§3希爾伯特空間中的規(guī)范正交系一規(guī)范正交系主要內(nèi)容二傅里葉系數(shù)三完全規(guī)范正交系四Hilbert空間的同構(gòu)一規(guī)范正交系元素的正交性在內(nèi)積空間和Hilbert空間中扮演著十分重要的角色.在維歐氏空間,選定個(gè)相互正交的向量,則形成維空間中的一組正交基,也就是說在空間中建立了一組坐標(biāo)系,空間中的任何一個(gè)元素都可以由這組坐標(biāo)的線性組合表示出來.其中,并且向量的長(zhǎng)度在一般的內(nèi)積空間中也可以類似地引入正交基、投影和坐標(biāo)系等十分重要的概念,建立起一套完整的空間坐標(biāo)理論.定義1設(shè)是內(nèi)積空間的一個(gè)不含零子集,若中向量?jī)蓛烧?則稱為中的正交系,又若中向量的范數(shù)都為1,則稱為中的規(guī)范正交系.例1為維歐氏空間,則向量集為中規(guī)范正交系,其中例2在空間中,定義內(nèi)積為則三角函數(shù)系為中規(guī)范正交系.所以內(nèi)積空間中規(guī)范正交系是正交函數(shù)系概念的推廣.正交系的基本性質(zhì).(1)對(duì)正交系中任意有限個(gè)向量,有事實(shí)上,由于中向量?jī)蓛烧?所以(2)正交系是中線性無關(guān)子集.事實(shí)上,設(shè),而且,其中為個(gè)數(shù),則對(duì)任何,有由于,因此,所以線性無關(guān).從而說明是中線性無關(guān)子集.定義2

設(shè)是賦范線性空間,是中的一列向量,是一列數(shù),作級(jí)數(shù)稱為級(jí)數(shù)(3)的項(xiàng)部分和,若存在,使,則稱級(jí)數(shù)(3)收斂,并稱為級(jí)數(shù)的和,記為若為中規(guī)范正交系,是中有限或可數(shù)個(gè)向量,且,則對(duì)每個(gè)自然數(shù),由內(nèi)積連續(xù)性,可得所以定義3

設(shè)為內(nèi)積空間中的規(guī)范正交系,,稱數(shù)集為向量關(guān)于規(guī)范正交系的傅里葉系數(shù)集,而稱為關(guān)于傅里葉系數(shù).例3

