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1§7.7定積分之幾何應用

－－－面積體積2一、幾何應用3A、直角坐標系情形曲邊梯形的面積平面圖形的面積4解兩曲線的交點面積為兩曲線與x軸所圍面積之差選為積分變量5解兩曲線的交點選為積分變量6于是所求面積說明：注意各積分區間上被積函數的形式．問題：7解兩曲線的交點選為積分變量8如果曲邊梯形的曲邊為參數方程曲邊梯形的面積B、參數方程情形9解橢圓的參數方程由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積．10面積元素曲邊扇形的面積C、極坐標系情形11解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積12解利用對稱性知13回顧曲邊梯形求面積的問題方法總結:微元法提示面積微元14相應的方法通常叫做微元法.15微元法的一般步驟：16應用方向：

面積；體積；曲線的弧長；微元法的實質仍是“和式”的極限.功；水壓力；引力和平均值等．17

旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體．這直線叫做旋轉軸．圓柱圓錐圓臺A、旋轉體的體積18xyo旋轉體的體積為19解直線方程為20解2122解2324補充利用這個公式，可知上例中25解體積元素為26B平行截面面積為已知的立體的體積

如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算.立體體積27解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積28解取坐標系如圖底圓方程為截面面積立體體積29卡瓦列利原理，卡瓦列利于公元1635年在《連續不可分量幾何》里提出，截面積和高相等的立體的體積相等.“緣冪勢既同，則積不容異”．其中冪指截面積，勢指高.中國南北朝時期數學家、天文學家祖暅,字景爍,祖沖之的兒子，是一位博學多才的數學家祖暅在數學上的主要成就，就是推算球的體積公式．因而我們將此原理稱為“祖氏原理”或“祖暅原理”更為恰當.30求在直角坐標系下、參數方程形式下、極坐標系下平面圖形的面積.（注意恰當的選擇積分變量有助于簡化積分運算）三、小結(核心:微元法)旋轉體的體積平行截面面積為已知的立體的體積繞軸旋轉一周繞軸旋轉一周繞非軸直線旋轉一周31作業

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