年高考——概率統計1.（20全國I文17）某廠接受了一項加工業務，加工出來的產品（單位：件）按標準分為A,B,C,D四個等級.加工業務約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業務.甲分廠加工成本費為25元/件,乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業務,在兩個分廠各試加工了100件這種產品,并統計了這些產品的等級,整理如下：甲分廠產品等級的頻數分布表等級ABCD頻數40202020乙分廠產品等級的頻數分布表等級ABCD頻數28173421（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率;（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產品的平均利潤,以平均利潤為依據,廠家應選哪個分廠承接加工業務?2.（20全國I理19）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽,約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽,負者下一場輪空,直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后,剩余的兩人繼續比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為1,2（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.3.（20全國n文18）某沙漠地區經過治理，生態系統得到很大改善，野生動物數量有所增加．為調查該地區某種野生動物的數量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區，調查得到樣本數據（叼%）（i=1,2,…，20）,其中七和yi分別表示第i個樣區的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數量，并計算得光x=60 , ￡y =1200, 2（（x-X）2 -80, 2（（y -y）2 -9000,ii i ii-1 i-1 i-1 i-1￡（x一X）（y一y）=800.iii-1（1）求該地區這種野生動物數量的估計值（這種野生動物數量的估計值等于樣區這種野生動物數量的平均數乘以地塊數）；（2）求樣本（xi,yi）（i=1,2,…，20）的相關系數（精確到0.01）；（3）根據現有統計資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區這種野生動物數量更準確的估計,請給出一種你認為更合理的抽樣方法,并說明理由．

附：相關系數r=￡(x-附：相關系數r=￡(x-x(y-y)ii￡(xii=1-x)2￡(y-y)2

ii=1v12=1.414..(20全國m文18)某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數據得到下表（單位：天）：個、，一、鍛煉人次空氣質量等級[0,200](200,400](400,600]1（優）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質量等級為1或2，則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或4,則稱這天“空氣質量不好”.根據所給數據，完成下面的2x2列聯表，并根據列聯表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？人次*00人次＞400空氣質量好空氣質量不好

附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a附：K2=n(ad-bc)2P(K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.（20新高考I19）為加強環境保護，治理空氣污染，環境監測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO濃度（單位：g/m3），得下表：2J、/02PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710（1）估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO濃度不超過150”的概率;2（2）根據所給數據，完成下面的2x2列聯表:SO2PM2.5 、、[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）根據（2）中的列聯表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關?五 n(ad一bc)2叫K2— ' )0.001”,： (a+b)(c+d)(a+cP(K2>k) 0.050)(b+d)，0.010k 3.8416.63510.828.（20江蘇23）（本小題滿分10分）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn. "（1）求p1,q1和p2,q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系式和Xn的數學期望E（Xn）（用n表示）..（20北京18）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設計了相應的活動方案：方案一、方案二．為了解該校學生對活動方案是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數據如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設所有學生對活動方案是否支持相互獨立．(I)分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；(II)從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率；(III)將該校學生支持方案的概率估計值記為p，假設該校年級有500名男生和300名女0生，除一年級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為P，試比較P與P的大小.(結1 01論不要求證明)參考答案：1．解：(1)由試加工產品等級的頻數分布表知，甲分廠加工出來的一件產品為A級品的概率的估計值為a=0.4；100乙分廠加工出來的一件產品為A級品的概率的估計值為28=0.28.100(2)由數據知甲分廠加工出來的100件產品利潤的頻數分布表為利潤6525-5-75頻數40202020因此甲分廠加工出來的100件產品的平均利潤為65x40+25x20-5x20-75x201 二1100由數據知乙分廠加工出來的100件產品利潤的頻數分布表為

