2015年高考數學（理）試題（陜西卷）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.設集合，，則（）A．B．C．D．答案：A解析：，，所以，故選A．知識點：一元二次方程、對數不等式、集合的并集運算．2.某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數為（）A．167B．137C．123D．93答案：B解析：該校女老師的人數是，故選B.知識點：扇形圖3.如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數，據此函數可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（）A．5B．6C．8D．10答案:C解析：由圖象知：，因為，所以－3+k＝2，解得：k=5，所以這段時間水深的最大值是，故選C．知識點：三角函數的圖象與性質．4.二項式的展開式中的系數為15，則（）A．4B．5C．6D．7答案：C解析：二項式的展開式的通項是，令得的系數是，因為的系數為，所以，即，解得：或，因為，所以，故選C．知識點：二項式定理．5.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．B．C．D．答案：D解析：由三視圖知：該幾何體是半個圓柱，其中底面圓的半徑為1，母線長為2，所以該幾何體的表面積是，故選D．知識點：1、三視圖；2、空間幾何體的表面積．6.“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：A解析：因為，所以或，因為，但“”“”，所以“”是“”的充分不必要條件，故選A．知識點：1、二倍角的余弦公式；2、充分條件與必要條件．7.對任意向量，下列關系式中不恒成立的是（）A．B．C．D．答案：B解析：因為，所以選項A正確；當與方向相反時，不成立，所以選項B錯誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項C正確；，所以選項D正確．故選B．知識點：1、向量的模；2、向量的數量積．8.根據右邊的圖，當輸入x為2006時，輸出的（）A．28B．10C．4D．2答案：B解析：初始條件：x=2006；第1次運行：x=2004；第2次運行：x=2002；第3次運行：x=2000；……；第1003次運行：x=0；第1004次運行：x=-2．不滿足條件，停止運行，所以輸出的y=32+1=10，故選B．知識點：程序框圖．9.設，若，，，則下列關系式中正確的是（）A．B．C．D．答案：C解析：，，，函數，在(0,+∞)上單調遞增，因為，所以，所以q>p=r，故選C.知識點：1、基本不等式；2、基本初等函數的單調性．10.某企業生產甲、乙兩種產品均需用A，B兩種原料．已知生產1噸每種產品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產1噸甲、乙產品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業每天可獲得最大利潤為（）A．12萬元B．16萬元C．17萬元D．18萬元答案:D解析:設該企業每天生產甲、乙兩種產品分別為x、y噸，則利潤z=3x+4y,由題意可列，其表示如圖陰影部分區域：當直線3x+4y-z=0過點A(2,3)時，z取得最大值，所以，故選D．知識點：線性規劃．11.設復數，若，則的概率為（）A．B．C．D．答案:B解析:如圖可求得Ａ(1,1)，B(1,0)，陰影面積等于若，則的概率是，故選B．知識點：1、復數的模；2、幾何概型．12.對二次函數（a為非零常數），四位同學分別給出下列結論，其中有且僅有一個結論是錯誤的，則錯誤的結論是（）A．-1是的零點B．1是的極值點C．3是的極值D.點在曲線上答案：A解析：可采取排除法．

若A錯，則B，C，D正確．即有f(x)=ax2+bx+c的導數為f′(x)=2ax+b，即有f′(1)=0，即2a+b=0，①又f(1)=3，即a+b+c=3②，又f(2)=8，即4a+2b+c=8，③由①②③解得，a=5，b=-10，c=8．符合a為非零整數．

