2020-2021學年廣東省廣州市花都區九年級第一學期期末數學試卷一、選擇題（每小題3分）1．在平面直角坐標系中，點（3，﹣5）關于原點對稱的點是（）A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5）2．下列事件中是必然事件的是（）A．打開電視機，正在播放中央電視臺的《開學第一課》 B．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈 C．任意畫一個三角形，其內角和是180° D．同位角相等3．二次函數y＝（x﹣2）2+3的圖象的頂點坐標是（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）4．下列數學符號屬于中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．已知⊙O的半徑為6cm，點P是⊙O內的一點，則線段OP的長度可能為（）A．5cm B．6cm C．9cm D．12cm6．關于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有兩個實數根，則k的取值范圍是（）A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠07．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D是AC上一點，DE⊥AB于點E，AB＝10，BC＝6，DE＝，則AD的長為（）A． B．3 C．4 D．58．若點（x0，y0）在函數y＝（x＜0）的圖象上，且x0y0＝﹣2，則它的圖象大致是（）A． B． C． D．9．如圖是一個以點O為圓心、半徑為的圓的一部分，若過圓心O的直線EM垂直于弦CD，垂足為M，并且CD＝3，則EM為（）A．3 B． C． D．510．已知二次函數y＝﹣x2+2x+5，若P（n，y1），Q（n﹣2，y2）是該二次函數圖象上的兩點，且y1＞y2，則實數n的取值范圍為（）A．n＜﹣1 B．n＜0 C．n＜1 D．n＜2二、填空題（共6小題）.11．某校九年級共有50名學生參加社區垃圾分類志愿者服務活動，其中男生有30名，女生有20名，若從中隨機抽一名學生，恰好抽到男生的概率是．12．關于x的方程x2﹣2x+c＝0有一個根是1，那么實數c的值是．13．如圖，△DEF與△ABC位似，點O為位似中心，已知OF：OC＝1：2，則△DEF與△ABC的周長之比是．14．如圖，已知圓錐的底面半徑為3，圓錐的母線與高的夾角θ為30°，則圓錐的側面展開圖的面積是．15．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（2，﹣2），圖象與x軸交于點B（m，0）和點C，且點B在點C的左側，那么線段BC的長是.（請用含字母m的代數式表示）16．如圖，將一個半徑OA＝4cm，圓心角∠AOB＝60°的扇形繞點B順時針旋轉得到扇形A′O′B，若OA∥O′B，則半徑OA的中點P運動的路徑長為cm．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．解方程：x2+6x+5＝0．18．如圖，把△ABC繞點A順時針旋轉50°到△ADE的位置，若AD⊥BC于點F，求∠D的度數．19．以物聯網、大數據、人工智能為基礎的技術創新促進了新行業發展，新行業發展對人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘總線、測試、軟件、硬件四類專業的畢業生共30人，新招聘畢業生的專業分布情況繪制成如下不完整的條形圖．請根據以上信息，解答下列問題：（1）“總線”專業有人，并補全條形圖；（2）新招聘“軟件”專業的畢業生中只有兩人是同校畢業，該公司從新招聘“軟件”專業的畢業生中隨機抽取兩人參加問卷調查，求抽到兩人恰好是同校畢業的概率．20．如圖，∠MAN＝60°，點B、C分別在AM、AN上，且∠ABC＝20°．（1）尺規作圖：作∠CBM的角平分線BD，BD與AN相交點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中，求證：△ABC∽△ADB．21．隨著國內新能源汽車的普及，為了適應社會的需求，全國各地都在加快公共充電樁的建設，某省2018年公共充電樁的數量為1萬個，2020年公共充電樁的數量為萬個．（1）求2018年至2020年該省公共充電樁數量的年平均增長率；（2）按照這樣的增長速度，預計2021年該省將新增多少萬個公共充電樁？22．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠D＝60°，AD為直徑的⊙O經過點C，AB是⊙O的切線，OE∥BC．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若AE＝1，求BE的長．23．如圖，平行四邊形OABC的頂點A在y軸的正半軸上，點D（2，4）在對角線OB上，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過C，D兩點．（1）求m的值；（2）若△BOC的面積是12，求點C的坐標．