利潤70300-70頻數28173421因此乙分廠加工出來的100件產品的平均利潤為100比較甲乙兩分廠加工的產品的平均利潤，應選甲分廠承接加工業務.70x28+30x17+0x34—70x21 =10100比較甲乙兩分廠加工的產品的平均利潤，應選甲分廠承接加工業務.2.解：（1）甲連勝四場的概率為1-.16（2）根據賽制，至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比賽．比賽四場結束，共有三種情況：甲連勝四場的概率為1-；16乙連勝四場的概率為1-；16丙上場后連勝三場的概率為1.81 113所以需要進行第五場比賽的概率為1---=-.161684（3）丙最終獲勝，有兩種情況：比賽四場結束且丙最終獲勝的概率為1.8比賽五場結束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負、輪空結果有三種情況：勝勝負勝，勝負空勝，負空勝勝，概率分別為1-,1,1.16 8 8因此丙最終獲勝的概率為1+-1+1+1=-7.81688163.解：（1）由己知得樣本平均數9=2105yi=60，從而該地區這種野生動物數量的估計值i=1為60X200=12000.（2）樣本（％,y）（i=1,2,…,20）的相關系數ii

￡(x￡(x—x)(y一歹)80仄x.x)2您y.y)2 <80x9000 3ii=1ii=1（3）分層抽樣：根據植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進行分層抽樣．理由如下：由（2）知各樣區的這種野生動物數量與植物覆蓋面積有很強的正相關．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總體結構的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區這種野生動物數量更準確的估計．4．解：（1）由所給數據，該市一天的空氣質量等級為1，2，3，4的概率的估計值如下表：空氣質量等級1234概率的估計值0.430.270.210.09（2）一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為—(100x20+300x35+500x45)=350.100（3）根據所給數據，可得2x2列聯表:人次*00人次＞400空氣質量好3337空氣質量不好228根據列聯表得K2=100x(33x8.22x37)2X5.820.55x45x70x30由于5.820〉3.841,故有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關．5?解：（1）根據抽查數據,該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO2濃度不超過150的天數為32+18+6+8=64,因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO濃度264不超過150的概率的估計值為何=0.64.（2）根據抽查數據，可得2x2列聯表:

SO2PM2.5 、、[0,150](150,475][0,75]6416(75,115]1010100x(64x10—16x10)2(3)根據(2)的列聯表得K2= X7.484.80x20x74x26由于7.484〉6.635，故有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO濃度有關.2C1C1C1 16.解：⑴%=甘-cr=3，C1C1 2=2?3=1ClC33，33TOC\o"1-5"\h\zC1C1 C1C1 1 2 7p=1-3?p+2--1?q+0-(1—p—q)=p+q=-2C1C1 1C1C1 1 1 1 31912733 33C1C1 C1C1 C1C1 C1C1q=r?r?p+(-2?r+—1?r)?q+r?~^2?(1—p—q)2 C1C1 1 C1C1 C1C1 1 C1C1 1 133 33 33 331 216= q+—=-.91327(2)當n>2時，C1C1C1C1 1 2p= ?h?p+才?77?q+0?(1—p—q)=-p+-q,n C1 C1 n—1 C1 C1 n—1 n—1 n—1 3 n—1 9 n—133 33C1 C1 C1C1 C1 C1 C1C1q= ? ?p+(t? +——1 1)?q +——3?一?(1—p—q)n C1 C1 n—1 C1C1 C1 C1 n—1 C1C1 n—1 n—133 33 33 331—q9n—14 1 21 22x①+②，得2p+qnnn—12x①+②，得2p+qnnn—19n—1 9n—1 3 3 n—1 n—1 3從而2p從而2pn+q—1=1(2p

n3+q—1)，n—1 n—1所以2所以2pn+qn=1+3(3)n.1=1+(3)n，31 3由②，有q“-531 3由②，有q“-5=-9(qn.1—5)，又q31 =51511 3所以q= (一)n-1+t，ngN*.n159 5DD由③，有P=[口+(3n-q]=；!；(-!)n+[(!)n+7，neN*?n2 3n 109 23 5/ 3/1、 1/1、，1 ?故1-P-q=~(-T)n-T(T)n+二，neN*.nn10 9 23 5X的概率分布nXn012P1-p-qn nqnPn貝°E(X)=0x(1-p-q)+1xq+2xp=1+(』)n,ne