nnnnnnnnnn－n11nnnnnnnnnn－n111數(shù)列的概念

一、等差列：列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*或它的有限子集｛1,2，，…，n的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。例．根據(jù)列前，寫出它的通項(xiàng)公式：（1，3，7……；2425（2），，，；2345（3）

11，，，。1*22*33*44*5解）

a

n

=2

；（）

a

n

=

(nn

；（）

a

n

(=。(n點(diǎn)每一項(xiàng)序號(hào)與這一項(xiàng)的對(duì)應(yīng)系可看成是一個(gè)序號(hào)到另一個(gè)數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系考生的歸納推理能力有較高的要求。如1已知

an

nn156

(n

*

)

，則在數(shù)列

{}n

的最大項(xiàng)為__

；）數(shù)列

{}通項(xiàng)為an

，其中均正數(shù)，則與an

的大小關(guān)系為___；（3）知數(shù)列{}中，

n且{}是增數(shù)列，求實(shí)數(shù)取值范圍；2等差數(shù)列的斷方法

：義法

n

(為常n

n

(n2)。n例2．設(shè)S是列{}前和，且=，則{}（）等數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.非等比數(shù)列又非等差數(shù)列答案：；解一a=

S(nS(n2)n

nan(n∴a－1（nN）又－為數(shù)，

ana2

≠常數(shù)∴{a}等數(shù)列，但不是等比數(shù).解二果一個(gè)數(shù)列的和是一個(gè)沒有常數(shù)項(xiàng)的關(guān)于n的次函數(shù)這數(shù)一定是等差數(shù)列。點(diǎn)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識(shí)，以及靈活運(yùn)用遞推式=－S的理能力但不要忽略a，解法一緊扣定義，解法二較為靈。nnnnn2n81524151713a1372332nnnnn2n81524151713a137233211nnn12916955161110練練{}是差數(shù)列證b=n

a12n

n

N*為項(xiàng)公式的數(shù)列{}n為等差數(shù)列。3等差數(shù)列的項(xiàng)：n或)d。n1nna)n4等差數(shù)列的和：，nad22

。例3：等差數(shù)列{}前項(xiàng)記為S，a＋＋的值是一個(gè)定的常數(shù)，則數(shù){}中也為常數(shù)的項(xiàng))A

7

B．C．

13

D．解：p)∴3dpp×)13∴p答案：例4．等差數(shù){}，已知＝，＋＝，a＝33則n為()n3nA48BC50D解∵a(n×n50.C.答案：如1)等數(shù)列{}中，a，，則通項(xiàng)n1020

；（2）項(xiàng)-24的等數(shù)列，從第10項(xiàng)起始為正數(shù)，公差的取值范圍______；例5：設(shè)S是差列{}前項(xiàng)，＝－，＝－9，則S＝________.解：a9∴a8(a)72.答案：72例6已知數(shù){}等數(shù)列，若<，且它們的前項(xiàng)有大值，則使的na最大值為()11n101110111192011011n1nnn1111n101110111192011011n1nnn11A11B．C．．21解：∵<S10∴a>0a<019(aa)∴

10

S

20(aa)aanB.答案：如1數(shù)列{}中n＝＿，＝；

an

1315(n2,nN*)，，前n項(xiàng)和S，則a222（2）知數(shù)列{}前項(xiàng)

Sn

，求數(shù)列

{a|}n

的前

n

項(xiàng)和

T

.、等中：

a,

成等差數(shù)列，則A叫a與b的差中項(xiàng)，且

A

a2

。

n

提等差數(shù)的通項(xiàng)公式前n和式涉及到個(gè)元素：、d、、a及1，其中、d稱為本元素只要已知這5個(gè)素中的任意個(gè)，便可求出其余2個(gè)，1即知3求。（2）減少運(yùn)算，要意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，ada,d

…（公差為

；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，aaa,d

…（公差為

）6.等數(shù)的質(zhì)（）公差d0數(shù)且率為公差且常數(shù)項(xiàng)為.

時(shí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式nd是于的次函n1ndd前和Snadna)是關(guān)于n的次函數(shù)222（）公差

則為遞增等差數(shù)列若差

則為遞減等差數(shù)列若差

，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)

p

時(shí)有

ap

，特別地，當(dāng)

p

時(shí)，則有mn

p

.（）若

{}

、

{b}n

是等差數(shù)列，則

{ka}n

、

{}nn

(

k

、

是非零常數(shù)){

}(pqN

*

)

,,Snnnn

2

也成等差數(shù)列{}

成等比數(shù)列

{}是等比數(shù)列，且

a0n

，則

{lga}

是等差數(shù)列練練差列的前n項(xiàng)和為n和為的前3為。）在差數(shù)列

{}

中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)

時(shí)，

S偶

奇

；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)

n

時(shí)，數(shù)列中0nn56．．7967數(shù)列中0nn56．．7967nn515561261678956977811a，S奇偶中

n

（這里a即a:Sk中中奇偶

。練練項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列{}，奇數(shù)項(xiàng)和為80偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的n中間項(xiàng)與項(xiàng).（6）若等差數(shù)列{}{b}和分別為nna(2nnnfn.bnbn2練練設(shè){}{b}兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前nn

