2023年山東省高考數學試卷〔理科〕2023年山東省高考數學試卷〔理科〕一、選擇題1．〔5分〕〔2023?山東〕復數z滿足〔z﹣3〕〔2﹣i〕=5〔i為虛數單位〕，那么z的共軛復數為〔〕A．2+iB．2﹣iC．5+iD．5﹣i2．〔5分〕〔2023?山東〕集合A={0，1，2}，那么集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的個數是〔〕A．1B．3C．5D．93．〔5分〕〔2023?山東〕函數f〔x〕為奇函數，且當x＞0時，，那么f〔﹣1〕=〔〕A．﹣2B．0C．1D．24．〔5分〕〔2023?山東〕三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形，假設P為底面A1B1C1的中心，那么PA與平面ABC所成角的大小為〔〕A．B．C．D．5．〔5分〕〔2023?山東〕函數y=sin〔2x+φ〕的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數的圖象，那么φ的一個可能的值為〔〕A．B．C．0D．6．〔5分〕〔2023?山東〕在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區域上一動點，那么直線OM斜率的最小值為〔〕A．2B．1C．D．7．〔5分〕〔2023?山東〕給定兩個命題p，q．假設￢p是q的必要而不充分條件，那么p是￢q的〔〕A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8．〔5分〕〔2023?山東〕函數y=xcosx+sinx的圖象大致為〔〕A．B．C．D．9．〔5分〕〔2023?山東〕過點〔3，1〕作圓〔x﹣1〕2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，那么直線AB的方程為〔〕A．2x+y﹣3=0B．2x﹣y﹣3=0C．4x﹣y﹣3=0D．4x+y﹣3=010．〔5分〕〔2023?山東〕用0，1，2，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為〔〕A．243B．252C．261D．27911．〔5分〕〔2023?山東〕拋物線C1：的焦點與雙曲線C2：的右焦點的連線交C1于第一象限的點M．假設C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，那么p=〔〕A．B．C．D．12．〔5分〕〔2023?山東〕設正實數x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．那么當取得最大值時，的最大值為〔〕A．0B．1C．D．3二、填空題13．〔4分〕〔2023?山東〕執行右面的程序框圖，假設輸入的?值為0.25，那么輸出的n值為_________．14．〔4分〕〔2023?山東〕在區間[﹣3，3]上隨機取一個數x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率為_________．15．〔4分〕〔2023?山東〕向量與的夾角為120°，且，．假設，且，那么實數λ=_________．16．〔4分〕〔2023?山東〕定義“正數對〞：ln+x=，現有四個命題：①假設a＞0，b＞0，那么ln+〔ab〕=bln+a；②假設a＞0，b＞0，那么ln+〔ab〕=ln+a+ln+b；③假設a＞0，b＞0，那么；④假設a＞0，b＞0，那么ln+〔a+b〕≤ln+a+ln+b+2．其中的真命題有_________〔寫出所有真命題的序號〕三、解答題17．〔12分〕〔2023?山東〕設△ABC的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，．〔1〕求a，c的值；〔2〕求sin〔A﹣B〕的值．18．〔12分〕〔2023?山東〕如下圖，在三棱錐P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ=2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH．〔1〕求證：AB∥GH；〔2〕求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．19．〔12分〕〔2023?山東〕甲乙兩支排球隊進行比賽，先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束．除第五局甲隊獲勝的概率是，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是．設各局比賽結果相互獨立．〔1〕分別求甲隊3：0，3：1，3：2勝利的概率；〔2〕假設比賽結果3：0或3：1，那么勝利方得3分，對方得0分；假設比賽結果為3：2，那么勝利方得2分，對方得1分，求乙隊得分X的分布列及數學期望．