4.2.2對數運算法則學習目標1.通過對數運算法則的推導,培養邏輯推理的核心素養.2.通過對數運算法則的運用,培養數學運算的核心素養.自主預習認真閱讀課本第20~23頁,做好預習筆記.1.積、商、冪的對數對于a>0且a≠1,M>0,N>0,積的對數loga(MN)=logaM+logaN.真數為有限多個正因數相乘的情形,即loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk.商的對數logaMN=logaM-loga冪的對數logaMn=nlogaM.2.換底公式logab=logcblogca,a>0且a≠1,課堂探究一、積、商、冪的對數請同學們判斷一下幾組數是否相等?(1)lg100+lg0.1與lg(100×0.1);(2)log28+log24與log232.1.你知道log63與log62的值嗎?你能算出log63+log62的值嗎?如果設x=log63,y=log62,則6x=,6y=,怎樣由這兩個式子得到x+y?

2.由指數運算的法則aαaβ=aα+β能得出對數運算具有什么運算法則?一般地,設aα=M>0,aβ=N>0,則有logaM=α,logaN=β.由aα+β=aαaβ=MN.可知loga(MN)=α+β,代入α與β的值,有loga(MN)=logaM+logaN.(積的對數=對數的和)真數為有限多個正因數相乘的情形,即loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk.特別地,當正因數全部相等時,可得logaNk=klogaN(正數的k次方的對數=正數的對數的k倍),其中k是正整數.我們還可以由(aβ)α=aβ×α得出logaMα=αlogaM,其中α為任意實數(證明留作練習).例如,lg0.001=lg10-3=-3lg10=-3.另外,由上面兩個結論可知logaMN=loga(MN-1)=logaM+logaN-1=logaM-logaN.(商的對數=例1logax,logay,logaz表示下列各式.(1)logaxyz;(2)logax3y5例2計算下列各式的值.(1)lg4+lg25;(2)lg3100(3)log2(47×25);(4)(lg2)2+lg20×lg5.二、換底公式我們能不能借助lg3和lg5求出log35的值呢?一般地,我們有logab=log其中a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1.這一結果通常被稱為換底公式.換底公式及常用的推論(1)logab=logcblogca(a>0且a≠1,(2)由換底公式可得兩個結論:①logambn=nmlog②logab=1logba(或logab·log例3求log89×log2732的值.例4求證logatbs=stlog其中a>0且a≠1,b>0,s∈R,t∈R且t≠0.三、對數式的化簡求值例5計算下列各式的值.(1)12lg3249-43lg8+(2)lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2對數式的化簡求值這類問題一般有兩種處理方法:一種是將式中真數的積、商、方根運用對數的運算法則將它們化為對數的和、差、積、商,然后化簡求值;另一種方法是將式中的對數的和、差、積、商運用對數的運算法則將它們化為真數的積、商、冪,然后化簡求值.課堂練習一、積、商、冪的對數1.計算下列各式的值.(1)log26-log23;(2)lg5+lg2;(3)log53-log513(4)log35-log315;(5)lne;(6)lg100-2.2.已知3a=2,用a表示log34-log36.二、換底公式3.已知log32=a,3b=5,用a,b表示log330.4.已知lg2≈0.3010,求lg5的近似值(精確到0.0001).三、對數的運算法則5.計算:log54×log85.6.化簡:(lo強化訓練1.求下列各式的值.(1)lg0.001-log27181(2)log48+log1(3)log73492.(1)已知α∈R,a>0且a≠1.由(aβ)α=aβ×α,證明logaMα=αlogaM;(2)由對數的定義證明換底公式logab=log3.計算lg52+lg2×lg50的值4.求證logxy×logyz×logzx=1.5.比較log62與log63的大小.6.化簡lg5×lg8000+lg232+lg0.067.化簡2lg2+lg31+參考答案自主預習略課堂探究略課堂練習1.(1)1(2)1(3)2log53(4)-1(5)12(6)-2.由3a=2,可知a=log32,因此原式=log346=log323=log32-1=a-3.log330=12log330=12(14.lg5=1-lg2≈1-0.3010=0.69905.26.2-log35強化訓練1.(1)-53(2)-122.(1)設aβ=M,則β=logaM,所以logaMα=loga(aβ)α=logaaβ×α=α×β.把β=logaM代入,即可得loga