第16章

電勢本章主要內容§16-1

靜電場的保守性§16-2

電勢差和電勢§16-3

電勢疊加原理和電勢的計算§16-4

電勢梯度§16-5

靜電勢能第16章電勢電勢是靜電場中的重要物理量。通過研究靜電場力對電荷做功，發現靜電場力是保守力。

由于靜電場力是保守力，可以引入電勢和電勢能。和電場強度一樣，電勢也是描述靜電場分布規律的，它本身也是空間分布函數。§16-1

靜電場的保守性

做功與路徑無關（或沿閉合路徑一周做功為零）的力，稱為保守力（如引力、彈性力）。靜電場力是不是保守力？靜電場力對檢驗電荷做功為考慮對單位正檢驗電荷做功：場強對路徑的線積分先考慮點電荷產生的場的情況：積分結果與路徑無關！再考慮任意帶電體（點電荷系）產生的場：由場強疊加原理，有求和中每一項代表對應點電荷單獨存在時產生的場的從

P1

到

P2

的線積分——與積分路徑無關。因此總場的積分也與路徑無關。結論：靜電場力對電荷所做的功與路徑無關。即靜電場力是保守力，或稱靜電場為保守場。靜電場環路定理：靜電場的場強沿任意閉合路徑積分等于零。或表示為換言之：電荷沿任意閉合路徑運動一周，靜電場力所做的功為零，。證明L1L2P2P1返回電荷沿任意閉合路徑運動一周，靜電場力所做的功為零因靜電場力的功與路徑無關討論1）靜電場的基本方程之一靜電場是保守場2）表征靜電場的性質有兩個方程§16-2

電勢差和電勢

因為電勢是通過它的改變量來引入的，所以它具有零點的相對性。通常需選定某參考點

P0為電勢零點，則任意點

P

處的電勢為由于

與積分路徑無關（只決定于起點

P1

和終點

P2

的位置），積分結果必定可以表示為某空間函數

j的改變量：定義

j為電勢，即從

P1

到

P2

沿任意路徑場強的線積分等于電勢的負增量。j1

-j2

U12為

P1

與

P2

兩點間的電勢差。電勢和電勢差原則上，電勢零點可以任意選取，但應視問題的方便而定。

通常電荷在有限區域時，將無限遠點選為電勢零點，此時任一點

P(x,y,z)的電勢為說明：電勢是空間坐標的函數：，如已知靜電場的場強分布，可以求出電勢分布——勢函數。與場強不同，電勢是標量。矢量場和標量場電勢差與電場對檢驗電荷做功的關系：

A12=q0U12=q0(j1

-

j2)點電荷的電勢為[

j()=0

]教材32頁例16.2點電荷場電勢公式球對稱標量正負返回[例題]

求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布已知場強為：方向垂直于帶電直線。由此例看出，當電荷分布擴展到無窮遠時，電勢零點不能再選在無窮遠處。若仍然選取無窮遠為電勢零點，則由積分可知各點電勢將為無限大而失去意義。此時，我們可以選取某一距帶電直導線為的點為電勢零點，則距帶電直線為的點的電勢：電荷線密度題14.9

如圖所示，邊長為0.3m的正三角形abc，在頂點a處有一個電量為10-8C的正點電荷，頂點b處有一個電量為

-10-8C的負點電荷，則頂點c

處的電場強度E

和電勢U

各為多少？題14.9圖（A）E=0，U=0（B）E=1000V/m，U=0（C）E=1000V/m，U=600V（D）E=2000V/m，U=600V§16-3電勢疊加原理

每一

Ui

必須有共同的電勢零點

方法2——

利用電勢疊加原理：把電荷系統分解為點電荷系，再把各點電荷的電勢疊加，即對點電荷系和連續帶電體分別有利用場強疊加原理可以導出：電勢疊加原理：在由電荷系產生的電場中，任一點的電勢等于各個帶電體單獨存在時在該點所產生電勢的代數和。電勢的計算電勢疊加原理

方法1——

利用電勢的定義式：，已知場強分布，選方便的路徑積分；和查看任意帶電體電勢1)由定義式出發2)電勢疊加原理返回[例題]

求（1）均勻帶電球面；（2）均勻帶電球體，產生場的電勢分布。設總電量均為

q，球的半徑為

R

。解：（1）均勻帶電球面，由Guass

定理求得：（2）均勻帶電球體，由Guass

定理求得：查看

[例題]設電荷為均勻帶電的（1）球面；（2）球體。總電荷為

Q，球的半徑為

R，求球內外的場強分布。

解：球對稱問題，場強沿徑向，且

E=E(r)。

(1)做半徑為r的同心球面為高斯面。

(2)設

r=Q/(4pR3/3)為體電荷密度，做半徑為r的同心球面為高斯面。返回返回討論：在

r=R處：對于帶電球面，體電荷密度無限大，E不連續，Ｕ

連續但不光滑；對于帶電球體，體電荷密度有限，

E連續，Ｕ連續且光滑。這一特性是普遍

的，因為Ｕ是

E的一次積分。

r>R處（球外區域）的場強

和電勢，都相當于電荷集中于中心的點電荷所產生的場和勢。這是球對稱電荷的共性。（2）小題可以借助（1）小題的結果，利用電勢疊加原理求解：帶電球體視為一系列大小依次變化的薄帶電球殼組成，設體電荷密度為

r=3q/4pR3，r’

r’+dr’

