解析幾何中的定點定值問題考綱解讀：定點定值問題是解析幾何解答題的考查重點。此類問題定中有動，動中有定，并且常與軌跡問題，曲線系問題等相結合，深入考查直線的圓，圓錐曲線，直線和圓錐曲線位置關系等相關知識。考查數形結合，分類討論，化歸與轉化，函數和方程等數學思想方法。一、定點問題解題的關健在于尋找題中用來聯系已知量，未知量的垂直關系、中點關系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關系，通過整理，變形轉化為過定點的直線系、曲線系來解決。例1、已知A、B是拋物線y2=2px(P>O)上異于原點0的兩個不同點，直線OAa和卩，當a、卩變化且a+滬一時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標。22例2.已知橢圓C22例2.已知橢圓C:篤每ab1(ab0)的離心率為—3，以原點為圓心,2橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線xy20相切.⑴求橢圓C的方程;⑵設P(4,0),M、N是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連結 PN交橢圓C于另一點E，求直線PN的斜率的取值范圍;直線PN的斜率的取值范圍;⑶在⑵的條件下，證明直線ME與x軸相交于定點.【針對性練習1【針對性練習1】在直角坐標系xOy中，點M到點Fi3,0,F23,0的距離之和是4，點M的軌跡是C與跡是C與x軸的負半軸交于點A，不過點A的直線I:ykxb與軌跡C交于不同的兩點P和Q.⑴求軌跡C的方程；⑵當APAQ⑴求軌跡C的方程；⑵當APAQ0時，求k與b的關系，并證明直線I過定點.2X【針對性練習2】在平面直角坐標系xoy中，如圖，已知橢圓一91的左、右頂點為a、b，右焦點為F。設過點T(t,m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點M(X1,yj、N(X2,y2)，其中m>0,yi0,y20。（1）設動點P滿足PF2PB24，求點P的軌跡；1（2）設Xi2,X2 ，求點T的坐標；3（3）設t9,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。【針對性練習3】已知橢圓C中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，短軸長為23.（I）求橢圓C的標準方程；（n）若直線I:ykxmk0與橢圓交于不同的兩點M、N（M、N不是橢圓的左、右頂點），且以MN為直徑的圓經過橢圓的右頂點A?求證：直線I過定點，并求出定點的坐標.例3、已知橢圓的焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線 x24y的焦點，離心率e令，過橢圓的右焦點F作與坐標軸不垂直的直線I，交橢圓于A、B兩點。（I）求橢圓的標準方程；uuurumr uuu（n）設點M（m,0）是線段OF上的一個動點，且（MAMB）AB，求m的取值范圍；（川）設點C是點A關于x軸的對稱點，在x軸上是否存在一個定點N，使得C、B、N三點共線？若存在，求出定點N的坐標，若不存在，請說明理由。二、定值問題在解析幾何中，有些幾何量與參數無關，這就構成了定值問題，解決這類問題時，要善于運用辯證的觀點去思考分析，在動點的“變”中尋求定值的“不變”性，一種思路是進行一般計算推理求出其結果，選定一個適合該題設的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質，再用韋達定理，點差法等導出所求定值關系所需要的表達式，并將其代入定值關系式，化簡整理求出結果， ；另一種思路是通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉化為有方向有目標的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口，將該問題涉及的幾何形式轉化為代數形式或三角形式，證明該式是恒定的。同時有許多定值問題，通過特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索。如果試題是客觀題形式出現，特珠化方法往往比較奏效。例4、已知橢圓的中心為坐標原點0,焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點的直線交橢圓于 A、B兩點，OAOB與a（3,1）共線。（1）求橢圓的離心率；