、n

，且nf(n)，則nB項(xiàng)和分別為和T，若nS3n，那么T43

nn

___________；“首正”的遞減差數(shù)列中，

項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和”的遞增等差n項(xiàng)的最小值是所有非正項(xiàng)之和一不等式組定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正二因等差數(shù)列前是關(guān)于的次數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性

nN

*

。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想此能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？練練等差數(shù)列{}中25，S，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求最大n值；例）｛N*）是等差數(shù)列S是前n項(xiàng)和，且S＜，＝＞，下列結(jié)論錯(cuò)的是（）d＜0B.a＝0C.＞

S與S均的最大值（2等差數(shù)列{}前項(xiàng)為，前2m和為，則它的前3m項(xiàng)為（）C.210D.260解）案C；由得a+a+++a<+…a+a，a>0又，a+…+a=+a+…，，由，a<0，而C選>，+a+a+2+）>0，由題設(shè)，<0顯然選是錯(cuò)誤的。（2答案C(3012解一由題意得方程組(2m100

，視m為已知數(shù)，解得

d

4010(m,mm2

，∴

S

3

ma1

3ma10(m3(3m122

。1231231233m21122231231231233m21122233232121n17181920解二設(shè)前項(xiàng)和為b，+1到項(xiàng)之和為，2到3m之和為，，b，也等差數(shù)列。于是=30，=100，差－30=40∴b=b+d∴前m項(xiàng)和=+b解三取m，則a=，=S－，從而=－。于是=a+d∴+a+a=210。等差課后習(xí)一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)。x．若ab,數(shù)列,x和數(shù)列a,y,y,b都等差數(shù)列，則y232ABC1D．43．在等差數(shù)列＝1aa＝8則aa41724

20

（）＝（）A40．等差數(shù)列

B．45．50D．55為x2，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）Aann．在等差數(shù)列{中an

Ban．2nD．a(chǎn)2nnn0,aa，則在中最大的負(fù)數(shù)為（）1110A．B．SC．SD．S．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為31,若此數(shù)列從第開始小于，則此數(shù)列的公差的值范圍是A(－∞,－2)B[

1515－C．－+∞)D—77

（）－．在等差數(shù)列

{}n

中，若

18,S240,9

n

30

，則值為（）A．18

B17．

C．16D．15．等差數(shù)列{a}中，aan2A－20．5B．－．5

50

200,a5152C．－

2700,a等于（）1D．－．已知某數(shù)列前

n

項(xiàng)之和

n

3

為，且前

n

個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的和為

n(4n3)

，則前

n

個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的和為

（）A

n

2

n

B

n

2

(4n

C．

2

D．

n

．一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列，它的前5的和為34，最后5項(xiàng)的和為所項(xiàng)的和為，則它的第七項(xiàng)等于

（）A22B．．19D．1810．差數(shù)列aa2，若ｍ＞1且0，nmm38則的值是（）2mA10BC．20D．38二、填空題請(qǐng)把答案填在題中橫線上。．已知

{}n

是等差數(shù)列，且

aa410

57,a77,若a46則k12在ABC中A，，C成差數(shù)列，則

Ctan322

n6nn1314nn6nn1314nn00kk+113在等差數(shù)列

{}中，若a120，n48121012

14

n

是等差數(shù)列

{}n

的前n項(xiàng)，

2,an

30

≥5

nN

*

)，

n

=336，則n的值是

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說、證明過程或演算步.15己{}n

為等差數(shù)列，

2

，若在每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，求：（1數(shù)列的第項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)？（數(shù)的第29是原數(shù)列的第幾項(xiàng)？16數(shù)列，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項(xiàng)為正，第七項(xiàng)為負(fù)。（1求數(shù)列公差）前項(xiàng)s的大值）當(dāng)時(shí)求的最大值。17設(shè)等差數(shù)列{}前ｎ項(xiàng)的和為且=62,S=求n（1）{a}通項(xiàng)公式及前ｎ項(xiàng)的和S；n（2）|+……18已知數(shù)列1=3且2an+1=Sn·n(n≥2).（1）求證：{}等數(shù)并求公差）{}通公式；（3數(shù){}是否存在自然數(shù)k,得當(dāng)自然數(shù)k≥k時(shí)不等式對(duì)任意大于等于k的然數(shù)都成,存在求出最小的k值,否則請(qǐng)說明理由.1dn(11dn(1選擇題：ABCCBDABDA填空題：118；．；．24；14．解答題：15．分析：應(yīng)找到數(shù)列的第項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)，即找出新、舊數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系。解：設(shè)新數(shù)列2,據(jù)bbn,有b1n即3=2+4d，∴，b4n4Qa

4

，∴

ann即原數(shù)列的第n為新數(shù)列的第－3項(xiàng)．當(dāng)時(shí)，4n－－故原數(shù)列的第項(xiàng)為新數(shù)列的第45項(xiàng)由4n－3=29,n=8，新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第8項(xiàng)。說明一般地在公差為d的等差數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入m個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列則新數(shù)列的公差為

m

.

原數(shù)列的第項(xiàng)是新數(shù)列第－－項(xiàng)．16．解：（1，a0，，67∴23a6（2n