20．〔12分〕〔2023?山東〕設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．〔1〕求數列{an}的通項公式；〔2〕設數列{bn}的前n項和為Tn且〔λ為常數〕．令cn=b2n〔n∈N※〕求數列{cn}的前n項和Rn．21．〔13分〕〔2023?山東〕設函數．〔1〕求f〔x〕的單調區間及最大值；〔2〕討論關于x的方程|lnx|=f〔x〕根的個數．22．〔13分〕〔2023?山東〕橢圓C：的左右焦點分別是F1，F2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1．〔1〕求橢圓C的方程；〔2〕點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2，設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M〔m，0〕，求m的取值范圍；〔3〕在〔2〕的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點，設直線PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，假設k≠0，試證明為定值，并求出這個定值．2023年山東省高考數學試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題1．〔5分〕〔2023?山東〕復數z滿足〔z﹣3〕〔2﹣i〕=5〔i為虛數單位〕，那么z的共軛復數為〔〕A．2+iB．2﹣iC．5+iD．5﹣i考點：復數的根本概念．專題：計算題．分析：利用復數的運算法那么求得z，即可求得z的共軛復數．解答：解：∵〔z﹣3〕〔2﹣i〕=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．應選D．點評：此題考查復數的根本概念與根本運算，求得復數z是關鍵，屬于根底題．2．〔5分〕〔2023?山東〕集合A={0，1，2}，那么集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的個數是〔〕A．1B．3C．5D．9考點：集合中元素個數的最值．專題：計算題．分析：依題意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，從而可得答案．解答：解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴當x=0，y分別取0，1，2時，x﹣y的值分別為0，﹣1，﹣2；當x=1，y分別取0，1，2時，x﹣y的值分別為1，0，﹣1；當x=2，y分別取0，1，2時，x﹣y的值分別為2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的個數是5個．應選C．點評：此題考查集合中元素個數的最值，理解題意是關鍵，考查分析運算能力，屬于中檔題．3．〔5分〕〔2023?山東〕函數f〔x〕為奇函數，且當x＞0時，，那么f〔﹣1〕=〔〕A．﹣2B．0C．1D．2考點：函數的值．專題：計算題；函數的性質及應用．分析：利用奇函數的性質，f〔﹣1〕=﹣f〔1〕，即可求得答案．解答：解：∵函數f〔x〕為奇函數，x＞0時，f〔x〕=x2+，∴f〔﹣1〕=﹣f〔1〕=﹣2，應選A．點評：此題考查奇函數的性質，考查函數的求值，屬于根底題．4．〔5分〕〔2023?山東〕三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形，假設P為底面A1B1C1的中心，那么PA與平面ABC所成角的大小為〔〕A．B．C．D．考點：直線與平面所成的角．專題：空間角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的側棱與底面垂直和線面角的定義可知，∠APA1為PA與平面A1B1C1所成角，即為∠APA1為PA與平面ABC所成角．利用三棱錐的體積計算公式可得AA1，再利用正三角形的性質可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：如下圖，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1為PA與平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1為PA與平面ABC所成角．∵==．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P為底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．應選B．點評：熟練掌握三棱柱的性質、體積計算公式、正三角形的性質、線面角的定義是解題的關鍵．5．