■ 22(2)設M為橢圓上任意一點，且OMOAOB(,R)，證明 為定值。3例5、已知，橢圓C過點A(1,2)，兩個焦點為(一1,0),(1,0)。(1)求橢圓C的方程；...(2)E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線 AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線 EF的斜率為定值，并求出這個定值。將第二問的結論進行如下推廣:22X y結論1.過橢圓—+ 2=1(a>0,b>0)上任一點A(Xo.yo)任意作兩條斜率互為相反數的直線交橢圓于a bE、FE、F兩點，則直線EF的斜率為定值警(常數)。ayo2X結論2.過雙曲線—-a2每=1(a>0,b>0)上任一點A(x°,y°)任意作兩條斜率互為相反數的直線交橢圓b于E、F兩點，則直線b2XEF的斜率為定值-(常數)。ay結論3.過拋物線y2=2px(p>0)上任一點A(X0,y。)任意作兩條斜率互為相反數的直線交橢圓于 E、F兩點，則直線EF的斜率為定值-衛(常數)。yo例6、已知橢圓的中心在原點，焦點 F在y軸的非負半軸上，點F到短軸端點的距離是4，橢圓上的點到焦點F距離的最大值是6.(I)求橢圓的標準方程和離心率e;(n)若F為焦點F關于直線y3的對稱點，動點M滿足MFe,問是否存在一個定點A，使M到MF點A的距離為定值？若存在，求出點 A的坐標及此定值；若不存在，請說明理由例7、已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，P(2,0)為定點.