若B錯，則A，C，D正確，則有a-b+c=0，且4a+2b+c=8，且=3，解得a∈?，不成立；

若C錯，則A，B，D正確，則有a-b+c=0，且2a+b=0，且4a+2b+c=8，解得a=-不為非零整數，不成立；

若D錯，則A，B，C正確，則有a-b+c=0，且2a+b=0，且=3，解得a=-不為非零整數，不成立．故選：A．知識點：1、函數的零點；2、利用導數研究函數的極值．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.中位數1010的一組數構成等差數列，其末項為2015，則該數列的首項為．答案：5解析：設數列的首項為a1，則a1+2015=2×1010=2020，所以a1=5，故該數列的首項為5，所以答案應填：5．知識點：等差中項．14.若拋物線的準線經過雙曲線的一個焦點，則p=．答案:解析：雙曲線x2-y2=1的左焦點為（-，0），故拋物線y2=2px的準線為x=-，∴∴p=2，故答案為：2知識點：1、拋物線的簡單幾何性質；2、雙曲線的簡單幾何性質．．15.設曲線在點（0,1）處的切線與曲線上點p處的切線垂直，則p的坐標為．答案：(1,1)解析：因為，所以，所以曲線在點處的切線的斜率，設的坐標為（），則，因為，所以，所以曲線在點Ｐ處的切線的斜率，因為，所以，即，解得，因為，所以，所以，即Ｐ的坐標是(1,1)，所以答案應填：(1,1)．考點：1、導數的幾何意義；2、兩條直線的位置關系．16.如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型（圖中虛線表示），則原始的最大流量與當前最大流量的比值為．答案：解析：建立空間直角坐標系，如圖所示：原始的最大流量是，設拋物線的方程為（p>0），因為該拋物線過點(5,2)，所以2p×2=52，解得，所以v，即，所以當前最大流量是，故原始的最大流量與當前最大流量的比值是，所以答案應填：．知識點：1、定積分；2、拋物線的方程；3、定積分的幾何意義．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．（本小題滿分12分）的內角，，所對的邊分別為，，．向量與平行．（I）求；（II）若，求的面積．答案:（I）；（II）解析：（I）因為，所以，由正弦定理，得又，從而，由于0<A<，所以(II)解法一：由余弦定理，得而，得7=4+c2-2c，即c2-2c-3=0因為c>0，所以c=3.故ABC的面積為.解法二：，由正弦定理，得，從而，又由，知，所以.故所以的面積為.知識點：1、平行向量的坐標運算；2、正弦定理；3、余弦定理；4、三角形的面積公式.18．（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形中，，，，AD=2，是的中點，是與的交點．將沿折起到的位置，如圖．（I）證明：平面；（II）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．答案:（I）證明見解析；（II）．解析：（I）在圖1中，因為AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點，BAD=，所以BEAC即在圖2中，BEOA1，BEOC從而BE平面A1OC又CDBE，所以CD平面A1OC.(II)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由（1）知，BEOA1，BEOC所以A1OC為二面角A1-BE-C的平面角，所以A1OC=.如圖，以O為原點，建立空間直角坐標系，因為A1B=A1E=BC=ED=1,BC∥ED所以得,，.設平面A1BC的法向量，平面A1CD的法向量，平面A1BC與平面A1CD夾角為，則，得，取，，得，取，從而，即平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為.知識點：1、線面垂直；2、二面角；3、空間直角坐標系；4、空間向量在立體幾何中的應用.19．（本小題滿分12分）設某校新、老校區之間開車單程所需時間為，只與道路暢通狀況有關，對其容量為的樣本進行統計，結果如下：（分鐘）25303540頻數（次）20304010（I）求的分布列與數學期望；（II）劉教授駕車從老校區出發，前往新校區做一個50分鐘的講座，結束后立即返回老校區，求劉教授從離開老校區到返回老校區共用時間不超過120分鐘的概率．答案：（I）分布列見解析，32；（II）．解析：（I）先算出T的頻率分布，進而可得T的分布列，再利用數學期望公式可得數學期望ET；（II）先設事件A表示“劉教授從離開老校區到返回老校區共用時間不超過120分鐘”，再算出A的概率．試題解析：（I）由統計結果可得T的頻率分步為T（分鐘）25303540頻率以頻率估計概率得T的分布列為T25303540P從而（分鐘）(II)設T1,T2分別表示往、返所需時間，T1,T2的取值相互獨立，且與T的分布列相同.設事件A表示“劉教授共用時間不超過120分鐘”，由于講座時間為50分鐘，所以事件A對應于“劉教授在途中的時間不超過70分鐘”.解法一：解法二：故.知識點：1、離散型隨機變量的分布列與數學期望；2、獨立事件的概率.20．（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點到經過兩點，的直線的距離為．（I）求橢圓的離心率；（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經過，兩點，求橢圓的方程．答案:（I）；（II）．解析：（I）過點(c,0),(0,b)的直線方程為，則原點O到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由（I）知，橢圓E的方程為.(1)依題意，圓心M(-2,1)是線段AB的中點，且.易知，AB不與x軸垂直，設其直線方程為，代入(1)得設則由=-4，得解得.從而.于是.由，得，解得=3.故橢圓E的方程為.解法二：由（I）知，橢圓E的方程為.(2)依題意，點A，B關于圓心M(-2,1)對稱，且.設則，，兩式相減并結合=-4,=2得.易知，AB不與x軸垂直，則，所以AB的斜率因此AB直線方程為，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得b2=3.故橢圓E的方程為.知識點：1、直線方程；2、點到直線的距離公式；3、橢圓的簡單幾何性質；4、橢圓的方程；5、圓的方程；6、直線與圓的位置關系；7、直線與圓錐曲線的位置.21．（本小題滿分12分）設是等比數列，，，，的各項和，其中，，．（I）證明：函數在內有且僅有一個零點（記為），且；（II）設有一個與上述等比數列的首項、末項、項數分別相同的等差數列，其各項和為，比較與的大小，并加以證明．答案:（I）證明見解析；（II）當時，，當時，，證明見解析．解析：（I），則所以在內至少存在一個零點.又，故在內單調遞增，所以在內有且僅有一個零點.因為是的零點，所以，即，故.(II)解法一：由題設，設當時,；當時,；若,若，所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1,+∞)上遞減。所以，即.綜上所述，當時,；當時解法二由題設，當時,當時,用數學歸納法可以證明.當時,所以成立.假設時，不等式成立，即.那么，當時，.又令，則所以當,,在上遞減；當,,在上遞增.所以，從而故.即，不等式也成立.所以，對于一切的整數，都有.解法三:由已知，記等差數列為,等比數列為,則，，所以,令當時,,所以.當時,而，所以，.若，，，當，，，從而在上遞減，在上遞增.所以，所以當又，，故綜上所述，當時，；當時.知識點：1、零點定理；2、利用導數研究函數的單調性.請在22、23、24三題中任選一題作答，22．（本小題滿分10分）如圖，切于點，直線交于，兩點，，垂足為．（I）證明：；（II）若，，求的直徑．【答案】（I）證明見解析；（II）3.解析：（I）因為DE為圓O的直徑，則BED+EDB=900，又BCDE，所以CBD+EDB=90°，從而CBD=BED.又AB切圓O于點B，得DAB=BED，所以CBD=DBA.（II）由（I）知BD平分CBA，則,又，從而，所以，所以AD=3.由切割線定理得AB2=AB?AE，即=6，故DE=AE-AD=3，即圓O的直徑為3.知識點：1、直徑所對的圓周角；2、弦切角定理；3、切割線定理.23．（本小題滿分10分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數）．以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，的極坐標方程為．（I）寫出的直角坐標方程；（II）為直線上一動點，當到圓心的距離最小時，求的直角坐標．答案：（I）；（II）(3,0)．解析：（I）由,得