〔5分〕〔2023?山東〕函數y=sin〔2x+φ〕的圖象沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數的圖象，那么φ的一個可能的值為〔〕A．B．C．0D．考點：函數y=Asin〔ωx+φ〕的圖象變換．專題：計算題；三角函數的圖像與性質．分析：利用函數y=Asin〔ωx+φ〕的圖象變換可得函數y=sin〔2x+φ〕的圖象沿x軸向左平移個單位后的解析式，利用其為偶函數即可求得答案．解答：解：令y=f〔x〕=sin〔2x+φ〕，那么f〔x+〕=sin[2〔x+〕+φ]=sin〔2x++φ〕，∵f〔x+〕為偶函數，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴當k=0時，φ=．故φ的一個可能的值為．應選B．點評：此題考查函數y=Asin〔ωx+φ〕的圖象變換，考查三角函數的奇偶性，屬于中檔題．6．〔5分〕〔2023?山東〕在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區域上一動點，那么直線OM斜率的最小值為〔〕A．2B．1C．D．考點：簡單線性規劃．專題：不等式的解法及應用．分析：此題屬于線性規劃中的延伸題，對于可行域不要求線性目標函數的最值，而是求可行域內的點與原點〔0，0〕構成的直線的斜率的最小值即可．解答：解：不等式組表示的區域如圖，當M取得點A〔3，﹣1〕時，z直線OM斜率取得最小，最小值為k==﹣．應選C．點評：此題利用直線斜率的幾何意義，求可行域中的點與原點的斜率．此題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．7．〔5分〕〔2023?山東〕給定兩個命題p，q．假設￢p是q的必要而不充分條件，那么p是￢q的〔〕A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：規律型．分析：根據互為逆否命題真假性相同，可將轉化為q是?p的充分不必要條件，進而根據逆否命題及充要條件的定義得到答案．解答：解：∵?p是q的必要而不充分條件，∴q是?p的充分不必要條件，即q??p，但?p不能?q，其逆否命題為p??q，但?q不能?p，那么p是?q的充分不必要條件．應選A．點評：此題考查的知識點是充要條件的判斷，其中將利用互為逆否命題真假性相同，轉化為q是?p的充分不必要條件，是解答的關鍵．8．〔5分〕〔2023?山東〕函數y=xcosx+sinx的圖象大致為〔〕A．B．C．D．考點：函數的圖象．專題：函數的性質及應用．分析：給出的函數是奇函數，奇函數圖象關于原點中心對稱，由此排除B，然后利用區特值排除A和C，那么答案可求．解答：解：因為函數y=xcosx+sinx為奇函數，所以排除選項B，由當x=時，，當x=π時，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除選項A和選項C．故正確的選項為D．應選D．點評：此題考查了函數的圖象，考查了函數的性質，考查了函數的值，是根底題．9．〔5分〕〔2023?山東〕過點〔3，1〕作圓〔x﹣1〕2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，那么直線AB的方程為〔〕A．2x+y﹣3=0B．2x﹣y﹣3=0C．4x﹣y﹣3=0D．4x+y﹣3=0考點：圓的切線方程；直線的一般式方程．專題：計算題；直線與圓．分析：由題意判斷出切點〔1，1〕代入選項排除B、D，推出令一個切點判斷切線斜率，得到選項即可．解答：解：因為過點〔3，1〕作圓〔x﹣1〕2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，所以圓的一條切線方程為y=1，切點之一為〔1，1〕，顯然B、D選項不過〔1，1〕，B、D不滿足題意；另一個切點的坐標在〔1，﹣1〕的右側，所以切線的斜率為負，選項C不滿足，A滿足．應選A．點評：此題考查直線與圓的位置關系，圓的切線方程求法，可以直接解答，此題的解答是間接法，值得同學學習．10．〔5分〕〔2023?山東〕用0，1，2，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為〔〕A．243B．252C．261D．279考點：排列、組合及簡單計數問題．專題：計算題．分析：求出所有三位數的個數，減去沒有重復數字的三位數個數即可．解答：解：用0，1，2，…，9十個數字，所有三位數個數為：900，其中沒有重復數字的三位數百位數從非0的9個數字中選取一位，十位數從余下的9個數字中選一個，個位數再從余下的8個中選一個，所以共有：9×9×8=648，所以可以組成有重復數字的三位數的個數為：900﹣648=252．應選B．點評：此題考查排列組合以及簡單計數原理的應用，利用間接法求解是解題的關鍵，考查計算能力．11．〔5分〕〔2023?山東〕拋物線C1：的焦點與雙曲線C2：的右焦點的連線交C1于第一象限的點M．