(I)若點P為拋物線的焦點，求拋物線C的方程;(n)若動圓M過點P,且圓心M在拋物線C上運動，點A、B是圓M與y軸的兩交點，試推斷是否存在一條拋物線C,使|AB|為定值？若存在，求這個定值；若不存在，說明理由.例8、已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為 21，離心率為J2e—.(I)求橢圓E的方程；(n)過點1,0作直線I交E于P、Q兩點，試問：在x軸上是否存在uuuuiuu一個定點M,MPMQ為定值？若存在，求出這個定點 M的坐標；若不存在，請說明理由.二、定直線冋題22例9、設橢圓C:篤再1(ab0)過點，且焦點為F,(.2,0)(I)求橢圓C的方程；ab(n)當過點P(4,1)的動直線I與橢圓C相交與兩不同點代B時，在線段AB上取點Q,滿足uuiuuiAPgQBUULTUlUuuiuuiAPgQBUULTUlUAQgPB，證明：點Q總在某定直線上例10、已知橢圓C的離心率e3，長軸的左右端點分別為Ai2,0,A22,0。(I)求橢圓C的2方程；(n)設直線xmy1與橢圓C交于P、Q兩點，直線AF與A?Q交于點S。試問：當m變化時,點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由。四、其它定值問題乜(I)乜(I)求雙曲線C3例11、已知雙曲線C:^每1(a0,b0)的離心率為，右準線方程為xabI與雙曲線C交于不同的方程；(n)設直線I是圓O:x2y22上動點P(x),y0)(x°yI與雙曲線C交于不同的兩點A,B，證明AOB的大小為定值.22xy. 一例12、己知橢圓—亍1(a>b>0)，過其中心O的任意兩條互相垂直的直徑是P1P2、abQ1Q2,求證：以兩條直徑的四個端點所成的四邊形Q1Q2,求證：以兩條直徑的四個端點所成的四邊形探索定圓：取橢圓長軸和短軸為兩直徑，貝UP1Q1P2Q2與一定圓相切。A2B2的方程為-y1，原點0到直線A2B2的距離為r「aab a2b22J2 2ab則與菱形AB1A2B2內切的圓方程為x2y2 — 2ab例13、已知P（x°,yo）例13、已知P（x°,yo）是雙曲線xya2(a0）上的一個定點，過點P作兩條互相垂直的直線分別交雙曲線于Pl、P2兩點（異于P點），求證：直線P1P2的方向不變。2證明：設PPi的斜率為k，貝UPP2的斜率為???PPi的方程為yyok(xXo)PP2的方程為yyo???PPi的方程為yyok(xXo)PP2的方程為yyo1k(xXo），與拋物xya2聯立解得R(2.yo ak、1)、k yo2P2（ky°,「），從而kyo2a-2yo2(定值)aEX:過拋物線y2=2px（P>O）上一定點（xo,yo）作兩條直線分別交拋物線于 A,B兩點，滿足直線PA、PB斜率存在且傾斜角互補，則AB的斜率為定值。推廣：拋物線推廣到橢圓或雙雙曲線均可。五、練習1、橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率為——，三角形ABM的三個頂點都在橢圓上，其中2M點為（1,1）,且直線MA、MB的斜率之和為0。（1）求橢圓的方程。（2）求證：直線AB1的斜率是定值。分析：（1）x2+2y2=3 （2）-2222、已知定點C（1,0）及橢圓x3y5，過點C的動直線與橢圓相交于A,B兩點.（I）若線段AB中一1點的橫坐標是 ，求直線AB的方程；2(n)在x軸上是否存在點M，使MAMB為常數？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.分析：7門、 4M( - , 0) -3 93、已知不垂直于x軸的動直線I交拋物線y2=2mx（m>0）于A、B兩點，若A、B兩點滿足/AQP=/BQP，若其中Q點坐標為（-4,0）,原點O為PQ中點。（1）證明：A、P、B三點線；（2）當m=2時，是否存在垂直于x軸的直線I',使得I'被以PA為直徑的圓所截得的弦長為定值？如果存在求出 I'的方程。分析：設點AB的坐標（2）l:x=3.224、已知橢圓1（ab0）的左、右焦點分別為F1,F2，短軸的兩個端點為 A、B,且四邊形abF1AF2B是邊長為2的正方形。（1）求橢圓的方程。（2）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動UULWumr點M滿足MD丄CD,連結CM交橢圓于點P,證明：OMgOP為值。（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存在異于C的定點Q，使得以MP為直徑的圓過直線DP,MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標。分析:22xy(1)14 2(2)y y UUUUUUU由O、M、P三點共線，得ym p，所以OMgOP=44 Xp2uuuuuuu(3)設Q點(a,0)，由QMgDP0,得a=0.5、設2xP為雙曲線raV2 uuuunu21(a,b0)上任意一點，5、設2xP為雙曲線raV2 uuuunu21(a,b0)上任意一點，F1,F2是雙曲線的左右焦點，若 PF1LF2的最小值b是-1,雙曲線的離心率是 。(1)求雙曲線C的方程；(2)過雙曲線C的右焦點F2的直線交雙曲線3B兩點，過作右準線的垂線，垂足為 C,求證：直線AC恒過定點。分析:x2 7(1)Ty21 (2)先猜再證：(4,0)Xiyi4勺換掉x1代入韋達定理得證。方法二:4設AB:x=my+2代入方程得： (m2—3)y2+4my+=04mV2 —m31m2 32AC:y廣(X3)v2=—x3 '2 2 1-my_2 力23(%y2)2myy2y2 12又2my1y2=- (y1+y2)然后代入22my11韋達定理得。6、在平面直角坐標系xOy中,Rt△ABC的斜邊BC恰在X軸上，點B(—2,0),C(2,0),且AD為BC邊上的高。(I)求AD中點G的軌跡方程；(II)若過點(1,0)的直線I與(I)中G的軌跡交于兩不同點 P、Q，試問在X軸上是否存在定點uuuE(m,0)，使PEuuiuQE恒為定值入？若存在，求出點E的坐標及實數入的值；若不存在，請說明理由。分析：(1)1(v0)(2)m=17定值為色不容易先猜出，只能是化簡求出。8 642的右焦點F且與E相交于P,Q兩點。(1)uuu設OR(1)uuu設ORmuuuir(OPOQ),2求點R的軌跡方程。(2)若直線l的傾斜角為60，求1 1的值。（當1的傾斜角不定時，可證11是422解析：設A(y1y1),B(y2,y2),2p2ptan2ptan2p代入tan(y1y2得2p(y1y2)ym4p2(1)別為a和卩，當a、卩變化且a+卩=—時，證明直線|PF||QF| |PF||QF|定值。）分析：x22y2x0 （2）可先猜再證2、、Q解析幾何中的定點定值問題考綱解讀：定點定值問題是解析幾何解答題的考查重點。此類問題定中有動，動中有定，并且常與軌跡問題，曲線系問題等相結合，深入考查直線的圓，圓錐曲線，直線和圓錐曲線位置關系等相關知識。考查數形結合，分類討論，化歸與轉化，函數和方程等數學思想方法。四、定點問題解題的關健在于尋找題中用來聯系已知量，未知量的垂直關系、中點關系、方程、不等式，然后將已知量，未知量代入上述關系，通過整理，變形轉化為過定點的直線系、曲線系來解決。例1、已知A、B是拋物線y2=2px（P>O）上異于原點0的兩個不同點，直線OA和0B的傾斜角分又設直線AB的方程為ykxb，則ykxb2y22pxky2py2pb0…yi…yiy22pbkyiy出，代入（1）式得b2p2pkk???直線AB的方程為y2pk(x2p)???直線AB過定點（-2p,2p）說明：本題在特殊條件下很難探索出定點，因此要從已知出發，把所求的定點問題轉化為求直線AB，再從AB直線系中看出定點。2例2.[2010東城一模】已知橢圓C:篤a2占1(ab0)的離心率為—，以原點為圓心，橢圓的2短半軸長為半徑的圓與直線xy2 0相切.⑴求橢圓C的方程;⑵設P(4,0),M、N是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連結PN交橢圓C于另一點E，求直線PN的斜率的取值范圍;⑶在⑵的條件下，證明直線ME與x軸相交于定點.c3 c2a2b2解析：⑴由題意知e- 3，所以e2二a2 aa2a24,b21，故橢圓C的方程為C:-y21.4-，即422a4b,又因為b—迄1,V1 1所以⑵由題意知直線PN的斜率存在，設直線PN的方程為yk(x4)聯立yk(x4)x2 2消去y得：(4k27y11)x232k2x4(16k21)0,(32k2)2 4(4k2 1)(64k2 4)20得12k 1 0,0不合題意,所以直線PN的斜率的取值范圍是⑶設點N(n,yi),Eg,y2)，則M(n,yi)，直線ME的方程為y2由得①Xi『2(x2xj得xx2 ，將y1y2y1