設(shè)為例2中三角函數(shù)系,記二傅里葉系數(shù)對(duì)任何關(guān)于的傅里葉系數(shù)集即為所以內(nèi)積空間中向量關(guān)于規(guī)范正交系的傅里葉系數(shù)實(shí)際上是數(shù)學(xué)分析中傅里葉系數(shù)概念的推廣.傅里葉系數(shù)的性質(zhì)引理1設(shè)是內(nèi)積空間,是中規(guī)范正交系,任取中有限個(gè)向量,則有其中為任意個(gè)數(shù).證明因?qū)θ我鈧€(gè)數(shù),有令,代入上式即得(1).另一方面,由上式及結(jié)論(1)又有由此知(2)成立.定理1(Bessel不等式)設(shè)是內(nèi)積空間中的有限或可數(shù)規(guī)范正交系,則對(duì),有證明如果中只有有限個(gè)向量,則由引理1的(1)立即可得.當(dāng)可數(shù)時(shí),只要在引理1的(1)中令,則可得(4)式.如果Bessel不等式中等號(hào)成立,則稱此等式為Parseval等式.引理2設(shè)為Hilbert空間中可數(shù)規(guī)范正交系,則(1)級(jí)數(shù)收斂的充要條件為級(jí)數(shù)收斂;(2)若,則,故(3)對(duì)任何,級(jí)數(shù)收斂.證明(1)設(shè),由于為規(guī)范正交系,所以對(duì)任何正整數(shù)和,且,有所以是中柯西點(diǎn)列的充要條件為是柯西點(diǎn)列,由和數(shù)域的完備性知,(1)成立.(2)前已證明.(3)由Bessel不等式知,級(jí)數(shù)收斂,由(1)及(2),知級(jí)數(shù)收斂.推論1設(shè)是中可數(shù)規(guī)范正交系,則對(duì)任何,證明因?qū)?級(jí)數(shù)收斂,所以.下面討論一般規(guī)范正交系的Bessel不等式.設(shè)是中規(guī)范正交系,其中為一指標(biāo)集,則對(duì)任一,中使的指標(biāo)至多只有可數(shù)個(gè).不等式,易知對(duì)任何正整數(shù),使的指標(biāo)至多只有有限個(gè),所以集事實(shí)上,由Bessel至多為可數(shù)集.由此可以形式地作級(jí)數(shù)其中和式理解成對(duì)所有使的指標(biāo)相加,因此Bessel不等式可以寫成三完全規(guī)范正交系定義4設(shè)是內(nèi)積空間中的規(guī)范正交系,如果則稱是中的完全規(guī)范正交系.交系,則完全的充要條件為.定理2設(shè)是Hilbert空間中的規(guī)范正完全規(guī)范正交系類似于維歐式空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基.定理3是Hilbert空間中完全規(guī)范正交系的充要條件為對(duì)所有,成立Parseval等式.證明充分性設(shè)Parseval等式對(duì)所有成立,假設(shè)不完全,由定理2,存在.所以對(duì)任何,有,由于對(duì)該有Parseval等式所以,即,這與矛盾.必要性設(shè)是中完全規(guī)范正交系,對(duì)任何,設(shè)其非零傅里葉系數(shù)為由引理2,級(jí)數(shù)收斂,設(shè)其和為,則對(duì)任何正整數(shù),有又對(duì)中一切使的向量,有因此.由的完全性,得到,即,所以,由此得到即Parseval等式成立.由定理3的證明可以看出,當(dāng)是Hilbert空間中完全規(guī)范正交系時(shí),則中每個(gè)向量都可以展開成級(jí)數(shù)(9)式稱為向量關(guān)于完全規(guī)范正交系的傅里葉展開式.它類似于維歐式空間中的任一向量關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交基的線性組合表示.推論2是Hilbert空間中規(guī)范正交系，若Parseval等式在的某個(gè)稠密子集上成立,則完全.證明設(shè),則是中閉線性子空間,因在上Parseval等式成立,由定理3,易知對(duì)中每個(gè)向量,都有所以,從而,由于是閉線性子空間,故有,但因,所以,即是中完全規(guī)范正交系.證畢.利用推論2可證明三角函數(shù)系是中完全規(guī)范正交系,從而,有其中等號(hào)右端級(jí)數(shù)是指在中平方平均收斂,分別為例3中關(guān)于三角函數(shù)系的傅里葉系數(shù).引理3

設(shè)是內(nèi)積空間中有限或可數(shù)個(gè)線性無關(guān)向量,則必有中規(guī)范正交系,使對(duì)任何正整數(shù),有證明令,則,且令,因?yàn)榫€性無關(guān),所以,且.令,則.且.顯然,.如果已作了,其中,并且兩兩正交,滿足現(xiàn)令由線性無關(guān),知,令,則.且.其中.又顯然滿足如此一直作下去,即可得所要的規(guī)范正交系.在引理3的證明中,構(gòu)造規(guī)范正交系的過程稱為正交化過程.并且可知是向量在空間上的投影.定理4

非零Hilbert空間必有完全規(guī)范正交系.證明設(shè)為可分的Hilbert空間,則存在有限或可數(shù)個(gè)向量,使,不妨設(shè)為中的線性無關(guān)子集,否則可取中的線性無關(guān)子集.由引理3,存在有限或可數(shù)的規(guī)范正交系,使對(duì)任何自然數(shù),有所以,由張成的線性空間包含,因此即是中完全規(guī)范正交系.證畢.性質(zhì)若和都是Hilbert空間的完全規(guī)范正交系,則和具有相同的基數(shù).上述性質(zhì)中的基數(shù)稱為的Hilbert維數(shù).若,則規(guī)定的Hilbert維數(shù)為0;當(dāng)是有限維空間時(shí),

維數(shù)與線性維數(shù)相同.定義5設(shè)和是內(nèi)積空間,若存在到上的映射,使對(duì)任何及數(shù),