云南省昆明市東川區高級中學2023年高二數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某大學中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年級的學生比為5：4：3：1，要用分層抽樣的方法從該系所有本科生中抽取一個容量為260的樣本，則應抽二年級的學生

（

）

A、100人

B、60人

C、80人

D、20人參考答案：C2.定義在（0，）上的函數f（x），f′（x）是它的導函數，且恒有f′（x）＞f（x）?tanx成立．則（）A．f（）＜f（） B．f（1）＜2cos1?f（）C．f（）＞2f（） D．f（）＞f（）參考答案：A【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】根據條件構造函數g（x）=f（x）cosx，求函數的導數，利用函數的單調性即得到結論．【解答】解：當x∈（0，），cosx＞0，則不等式f′（x）＞f（x）?tanx等價為f′（x）＞f（x）?，即cosxf′（x）﹣sinxf（x）＞0，設g（x）=f（x）cosx，則g′（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x）＞0，即函數g（x）在（0，）單調遞增，則g（）＜g（），g（1）＞g（），g（）＜g（），g（）＜g（），即f（）＜f（），cos1f（1）＞f（），f（）＜f（），f（）＜f（），則f（）＜f（），故A正確．2cosf（1）＞f（），故B錯誤．f（）＜2f（），故C錯誤．f（）＜f（），故D錯誤．故選A．3.若，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.高二（2）班男生36人，女生18人，現用分層抽樣方法從中抽出人，若抽出的男生人數為12，則等于（

）A．16

B．18

C．20

D．22參考答案：B5.已知直線l：y=x+m與曲線y=有兩個公共點，則實數m的取值范圍是（）A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．[1，） D．（﹣，）參考答案：C【考點】函數的零點與方程根的關系．【分析】畫出圖象，當直線l經過點A，C時，求出m的值；當直線l與曲線相切時，求出m．即可．【解答】解：畫出圖象，當直線l經過點A，C時，m=1，此時直線l與曲線y=有兩個公共點；當直線l與曲線相切時，m=．因此當時，直線l：y=x+m與曲線y=有兩個公共點．故選C．【點評】正確求出直線與切線相切時的m的值及其數形結合等是解題的關鍵．6.設命題：方程的兩根符號不同；命題：方程的兩根之和為3，判斷命題“”、“”、“”、“”為假命題的個數為

(

)A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：C7.已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x-3)>0},則A∩B=().A.(-∞,-1) B.

C.

D.(3,+∞)參考答案：D8.已知雙曲線﹣=1的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于（）A． B． C．3 D．5參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質；拋物線的簡單性質．【分析】確定拋物線y2=12x的焦點坐標，從而可得雙曲線的一條漸近線方程，利用點到直線的距離公式，即可求雙曲線的焦點到其漸近線的距離．【解答】解：拋物線y2=12x的焦點坐標為（3，0）∵雙曲線的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合∴4+b2=9∴b2=5∴雙曲線的一條漸近線方程為，即∴雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于故選A．9.函數f（x）=3sin2x+2sinxcosx+cos2x﹣2的單調遞減區間是（）A． B．C． D．參考答案：A【考點】正弦函數的單調性．【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡f（x）的解析式為sin（2x﹣），從而求出函數的遞減區間即可．【解答】解：依題意f（x）=2sin2x+sin2x﹣1=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，故選：A．【點評】本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數的單調性，屬于中檔題．10.（5分）函數f（x）=+mx在[1，2]上是增函數，則m的取值范圍為（）A．[，1] B． [1，4] C．[1，+∞） D． （﹣∞，﹣1]參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義運算=，則符合條件=0的復數的共軛復數所對應的點在第

象限；參考答案：第一象限略12.一個長、寬、高分別為8cm，5cm，5cm的水槽中有水180cm3,現放入一個直徑為4cm的木球，如果木球的三分之二在水中，判斷水槽中水面是否會流出？答：_________.(回答問題時，僅僅填寫“會”或“不會”).參考答案：會略13.已知點A為橢圓1上任意一點，點B為圓(x－1)2＋y2＝1上任意一點，求|AB|的最大值為_______參考答案：略14.若函數f（x）在定義域D內某區間I上是增函數，且在I上是減函數，則稱y=f（x）在I上是“弱增函數”．已知函數h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函數”，則實數b的值為