32k2 64k24X2斗，X1X264為4代入②整理，得x1,4k1 4k1所以直線ME與x軸相交于定點(1,0).y2』(xX2),x2為x2 4(x1x2)xX2k(xi4),y2 k(X24)代入整理，得x1 x2 8【針對性練習1】在直角坐標系xOy中，點M到點Fi 3,0,F23,0的距離之和是4，點M的軌跡是C與x軸的負半軸交于點 A，不過點A的直線l:ykxb與軌跡C交于不同的兩點P和Q.⑴求軌跡C的方程;uuuUULT⑵當APAQ0時，求k與b的關系，并證明直線I過定點.解：⑴???點解：⑴???點M到.3,0， 3,0的距離之和是4,???M的軌跡C是長軸為4,焦點在x軸上焦中為232的橢圓，其方程為-y21.4⑵將ykxb⑵將ykxb，代入曲線C的方程,整理得(14k2)x2 8「2kx4 0，因為直線l與曲線C交于不同的22兩點22兩點P和Q，所以64kb4(122224k)(4b4) 16(4kb1)0 ①設Pxi,yi,QX設Pxi,yi,QX2,y2 ,則Xi x282k14kX1X -2②14k且y1y2(kx1b)(kx2b)(k2x1x2)kb(x1X2)b2，顯然，曲線C與x軸的負半軸交于點A2,0，所uuu uur以APx2,yuuu uur以APx2,y,AQX2 2,y2 .由uuuuuirAPAQ0,得(Xi2)(X22)y°20.將②、③代入上式，整理得2212k16kb5b0.所以(2kb)(6k 5b) 0,即將②、③代入上式，整理得2212k16kb5b0.所以(2kb)(6k 5b) 0,即b2k或b6k.經檢驗,5都符合條件①，當b2k時，直線I的方程為ykx2k.顯然，此時直線I經過定點2,0點.即直線l經過點A，與題意不符?當b6k時，直線5I的方程為ykx6kkx55 6顯然，此時直線I經過定點 6顯然，此時直線I經過定點 6,0點，且不過點A.綜上,5k與b的關系是:且直線l經過定點6,0點.【針對性練習2】在平面直角坐標系xoy中，如圖，已知橢圓X【針對性練習2】在平面直角坐標系xoy中，如圖，已知橢圓X21的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設過點T(t,m)的直線TA、TB與橢圓分別交于點N(X2」2)，其中m>0,y10,y20。(1)設動點P滿足PF2PB2 4，求點P的軌跡;、1一(2)設X12,X2 ，求點T的坐標；3