球殼的電荷為

dq=r4pr’2dr’

，對總的電勢貢獻為[例題]

求電偶極子周圍的電勢分布。解：正、負點電荷在

P點單獨產生的電勢為[例題]

求總電量為

q，半徑為

R，均勻帶電的細圓環，在其軸線上任一點的電勢。解法一：已知軸線上場強為選取積分路徑為從

P沿

x軸到無限遠查看查看點電荷場電勢公式球對稱標量正負返回

[例題]一均勻帶電細圓環，半徑為

R，所帶電量為

q。求軸線上任一點的場強。

解：考慮圓環上長度為

dl的一段電荷

dq=ldl

對

P點場強的貢獻。由于

P

是軸線上的點，環上任何一段

dl的電荷對場強貢獻大小相等，且都與

x軸有相同的夾角

a

，故有

返回解法二：電荷元dq在P點產生的電勢為總電勢為：討論：在圓心處，即遠離圓心處，即題14.10

如圖所示，在點電荷q的電場中，選取以q為中心、R為半徑的球面上點P處作電勢零點，則與點電荷q距離為r的點P′的電勢為多少？題14.10圖題14.15

如圖所示，CD是以點O為圓心，以R為半徑的半圓弧，在點A有一個電量為+q的點電荷，點O有一個電量為-q的點電荷，線段BA=R。現將一個單位正電荷從點B沿半圓弧軌道BCD移到點D，則電場力所作的功為多少？

題14.15圖[例題]

在半徑為R

帶電球體內，挖去以O1為中心，半徑為R1的球中電荷。O1至球心O

的距離為a，a+R1<<

R,

帶電部分電荷體密度為。求O1點的場強和電勢。aOO1

RR1解：整個體系可以看成是一個以O為球心R為半徑，電荷體密度為的均勻帶電球和另一個以O1為球心R1為半徑均勻帶負電，電荷體密度為–的帶電球所構成。根據場強和電勢的疊加原理可求解。aOO1

RR1高斯面以O為心做一半徑為a的高斯面，由高斯定理均勻帶電大球在O1處的場強為：均勻帶負電的小球在O1處的場強為零。方向沿O

O1的連線方向。用1，2角標分別表示大、小球。它們各自在球內外產生的場強：Or2

r1

O1均勻帶電大球在O1點產生的電勢是：疊加原理給出：均勻帶電小球在O1點產生的電勢是：所以在O1點產生的總電勢是：等勢面——電勢相等的點所組成的曲面。等勢面引入等勢面也是為了形象地描述靜電場的電勢分布。等勢面與電場線的關系：

等勢面與電場線處處正交，電場線指向電勢降低的方向；(a)孤立點電荷(b)一對等量異號點電荷實例：

虛線——等勢面

實線——電場線證明等勢面密的地方，場強數值大；反之，場強小。[例題]電力線處處垂直等勢面在等勢面上任取兩點a、b，則等勢=0a、b任取處處有返回

[題14.12]

面電荷密度分別為+s和-s的兩塊“無限大”均勻帶電平行平面，分別與x軸垂直相交于x1=a，x2=-a兩點。設坐標原點O處電勢為零，試求空間的電勢分布表示式。

[題14.22]

兩個帶等量異號電荷的均勻帶電同心球面，半徑分別為R1=0.03m

和R2=0.10m。已知兩者的電勢差為450V，求內球面上所帶的電荷。§16-4

電勢梯度

電勢梯度及其與場強的關系取極限得方向導數：微分保守力保守場勢能勢積分結論：電場強度等于相聯系的電勢的梯度的負值：[例題]

利用均勻帶電圓環軸線上的電勢公式

求這個圓環軸線上的場強。解：由對稱性可以判斷

P點的場強沿

x方向。注：用電勢梯度求場強，必須已知勢分布函數

Ｕ(x,y,z)，如果已知在某個方向上的分布函數Ｕ(x,y0,z0)，則可以求出該方向的場強分量。[例題]

利用電偶極子的電勢分布公式

求電偶極子的場強分布。解：考慮

P點場強在

和

方向的分量

Er

和

Eq

。本章結束

理解靜電場的保守性，電勢能，靜電場環路定理；掌握電勢，電勢疊加原理，電勢的計算，并能熟