參考答案：115.如下圖所示的程序框圖的輸出值，則輸入值

。參考答案：16.若雙曲線的離心率是，則實數的值是

．參考答案：略17.球面上有四個點P、A、B、C，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=1，則該球的表面積是

.參考答案：3π三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題16分）如圖，已知橢圓的上、下頂點分別為，點在橢圓上，且異于點，直線與直線分別交于點，（1）設直線的斜率分別為、，求證：為定值；（2）求線段的長的最小值；（3）當點運動時，以為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．參考答案：（1），，令，則由題設可知，直線的斜率，的斜率，又點在橢圓上，所以（），從而有.（2）由題意設直線的方程為，直線的方程為，由，由，直線與直線的交點，直線與直線的交點,又，，等號當且僅當時取到，

即，故線段長的最小值是。(3）設點是以MN為直徑的圓上的任意一點，則,故，又，以MN為直徑的圓方程為，，得或所以以MN為直徑的圓恒過定點或。19.已知函數y=ax3+bx2，當x=1時，有極大值3（1）求函數的解析式（2）寫出它的單調區間（3）求此函數在[﹣2，2]上的最大值和最小值．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；函數解析式的求解及常用方法；利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求出y′，由x=1時，函數有極大值3，所以代入y和y′=0中得到兩個關于a、b的方程，求出a、b即可；（2）令y′＞0解出得到函數的單調增區間，令y′＜0得到函數的單調減區間；（3）由（2）求出函數的極值，再計算出函數在x=﹣2，x=2處的函數值，進行比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值；【解答】解：（1）y′=3ax2+2bx，當x=1時，y′|x=1=3a+2b=0，y|x=1=a+b=3，即，解得a=﹣6，b=9，所以函數解析式為：y=﹣6x3+9x2．（2）由（1）知y=﹣6x3+9x2，y′=﹣18x2+18x，令y′＞0，得0＜x＜1；令y′＜0，得x＞1或x＜0，所以函數的單調遞增區間為（0，1），函數的單調遞減區間為（﹣∞，0），（1，+∞）．（3）由（2）知：當x=0時函數取得極小值為0，當x=1時函數取得極大值3，又y|x=﹣2=84，y|x=2=﹣12．故函數在[﹣2，2]上的最大值為84，最小值為﹣12．20.已知，.（1）當時，分別比較與的大小（直接給出結論）；（2）由（1）猜想與的大小關系，并證明你的結論.參考答案：（1）見解析；（2）見證明【分析】（1）根據題意，直接代入函數，比大小即可（2）猜想：，利用數學歸納法證明，①當時，成立；②假設當時，猜想成立；③當時，證明成立即可【詳解】證明（1）當時，，，，當時，，，，當時，，，.（2）猜想：，即.下面用數學歸納法證明：①當時，上面已證.②假設當時，猜想成立，即，則當時，.因為，所以，所以，當時猜想也成立.綜上可知：對，猜想均成立.【點睛】本題考查數學歸納法，解題的關鍵在于證明，屬于難題21.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=CB=CC1=2，E是AB中點．（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1CE；（Ⅱ）求直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值．參考答案：【考點】直線與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，可知CC1⊥AC，CC1⊥BC，∠ACB=90°，AC⊥BC．建立空間直角坐標系C﹣xyz．則A，B1，E，A1，可得，，，可知，根據，，推斷出AB1⊥CE，AB1⊥CA1，根據線面垂直的判定定理可知AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）由（Ⅰ）知是平面A1CE的法向量，，進而利用向量數量積求得直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值【解答】（Ⅰ）證明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又∠ACB=90°，即AC⊥BC．如圖所示，建立空間直角坐標系C﹣xyz．A（2，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），A1（2，0，2），∴，，．又因為，，∴AB1⊥CE，AB1⊥CA1，AB1⊥平面A1CE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，是平面A1CE的法向量，，∴|cos＜，＞|==．設直線A1C1與平面A1CE所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=．所以直線A1C1與平面A1CE所成角的正弦值為．22.（本小題滿分14分）將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處,

小球將自由下落.小球在下落過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到黑色障礙物時向左、右兩邊下落的概率都是.（Ⅰ）求小球落入A袋中的概率P(A);（Ⅱ）在容器入口處依次放入4個小球,記X為落入A袋中小球的個數,試求X=3的概率和X的數學期望EX.參考