（3）設t9,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。【解析】本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎知識。考查運算求解能力和探究問題的能力。解：（1）設點P（x解：（1）設點P（x,y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。22由PFPB4，得(x2)22y[(x3)]4,化簡得x故所求點P的軌跡為直線x（2）將捲 2必1分別代入橢圓方程,3以及yi0,y2 0得：M5(2，)、320)9（2）將捲 2必1分別代入橢圓方程,3以及yi0,y2 0得：M5(2，)、320)9y0x350233y0x200193x710，y3710)o3(9,m)y0x3m093y0x3m093直線MTA方程為:，即直線NTB方程為:聯立方程組，解得:所以點T的坐標為（3）點T的坐標為直線MTA方程為:，即直線NTB方程為:，即m.(x12m,

(x63)，3)。2,x分別與橢圓2,x分別與橢圓■9i聯立方程組，同時考慮到x1 3,x23，解得：M（迴80m2)2m40m)、80m2N解得：M（迴80m2)2m40m)、80m2N(汀20m))o20m（方法一）當X,X2時，直線MN方程為:20m20m240m80m2x3(m220)20m2令y0，解得:X1。此時必過點D（1，0）；20m20m23(80m2) 3(m220)80m220m2當X當X1X2時，直線MN方程為：X1，與x軸交點為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點所以直線MN必過x軸上的一定點D（1,0）。（方法二）若％!X2，則由2403m280m2匹￡°及m0，得m210，20m此時直線MN的方程為X1，過點D（1，0）。40m若x1x2，則m2.10，直線MD的斜率kMD80m210m2403m22,1 40m802m20m直線ND的斜率kND 20m3m260d亍120m210m得kMDkND,所以直線MN過D點。40m2，因此，直線MN必過x軸上的點（1,0)。【針對性練習3】（2011年石景山期末理18）已知橢圓C中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，短軸

長為2“./3.（I）求橢圓C的標準方程；（n）若直線I:ykxmk0與橢圓交于不同的兩點M、N（M、N不是橢圓的左、右頂點），且以MN為直徑的圓經過橢圓的右頂點 A?求證：直線I過定點，并求出定點的坐標.解：（I）設橢圓的長半軸為a，短半軸長為b，半焦距為c,則2c2,2b2、、3, 解得a2,2■22b,3,abc,22橢圓C的標準方程為 —丘143220y~1(n)由方程組431消去y，得ykxm22234kx8kmx4m120.222由題意△8km434k24m212 0,由題意△整理得：34k2m2 0 ①設Mx1,y1>Nx>，y2，則Xi X28km2，4k2X1X24m21234k2由已知,AMAN,且橢圓的右頂點為A(2,0),即1k2x1x2km2x1 x22m40,2 4m2128km2也即1kkm2-m4 0,34k234k2整理得27m16mk4k20.解得m2k或m2k，均滿足① 11分7當m2k時，直線I的方程為ykx2k,過定點(2,0)，不符合題意舍去;220.10分XiX2yM2k弓時，直線1的方程為y，過定點(2,0)2故直線1過定點，且定點的坐標為(7,0).13分2例3、已知橢圓的焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線 x4y的焦點，離心率e2「5，過橢圓的右焦點F作與坐標軸不垂直的直線I，交橢圓于A、(I)求橢圓的標準方程；uujr(n)設點M(m,0)是線段OF上的一個動點，且(MAB兩點。jiltuurMB)AB(川)設點C是點A關于x軸的對稱點，在x軸上是否存在一個定點N的坐標，若不存在，請說明理由。每1(ab0)，由題意知b1b三點共線？若存在，求出定點2Xa解法一：(I)設橢圓方程為22ab2

