奔馳定理與三角形的四心【方法點撥】奔馳定理：設是內一點，的面積分別記作則.說明：本定理圖形酷似奔馳的車標而得名.奔馳定理在三角形四心中的具體形式：（1）是的重心.（2）是的內心.（3）是的外心.（4）是的垂心.3.奔馳定理是三角形四心向量式的完美統一.4.奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用．【典型例題】例1為三角形內部一點，??均為大于1的正實數，且滿足，若??分別表示??的面積，則為（）A． B． C． D．【答案】【解析一】由，，，，如圖設，即是的重心，同理可得，，所以．故選：．【解析二】由，，，，由奔馳定理得：．故選：．例2在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，a=b=4，c=6，I是△ABC中內切圓的圓心，若，則．【答案】【解析一】（向量的線性表示、數量積、三角形內切圓半徑求法）易求得，而，所以另一方面，對上式兩邊同時作數量積得：，易知，，所以，所以.【解析二】（奔馳定理）聯想到奔馳定理，將轉化為整理為：由奔馳定理得解之得.點評：解法一中的很多知識點并不為學生所熟悉，解決起來有較大難度，而解法二直接使用奔馳定理十分簡潔.例3已知是的重心，且滿足，則=.【答案】【分析】要牢記前面的系數之比為1:1:1，求得三內角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】∵是的重心，∴∴∴由正弦定理，由余弦定理，∵，∴.例4設H是△ABC的垂心，若，則的值為（）A．B．C． D．【答案】D【解析】因為，由三角形垂心的向量定理得設，，由代入得，解之得所以又因為，所以.例5已知點O為所在平面內一點，且，則下列選項正確的是（）A.B.直線必過邊中點C.D.若，且，則【答案】ACD【解析】對于A，插入點A，，所以；對于B，若直線過邊的中點，則，由上知，不成立；對于C，由奔馳定理知；對于D，由得，兩邊平方得.例6在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若△ABC的外接圓的圓心為，且滿足，則的值為.【答案】【解析】∵∴，即∵，∴，∵，∴，對兩邊同時點乘得：∵，∴，即由正弦定理知∴.

【鞏固練習】1.已知P是△ABC所在平面內一點，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，則P是△ABC的()A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心2.已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)),2)＋λeq\o(AP,\s\up6(→))，λ∈R，則P點的軌跡一定經過△ABC的()A.外心 B.內心 C.重心 D.垂心3．點P在△ABC內部，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則S△ABC∶S△APC為()A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶34．點O為△ABC內一點，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，設eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則實數λ和μ的值分別為()\f(2,9)，eq\f(4,9)\f(4,9)，eq\f(2,9)\f(1,9)，eq\f(2,9)\f(2,9)，eq\f(1,9)5.設O是△ABC的內心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若則（）A．B．C． D．6.已知O為正內的一點，且滿足，若的面積與的面積的比值為3，則的值為（）A． B． C．2 D．37.在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，a=5，b=12，c=13，I是△ABC內切圓的圓心，若，則=________．8.在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，I是△ABC內切圓的圓心，若，則=________．9.已知是銳角的外接圓圓心，，則實數的值為__________．10.已知是所在平面內一點，且滿足，則=.【答案與提示】1.【答案】D【解析】由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，可得eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PB,\s\up6(→))⊥eq\o(CA,\s\up6(→))，同理可證eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).∴P是△ABC的垂心.2.【答案】C【解析】設BC的中點為M，則eq\f(\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)),2)＝eq\o(OM,\s\up6(→))，則有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋λeq\o(AP,\s\up6(→))，即eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(AP,\s\up6(→)).∴P的軌跡一定通過△ABC的重心.3.【答案】C【解析】根據奔馳定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.4.【答案】A【解析】根據奔馳定理，得3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋4(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選A.5.【答案】A【分析】