24．已知拋物線y＝ax2﹣3ax+經過點A（5，0），且與y軸交于點B，點E在該拋物線的對稱軸上運動．（1）求拋物線的對稱軸；（2）若△ABE是以AB為直角邊的直角三角形，求點E的坐標；（3）若點P（m，n）是拋物線上的一個動點，當點E運動到x軸上時，連接EP，經過探究發現，隨著n的變化，EP2與n之間存在一個函數關系，求這個函數關系式，并求出EP2的最小值．25．如圖1，⊙O為Rt△ABC的外接圓，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝4，點D是⊙O上的動點，且點C、D分別位于AB的兩側．（1）求⊙O的半徑；（2）當CD＝4時，求∠ACD的度數；（3）設AD的中點為M，在點D的運動過程中，線段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題（共10小題）.1．在平面直角坐標系中，點（3，﹣5）關于原點對稱的點是（）A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（5，﹣3） D．（﹣3，﹣5）【分析】根據兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案．解：點（3，﹣5）關于原點對稱的點是（﹣3，5），故選：B．2．下列事件中是必然事件的是（）A．打開電視機，正在播放中央電視臺的《開學第一課》 B．經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈 C．任意畫一個三角形，其內角和是180° D．同位角相等【分析】根據事件發生的可能性大小判斷，得到答案．解：A、打開電視機，正在播放中央電視臺的《開學第一課》，是隨機事件；B、經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈，是隨機事件；C、任意畫一個三角形，其內角和是180°，是必然事件；D、同位角相等，是隨機事件；故選：C．3．二次函數y＝（x﹣2）2+3的圖象的頂點坐標是（）A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）【分析】根據頂點式可直接寫出頂點坐標．解：∵拋物線解析式為y＝（x﹣2）2+3，∴二次函數圖象的頂點坐標是（2，3）．故選：A．4．下列數學符號屬于中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．解：A、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故選：B．5．已知⊙O的半徑為6cm，點P是⊙O內的一點，則線段OP的長度可能為（）A．5cm B．6cm C．9cm D．12cm【分析】當⊙O的半徑是R，點P到圓心O的距離是d，當d＝R時，點P在⊙O上，當d＜R時，點P在⊙O內，當d＞R時，點P在⊙O外，根據以上內容判斷即可．解：∵點P在⊙O內，⊙O的半徑為6cm，∴OP＜6cm，A、5cm＜6cm，故本選項正確；B、6cm＝6cm，此時P在圓上，故本選項錯誤；C、9cm＞6cm，此時P在圓外，故本選項錯誤；D、12cm＞6cm，此時P在圓外，故本選項錯誤；故選：A．6．關于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有兩個實數根，則k的取值范圍是（）A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0解：∵方程有兩個實數根，∴根的判別式△＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0，即k≤4，且k≠0．故選：D．7．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D是AC上一點，DE⊥AB于點E，AB＝10，BC＝6，DE＝，則AD的長為（）A． B．3 C．4 D．5【分析】先△ADE∽△ABC；利用對應邊成比例即可求解．解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC；∴．即：．∴AD＝4．故選：C．8．若點（x0，y0）在函數y＝（x＜0）的圖象上，且x0y0＝﹣2，則它的圖象大致是（）A． B． C． D．解：因為（x0，y0）在函數y＝（x＜0）的圖象上，所以k＝x0y0＝﹣2＜0；又因為x＜0，所以圖象只在第二象限．故選：B．9．如圖是一個以點O為圓心、半徑為的圓的一部分，若過圓心O的直線EM垂直于弦CD，垂足為M，并且CD＝3，則EM為（）A．3 B． C． D．5解：連接OC，如圖所示：則OC＝OE＝＝，∵EM⊥CD，∴CM＝DM＝CD＝，由勾股定理得：OM＝＝＝2，∴EM＝OE+OM＝+2＝，故選：C．10．已知二次函數y＝﹣x2+2x+5，若P（n，y1），Q（n﹣2，y2）是該二次函數圖象上的兩點，且y1＞y2，則實數n的取值范圍為（）A．n＜﹣1 B．n＜0 C．n＜1 D．n＜2【分析】將n，n﹣2代入二次函數解析式即可得出n的取值范圍．