假設C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線，那么p=〔〕A．B．C．D．考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；雙曲線的簡單性質．專題：壓軸題；圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：由曲線方程求出拋物線與雙曲線的焦點坐標，由兩點式寫出過兩個焦點的直線方程，求出函數在x取直線與拋物線交點M的橫坐標時的導數值，由其等于雙曲線漸近線的斜率得到交點橫坐標與p的關系，把M點的坐標代入直線方程即可求得p的值．解答：解：由，得x2=2py〔p＞0〕，所以拋物線的焦點坐標為F〔〕．由，得，．所以雙曲線的右焦點為〔2，0〕．那么拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線所在直線方程為，即①．設該直線交拋物線于M〔〕，那么C1在點M處的切線的斜率為．由題意可知，得，代入M點得M〔〕把M點代入①得：．解得p=．應選D．點評：此題考查了雙曲線的簡單幾何性質，考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，函數在曲線上某點處的切線的斜率等于函數在該點處的導數，是中檔題．12．〔5分〕〔2023?山東〕設正實數x，y，z滿足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．那么當取得最大值時，的最大值為〔〕A．0B．1C．D．3考點：根本不等式．專題：計算題；壓軸題；不等式的解法及應用．分析：依題意，當取得最大值時x=2y，代入所求關系式f〔y〕=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均為正實數，∴==≤=1〔當且僅當x=2y時取“=〞〕，∴=1，此時，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=〔2y〕2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值為1．應選B．點評：此題考查根本不等式，由取得最大值時得到x=2y是關鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題．二、填空題13．〔4分〕〔2023?山東〕執行右面的程序框圖，假設輸入的?值為0.25，那么輸出的n值為3．考點：程序框圖．專題：圖表型．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算并輸出n的值．解答：解：循環前，F0=1，F1=2，n=1，第一次循環，F0=1，F1=3，n=2，第二次循環，F0=2，F1=4，n=3，此時，滿足條件，退出循環，輸出n=3，故答案為：3．點評：此題主要考查了直到循環結構，根據流程圖〔或偽代碼〕寫程序的運行結果，是算法這一模塊最重要的題型，屬于根底題．14．〔4分〕〔2023?山東〕在區間[﹣3，3]上隨機取一個數x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率為．考點：幾何概型；絕對值不等式的解法．專題：不等式的解法及應用；概率與統計．分析：此題利用幾何概型求概率．先解絕對值不等式，再利用解得的區間長度與區間[﹣3，3]的長度求比值即得．解答：解：利用幾何概型，其測度為線段的長度．由不等式|x+1|﹣|x﹣2|≥1可得①，或②，③．解①可得x∈?，解②可得1≤x＜2，解③可得x≥2．故原不等式的解集為{x|x≥1}，∴|在區間[﹣3，3]上隨機取一個數x使得|x+1|﹣|x﹣2|≥1的概率為P==．故答案為：點評：此題主要考查了幾何概型，簡單地說，如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度〔面積或體積〕成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．15．〔4分〕〔2023?山東〕向量與的夾角為120°，且，．假設，且，那么實數λ=．考點：數量積表示兩個向量的夾角；向量的模．專題：計算題；壓軸題；平面向量及應用．分析：利用，，表示向量，通過數量積為0，求出λ的值即可．解答：解：由題意可知：，因為，所以，所以===﹣12λ+7=0解得λ=．故答案為：．點評：此題考查向量的數量積的應用，向量的垂直，考查轉化數學與計算能力．16．〔4分〕〔2023?山東〕定義“正數對〞：ln+x=，現有四個命題：①假設a＞0，b＞0，那么ln+〔ab〕=bln+a；②假設a＞0，b＞0，那么ln+〔ab〕=ln+a+ln+b；③假設a＞0，b＞0，那么；④假設a＞0，b＞0，那么ln+〔a+b〕≤ln+a+ln+b+2．