈現出鐘形曲線這一值得注意的事實.例2

某車間有200臺車床獨立工作，設每臺車床的開工率為0.6，開工時耗電1千瓦，問供電所至少要供多少電才能以不小于

99.9%的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產？

至少供電142千瓦,才能保證以不小于99.9%的概率正常工作.,由定理3解記X為200臺車床中工作著的車床臺數，則X~b(200,0.6)．按題意，要求最小的k，使P{Xk}0.999

即例3

在人壽保險公司里,有3000個同一年齡的人參加保險.設在一年內這些人的死亡率為0.1%,參加保險的人在一年的頭一天交付保險費10元，死亡時，家屬可從保險公司領取2000元．求（1）保險公司一年中獲利不小于10000元的概率；（2）保險公司虧本的概率是多少？解設一年中死亡人數為X，X=0,1,…,3000,死亡率=0.001,則

而由拉普拉斯定理，有(1)P{保險公司獲利不小于10000元}=P{30000-2000X10000}=P{0X10},即一年中保險公司獲利10000元以上的概率為96%．X~b(3000,0.001).而保險公司每年獲利=300010-2000X(元)由此可見保險公司虧本的概率是很小的.(2)P{保險公司虧本}=P{2000X>30000}=P{X>15}解由中心極限定理,隨機變量Z近似服從正態分布N(0,1),例3其中

例３

高爾頓釘板試驗

如圖是高爾頓釘板，常常在賭博游戲中見到，現在可用中心極限定理來揭穿這個賭博中的奧秘.Yn=X1+X2+…+XnXi=

1,第i次碰釘后小球從左落下，

-1,第i次碰釘后小球從右落下.則Xi服從兩點分布，

E(Xi)=0,D(Xi)=1由中心極限定理知，Yn~N(0,n)由正態分布的特征知，小球落在中間的概率遠遠大于落在兩邊的概率.設為釘子的排數,Yn表示第次碰釘后小球的位置，對于一個學生而言,來參加家長