a(n)2代入—5由(則X1 x2JJIT，求m的取值范圍;N，使得C、25l)得F(2,0)，所以0ma2 5故橢圓方程為2，設I的方程為yk(x2)(k0)1，得(5k220k25k2 1,X1X2ujurMAMB(x-!m,y1)uurQ(MAMB)20k25k2 1umr2m1)x2 20k2x20k2 52 -y15k1(X2my)uur ujuAB,(MA4k220,5k21UJITMB)jjj

AB(820k25 0設AX,yjB(X2,y2),(Xi0,5m)k2y2k(x1X2 4),y1y2k(x1x?)iuuX22m,%y2),AB區(X1X2 2m)(x2X1)(y2m0由k2—0,085mX1,y2%)(%85yi)y2)0UULT UUUMB)ABUULT UUUMB)AB成立。5N(—,0)，使得C、2N三點共線。依題意知C（xi,yi），直線BC的方8uuu當0m 時，有（MA5（川）在x軸上存在定點程為yy1Ql的方程為yyx2x-iyk(x(xxi)，2),A、B在直線I上，y1k(N2),y2k(X2 2)k(x( 1)x2yi(X2為)y2 y-k(x21)x.|k(x1x2)4kxi翌3y2y-2kx1x22k(x-|x2)

k(x-ix2)4k22k駕5k2,20kk—5k2120k25k214k5在x軸上存在定點N（—,0），使得CBN三點共線。2解法二：（n）2代入—5由（I)得F(2,0)，得(5k21)x2所以020k2m2。設I的方程為yk(x2)(k0),20k250設A(Xi,yJ,BEy2),則\o"CurrentDocument"2 220k2xx20k2 52,X1X2 25k1 5k1UULTUUUQ(MAMB)AB,|MA||MB|,Q..(x1m)2X1UULTy1y2k(X1X24)4k5k2y2k(x1X2)..(X2m)2y2,(X1X22m)(^X2)(% y2)(%曲0,k2)(x1X2)2m4k20,(85m)k2m08k288小 ?2 小8m 22)Qk0, k00m5k155(5k158UULTUULTUUU當0m時，有（MAMB)AB成立。55（川）在x軸上存在定點N（—,0），使得C、B、N三點共線。2UUUUUUT設存在N（t,0）,使得C、B、N三點共線，則CB//CN,UUU UHTTOC\o"1-5"\h\zQCB（X1X2,y2yJ,CN（t為，％）,區為）力（txj?y?） 02x1X2(t2)(X1X2)4t2220k 5\o"CurrentDocument"2x1X2(t2)(X1X2)4t2220k 5\o"CurrentDocument"2 25k2 1(t2)霍4t\o"CurrentDocument"5 5t2存在N（2,0），使得CBN三點共線。五、定值問題在解析幾何中，有些幾何量與參數無關，這就構成了定值問題，解決這類問題時，要善于運用辯證的觀點去思考分析，在動點的“變”中尋求定值的“不變”性，一種思路是進行一般計算推理求出其結果，選定一個適合該題設的參變量，用題中已知量和參變量表示題中所涉及的定義，方程，幾何性質，再用韋達定理，點差法等導出所求定值關系所需要的表達式，并將其代入定值關系式，化簡整理求出結果， ；另一種思路是通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）