其中的真命題有①③④〔寫出所有真命題的序號〕考點：命題的真假判斷與應用．專題：綜合題；壓軸題；新定義．分析：由題意，根據所給的定義及對數的運算性質對四個命題進行判斷，由于在不同的定義域中函數的解析式不一樣，故需要對a，b分類討論，判斷出每個命題的真假解答：解：對于①，由定義，當a≥1時，ab≥1，故ln+〔ab〕=ln〔ab〕=blna，又bln+a=blna，故有ln+〔ab〕=bln+a；當a＜1時，ab＜1，故ln+〔ab〕=0，又a＜1時bln+a=0，所以此時亦有ln+〔ab〕=bln+a．由上判斷知①正確；對于②，此命題不成立，可令a=2，b=，那么ab=，由定義ln+〔ab〕=0，ln+a+ln+b=ln2，所以ln+〔ab〕≠ln+a+ln+b；由此知②錯誤；對于③，當a≥b＞0時，≥1，此時≥0，當a≥b≥1時，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=，此時命題成立；當a＞1＞b時，ln+a﹣ln+b=lna，此時，故命題成立；同理可驗證當1＞a≥b＞0時，成立；當＜1時，同理可驗證是正確的，故③正確；對于④，可分a≤1，b≤1與兩者中僅有一個小于等于1、兩者都大于1三類討論，依據定義判斷出④是正確的故答案為①③④點評：此題考查新定義及對數的運算性質，理解定義所給的運算規那么是解題的關鍵，此題考查了分類討論的思想，邏輯判斷的能力，綜合性較強，探究性強．易因為理解不清定義及忘記分類討論的方法解題導致無法入手致錯三、解答題17．〔12分〕〔2023?山東〕設△ABC的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，．〔1〕求a，c的值；〔2〕求sin〔A﹣B〕的值．考點：余弦定理；同角三角函數間的根本關系；兩角和與差的正弦函數；正弦定理．專題：解三角形．分析：〔1〕利用余弦定理列出關于新，將b與cosB的值代入，利用完全平方公式變形，求出acb的值，與a+c的值聯立即可求出a與c的值即可；〔2〕先由cosB的值，利用同角三角函數間的根本關系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，進而求出cosA的值，所求式子利用兩角和與差的正弦函數公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．解答：解：〔1〕∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=〔a+c〕2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，整理得：ac=9②，聯立①②解得：a=c=3；〔2〕∵cosB=，B為三角形的內角，∴sinB==，∵b=2，a=3，sinB=，∴由正弦定理得：sinA===，∵a=c，即A=C，∴A為銳角，∴cosA==，那么sin〔A﹣B〕=sinAcosB﹣cosAsinB=×﹣×=．點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，以及同角三角函數間的根本關系，熟練掌握定理及公式是解此題的關鍵．18．〔12分〕〔2023?山東〕如下圖，在三棱錐P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ=2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH．〔1〕求證：AB∥GH；〔2〕求二面角D﹣GH﹣E的余弦值．考點：二面角的平面角及求法；直線與平面平行的性質．專題：空間位置關系與距離；空間角．分析：〔1〕由給出的D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，利用三角形中位線知識及平行公理得到DC平行于EF，再利用線面平行的判定和性質得到DC平行于GH，從而得到AB∥GH；〔2〕由題意可知BA、BQ、BP兩兩相互垂直，以B為坐標原點建立空間直角坐標系，設出BA、BQ、BP的長度，標出點的坐標，求出一些向量的坐標，利用二面角的兩個面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D﹣GH﹣E的余弦值．解答：〔1〕證明：如圖，∵C，D為AQ，BQ的中點，∴CD∥AB，又E，F分別AP，BP的中點，∴EF∥AB，那么EF∥CD．又EF?平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．又CD?平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．又AB∥CD，∴AB∥GH；〔2〕由AQ=2BD，D為AQ的中點可得，三角形ABQ為直角三角形，以B為坐標原點，分別以BA、BQ、BP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，設AB=BP=BQ=2，那么D〔1，1，0〕，C〔0，1，0〕，E〔1，0，1〕，F〔0，0，1〕，因為H為三角形PBQ的重心，所以H〔0，，〕．