解：∵P（n，y1），Q（n﹣2，y2）是函數y＝﹣x2+2x+5的圖象上的兩點，且y1＞y2，∴﹣n2+2n+5＞﹣（n﹣2）2+2（n﹣2）+5，化簡整理得，4n﹣8＜0，∴n＜2，∴實數n的取值范圍是n＜2，故選：D．二、填空題（共6小題）.11．某校九年級共有50名學生參加社區垃圾分類志愿者服務活動，其中男生有30名，女生有20名，若從中隨機抽一名學生，恰好抽到男生的概率是．【分析】用男生的人數除以所有學生的人數的和即可求得答案．解：∵共50名學生，其中男生30名，∴從中隨機抽一名學生，恰好抽到男生的概率是＝，故答案為：．12．關于x的方程x2﹣2x+c＝0有一個根是1，那么實數c的值是1．【分析】把x＝1代入已知方程，列出關于c的一元一次方程，通過解該方程來求c的值．解：∵關于x的方程x2﹣2x+c＝0有一個根是1，∴12﹣2×1+c＝0，即﹣1+c＝0，解得c＝1．故答案是：1．13．如圖，△DEF與△ABC位似，點O為位似中心，已知OF：OC＝1：2，則△DEF與△ABC的周長之比是1：2．【分析】直接利用位似圖形的性質得出△DEF與△ABC的周長之比．解：∵△DEF與△ABC位似，點O為位似中心，∴△DEF與△ABC的周長之比是：1：2．故答案為：1：2．14．如圖，已知圓錐的底面半徑為3，圓錐的母線與高的夾角θ為30°，則圓錐的側面展開圖的面積是18π．【分析】先利用含30度的直角三角形三邊的關系得到圓錐的母線長為6，由于錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則利用扇形的面積公式可計算出圓錐的側面展開圖的面積．解：∵圓錐的母線與高的夾角θ為30°，底面半徑為3，∴圓錐的母線長為6，∴圓錐的側面展開圖的面積＝×2π×3×6＝18π．故答案為18π．15．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（2，﹣2），圖象與x軸交于點B（m，0）和點C，且點B在點C的左側，那么線段BC的長是4﹣2m.（請用含字母m的代數式表示）【分析】根據拋物線的軸對稱性質解答．解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（2，﹣2），∴拋物線的對稱軸是直線x＝2．∵點B（m，0）和點C關于直線x＝2對稱，∴點C的坐標是（4﹣m，0）．∴BC＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．故答案是：4﹣2m．16．如圖，將一個半徑OA＝4cm，圓心角∠AOB＝60°的扇形繞點B順時針旋轉得到扇形A′O′B，若OA∥O′B，則半徑OA的中點P運動的路徑長為πcm．【分析】證明△AOB是等邊三角形，求出BP，∠PBP′，利用弧長公式求解即可．解：連接PB，AB．∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∵OP＝PA，∴∠APB＝∠OPB＝30°，PB⊥OA，∴PB＝OB?cos30°＝2（cm），∵OA∥BO′，∴∠OAB＝∠ABO′，∴∠PBP′＝30°+60°+30°＝120°，∴半徑OA的中點P運動的路徑長為＝π（cm）．故答案為：π．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．解方程：x2+6x+5＝0．【分析】利用因式分解法解方程．解：（x+1）（x+5）＝0，x+1＝0或x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣5．18．如圖，把△ABC繞點A順時針旋轉50°到△ADE的位置，若AD⊥BC于點F，求∠D的度數．【分析】由旋轉的性質可得∠B＝∠D，∠BAD＝50°，即可求解．解：∵把△ABC繞點A順時針旋轉50°到△ADE的位置，∴∠B＝∠D，∠BAD＝50°，∵AD⊥BC，∴∠B＝40°＝∠D．19．以物聯網、大數據、人工智能為基礎的技術創新促進了新行業發展，新行業發展對人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘總線、測試、軟件、硬件四類專業的畢業生共30人，新招聘畢業生的專業分布情況繪制成如下不完整的條形圖．請根據以上信息，解答下列問題：（1）“總線”專業有8人，并補全條形圖；（2）新招聘“軟件”專業的畢業生中只有兩人是同校畢業，該公司從新招聘“軟件”專業的畢業生中隨機抽取兩人參加問卷調查，求抽到兩人恰好是同校畢業的概率．【分析】（1）由總人數減去其它三類專業的畢業生人數得出“總線”專業人數，補全條形圖即可；（2）畫樹狀圖，共有12個等可能的結果，其中抽到兩人恰好是同校畢業的結果有2個，再由概率公式求解即可．解：（1）總線”專業有：30﹣12﹣4﹣6＝8（人），故答案為：8；補全條形圖如圖：（2）把同校畢業的兩人記為A、A'，其他兩人記為B、C，畫樹狀圖如圖：共有12個等可能的結果，其中抽到兩人恰好是同校畢業的結果有2個，∴抽到兩人恰好是同校畢業的概率為＝．20．如圖，∠MAN＝60°，點B、C分別在AM、AN上，且∠ABC＝20°．（1）尺規作圖：作∠CBM的角平分線BD，BD與AN相交點D；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中，求證：△ABC∽△ADB．