先確定出定值，揭開神秘的面紗，這樣可將盲目的探索問題轉化為有方向有目標的一般性證明題，從而找到解決問題的突破口，將該問題涉及的幾何形式轉化為代數形式或三角形式，證明該式是恒定的。同時有許多定值問題，通過特殊探索法不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索。如果試題是客觀題形式出現，特珠化方法往往比較奏效。例4、已知橢圓的中心為坐標原點 O,焦點在例4、已知橢圓的中心為坐標原點 O,B兩點，OAOB與a(3,1)共線。(1)求橢圓的離心率;(2)設M為橢圓上任意一點，且OMOAOBR)，證明2 2為定值。解析:2x設橢圓方程為—a(a>b>0)，A(xi,yi)，B(x2,y2)，AB的中點為N(xo,yo),2X1a2X2a22y2b(2)設M為橢圓上任意一點，且OMOAOBR)，證明2 2為定值。解析:2x設橢圓方程為—a(a>b>0)，A(xi,yi)，B(x2,y2)，AB的中點為N(xo,yo),2X1a2X2a22y2b21,兩式相減及1 X2 X1y2yi1得到yob2~2x0，a所以直線ON的方向向量為ON(1,b2-2ab2~2，a即a23b2，從而得e,63(2)探索定值 因為M是橢圓上任意一點，若M與A重合，則OMOA，此時1,2證明?/a3b2，橢圓方程為2 c 2x3y3b2，又直線方程為X1又設Myx3y2c3b24x226cx3c3b2X23c,2x1x2223c3b4y)，則由OMOAOBX1X2y1，代入橢圓方程整理得y22(xi3y12) 2(x；3y|)2(X1X23丫2丫2)3b2又???x；3y23b2,x；3y| 3b2,X1X23y1y224x1X23c(x1X2)3c3c2(1)求橢圓C的方程;(2)5、已知，橢圓C過點A3兩個焦點為(一1,0),(1,0)。E,F是橢圓CX1X23y1y224x1X23c(x1X2)3c3c2(1)求橢圓C的方程;(2)5、已知，橢圓C過點A3兩個焦點為(一1,0),(1,0)。E,F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數,證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值。解析：(1)由題意,c=1,可設橢圓方程為94b21，解得b2 3，b2\17

去

舍2x所以橢圓方程為-42

y_31。(2)設直線AE方程為:yk(x1)(34k2)x2 4k(332k)x4(2k)2 120設E(XE,yE),F(XF,yF),因為點A(1,|)在橢圓上，所以Xf3 24(—k)12234k23yE kxE k2又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數，在上式中以一K代K,可得Xf3 24( k)21222，34k2yE kxE3k2所以直線EF的斜率KEf興 YeXeXfk(xFxE)2kXfXe即直線EF的斜率為定值,其值為將第二問的結論進行如下推廣:22Xy結論1.過橢圓—+r=1(a>0,b>0)上任一點A(xo,yo)任意作兩條斜率互為相反數的直線交橢圓于abb2xE、F兩點，則直線EF的斜率為定值丁0(常數)。ayo證明：直線AE的方程為y-yo=k(x-Xo)，則直線AF的方程為y-y°二-k(x-x°)，22聯立y-yo=k(x-Xo)和篤+爲=1，消去y可得ab(a2k2+b2)x2+2a2k(yo-kxo)+a2(yo-kxo)2-a2b2=o設E(xi,yi),F(x2,y2),則Xi+Xo=-2ak(yokXo)Xi222’,2設E(xi,yi),F(x2,y2),則Xi+Xo=-2ak(yokXo)Xi222’,2akXo-2aky。-bXo同理2|22ak+b222,2