那么，，．設平面GCD的一個法向量為由，得，取z1=1，得y1=2．所以．設平面EFG的一個法向量為由，得，取z2=2，得y2=1．所以．所以=．那么二面角D﹣GH﹣E的余弦值等于．點評：此題考查了直線與平面平行的性質，考查了二面角的平面角及其求法，考查了學生的空間想象能力和思維能力，考查了計算能力，解答此題的關鍵是正確求出H點的坐標，是中檔題．19．〔12分〕〔2023?山東〕甲乙兩支排球隊進行比賽，先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結束．除第五局甲隊獲勝的概率是，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是．設各局比賽結果相互獨立．〔1〕分別求甲隊3：0，3：1，3：2勝利的概率；〔2〕假設比賽結果3：0或3：1，那么勝利方得3分，對方得0分；假設比賽結果為3：2，那么勝利方得2分，對方得1分，求乙隊得分X的分布列及數學期望．考點：離散型隨機變量的期望與方差．專題：概率與統計．分析：〔1〕甲隊獲勝有三種情形，①3：0，②3：1，③3：2，其每種情形的最后一局肯定是甲隊勝，分別求出相應的概率，最后根據互斥事件的概率公式求出甲隊獲得這次比賽勝利的概率；〔2〕X的取值可能為0，1，2，3，然后利用相互獨立事件的概率乘法公式求出相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望公式解之即可．解答：解：〔1〕甲隊獲勝有三種情形，其每種情形的最后一局肯定是甲隊勝①3：0，概率為P1=〔〕3=；②3：1，概率為P2=C〔〕2×〔1﹣〕×=；③3：2，概率為P3=C〔〕2×〔1﹣〕2×=∴甲隊3：0，3：1，3：2勝利的概率：．〔2〕乙隊得分X，那么X的取值可能為0，1，2，3．由〔1〕知P〔X=0〕=P1+P2=；P〔X=1〕=P3=；P〔X=2〕=C〔1﹣〕2×〔〕2×=；P〔X=3〕=〔1﹣〕3+C〔1﹣〕2×〔〕×=；那么X的分布列為X3210PE〔X〕=3×+2×+1×+0×=．點評：此題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式，以及離散型隨機變量的期望與分布列，同時考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．20．〔12分〕〔2023?山東〕設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1．〔1〕求數列{an}的通項公式；〔2〕設數列{bn}的前n項和為Tn且〔λ為常數〕．令cn=b2n〔n∈N※〕求數列{cn}的前n項和Rn．考點：等差數列的通項公式；數列的求和．專題：等差數列與等比數列．分析：〔1〕設出等差數列的首項和公差，由條件列關于首項和公差的方程組，解出首項和公差后可得數列{an}的通項公式；〔2〕把{an}的通項公式代入，求出當n≥2時的通項公式，然后由cn=b2n得數列{cn}的通項公式，最后利用錯位相減法求其前n項和．解答：解：〔1〕設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，由a2n=2an+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①再由S4=4S2，得，即d=2a1②聯立①、②得a1=1，d=2．所以an=a1+〔n﹣1〕d=1+2〔n﹣1〕=2n﹣1；〔2〕把an=2n﹣1代入，得，那么．所以b1=T1=λ﹣1，當n≥2時，=．所以，．Rn=c1+c2+…+cn=③④③﹣④得：=所以；所以數列{cn}的前n項和．點評：此題考查了等差數列的通項公式，考查了數列的求和，訓練了錯位相減法，考查了學生的計算能力，屬中檔題．21．〔13分〕〔2023?山東〕設函數．〔1〕求f〔x〕的單調區間及最大值；〔2〕討論關于x的方程|lnx|=f〔x〕根的個數．考點：利用導數研究函數的單調性；根的存在性及根的個數判斷．專題：壓軸題；導數的綜合應用．分析：〔1〕利用導數的運算法那么求出f′〔x〕，分別解出f′〔x〕＞0與f′〔x〕＜0即可得出單調區間及極值與最值；〔2〕分類討論：①當0＜x≤1時，令u〔x〕=﹣lnx﹣﹣c，②當x≥1時，令v〔x〕=lnx﹣．利用導數分別求出c的取值范圍，即可得出結論．解答：解：〔1〕∵=，解f′〔x〕＞0，得；解f′〔x〕＜0，得．∴函數f〔x〕的單調遞增區間為；單調遞減區間為．故f〔x〕在x=取得最大值，且．〔2〕函數y=|lnx|，當x＞0時的值域為[0，+∞〕．如下圖：①當0＜x≤1時，令u〔x〕=﹣lnx﹣﹣c，c==g〔x〕，那么=．令h〔x〕=e2x+x﹣2x2，那么h′