【分析】（1）根據題意作出圖形即可；（2）根據角平分線定義和相似三角形的判定定理即可得到結論．解：（1）如圖所示，線段BD即為所求；（2）∵∠ABC＝20°，∴∠CBM＝160°，∵BD平分∠CBM，∴∠CBD＝CBM＝80°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠CBD＝20°，∴∠ABC＝∠ADB，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB．21．隨著國內新能源汽車的普及，為了適應社會的需求，全國各地都在加快公共充電樁的建設，某省2018年公共充電樁的數量為1萬個，2020年公共充電樁的數量為萬個．（1）求2018年至2020年該省公共充電樁數量的年平均增長率；（2）按照這樣的增長速度，預計2021年該省將新增多少萬個公共充電樁？【分析】（1）設2018年至2020年該省公共充電樁數量的年平均增長率為x，根據該省2018年及2020年公共充電樁，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）根據該省2021年公共充電樁數量＝該省2020年公共充電樁數量×增長率，即可求出結論．解：（1）設2018年至2020年該省公共充電樁數量的年平均增長率為x，依題意得：（1+x）2＝，解得：x1＝＝70%，x2＝﹣（不合題意，舍去）．答：2018年至2020年該省公共充電樁數量的年平均增長率為70%．（2）×70%＝（萬個）．答：預計2021年該省將新增萬個公共充電樁．22．如圖，已知四邊形ABCD，∠B＝∠D＝60°，AD為直徑的⊙O經過點C，AB是⊙O的切線，OE∥BC．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若AE＝1，求BE的長．【分析】（1）由等邊三角形的判定與性質得出∠DCO＝60°，由四邊形內角和定理求出∠OCB＝90°，則可得出答案；（2）連接OB，由切線長定理得出∠OBA＝30°，由直角三角形的性質得出AB的長，則可求出答案．解：（1）連接OC，∵∠B＝∠D＝60°，∴△ODC為等邊三角形，∴∠DCO＝60°，∵AB是⊙O的切線，∴∠OAB＝90°，∵∠A+∠B+∠C+∠BCD＝360°，∴∠BCO＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D﹣∠OCD＝360°﹣90°﹣60°﹣60°﹣60°＝90°，∴OC⊥BC，∴BC是⊙O的切線；（2）如圖，連接OB，∵OE∥BC，∠ABC＝60°，∴∠OEA＝∠ABC＝60°，∴∠AOE＝90°﹣∠OEA＝30°，∵AE＝1，∴OE＝2AE＝2，∴OA＝＝＝，∵BA，BC是⊙O的切線，∴∠OBA＝∠ABC＝30°，∴OB＝2OA＝2，∴AB＝＝＝3，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2．23．如圖，平行四邊形OABC的頂點A在y軸的正半軸上，點D（2，4）在對角線OB上，反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過C，D兩點．（1）求m的值；（2）若△BOC的面積是12，求點C的坐標．【分析】（1）根據待定系數法即可求得；（2）延長BC，交x軸于E，作DF⊥x軸于F，即可得到S△ODF＝S△OCE＝4，從而得到△OBE的面積為16，通過證得△ODF∽△OBE，證得OE＝4，把C的橫坐標代入解析式即可求得C的縱坐標．解：（1）∵反比例函數y＝（x＞0）的圖象經過點D（2，4），∴m﹣2＝2×4＝8，∴m＝10；（2）延長BC，交x軸于E，作DF⊥x軸于F，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴BC∥y軸，∵反比例函數為y＝的圖象經過C，D兩點．∴S△ODF＝S△OCE＝4，∵△BOC的面積是12，∴△OBE的面積為16，∵點D（2，4），∴OF＝2，∵DF∥BE，∴△ODF∽△OBE，∴＝（）2＝，∴OE：OF＝2：1，∴OE＝2OF＝4，∴C點的橫坐標為4，把x＝4代入y＝得，y＝2，∴點C的坐標為（4，2）．24．已知拋物線y＝ax2﹣3ax+經過點A（5，0），且與y軸交于點B，點E在該拋物線的對稱軸上運動．（1）求拋物線的對稱軸；（2）若△ABE是以AB為直角邊的直角三角形，求點E的坐標；（3）若點P（m，n）是拋物線上的一個動點，當點E運動到x軸上時，連接EP，經過探究發現，隨著n的變化，EP2與n之間存在一個函數關系，求這個函數關系式，并求出EP2的最小值．【分析】（1）根據對稱軸x＝﹣計算即可．（2）直線直線AB的解析式，可得N（，），推出BN＝，AN＝，分兩種情形利用相似三角形的性質，求出EN，NE′可得結論．（3）根據二次函數，利用二次函數的性質求解即可．解：（1）拋物線的對稱軸x＝﹣＝（2）∵拋物線y＝ax2﹣3ax+經過點A（5，0），∴25a﹣15a+＝0，∴a＝﹣，如圖1中，設拋物線的對稱軸交AB于N，交x軸于T．∵A（5，0），B（0，），∴OB＝，OA＝5，∴A