akXo+2akyo-bXoa2k2+b2由xi-X2=-4a2kyoa2k2+b2'yi-y2=k(Xi-Xo)+yo+k(X2-Xo)-則直線EF的斜率為%-%=X|-x2b2Xo~2~

ayoX2=yo=a2k2+b2-4b2kxo~2~2 2,ak+b2X結論2.過雙曲線—-a2爲=i(a>o,b>bo)上任一點A(Xo,yo)任意作兩條斜率互為相反數的直線交橢圓于E、F兩點，則直線EF的斜率為定值bX(常數)。2ayo2E、F兩結論3.過拋物線y=2px(p>o)上任一點A(Xo,yE、F兩點，則直線EF的斜率為定值-衛(常數)。yo例6、【2oio巢湖市第一學期期末質檢】已知橢圓的中心在原點，焦點 F在y軸的非負半軸上，點F到短軸端點的距離是4，橢圓上的點到焦點F距離的最大值是6.(I)求橢圓的標準方程和離心率e;(n)若F為焦點F關于直線y2的對稱點，動點M滿足晉｝e,問是否存在一個定點A，使M到點A的距離為定值？若存在，求出點 A的坐標及此定值；若不存在，請說明理由

解析：(I)設橢圓長半軸長及半焦距分別為解析：(I)設橢圓長半軸長及半焦距分別為a,由已知得a4,ac 6,解得a4,c2.22所以橢圓的標準方程為 —1.離心率e1612、九 丄MF(n)F(0,2),F(0,1),設M(x,y),由祚TOC\o"1-5"\h\zx2(y2)2 1x2(y1)2 2化簡得3x23y214y150,即x2(y7)2(-)2\o"CurrentDocument"3 3其定值為故存在一個定點A(0,-)，使M到A點的距離為定值,其定值為3例7例7、【2010湖南師大附中第二次月考】已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，P(2,0)為定點.A、B是圓M與y軸的兩交點，試推斷是否存在(A、B是圓M與y軸的兩交點，試推斷是否存在(n)若動圓M過點P,且圓心M在拋物線C上運動，點一條拋物線C,使|AB|為定值？若存在，求這個定值；若不存在，說明理由.2 p p解析：(I)設拋物線方程為寸2px(p0)，則拋物線的焦點坐標為(上,0).由已知， 2，即22p4，故拋物線C的方程是y28x.(n)設圓心M(a,b)(a0)，點A(0,yj,B(0,y?).因為圓M過點P(2,0)，則可設圓M的方程為(xa)2(yb)2(a2)2b2.令x0，得y22by4a40.則力y2b,%y4a4.所以|AB|.(y1y2)2(y1y2)24y1y2 .4b216a16.，設拋物線C的方程為y2mx(m0)，因為圓心M在拋物線C上，則b2ma.所以|AB| 4ma16a16..,4a(m4)16.由此可得，當m4時，|AB|4為定值.故存在一條拋物2線y4x，使|AB|為定值4.例8、已知橢圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值廠 42為21，離心率為e—?(I)求橢圓E的方程；HITULJUU(n)過點1,0作直線I交E于P、Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M,MPMQ為定值？若存在，求出這個定點M的坐標；若不存在，請說明理由.解析：(I)設橢圓2E的方程為篤a2爲1,由已知得:c.212a2c1(n)法一ujitMP(X1X1X2m(:①當直線12X2由~2-yyk(x(2k21)x2yyk2(x1b21橢圓E的方程為:假設存在符合條件的點M(m,0)UUJC UULTUUUUm,yJ,MQ (x2m,y2),MPMQx1x2)m2y1y2o。。。。5分的斜率存在時，設直線1得X22k2(x1)21)4k2x(2k22) 0X11)(X2 1)uuruuuu2k22所以MPMQ一2—2k1UJITMP對于任意的k值,5 UULT所以M(—,O),MP4uuuiMQI的方程為:X2k2[x1x2 (x14k22k21UUUUMQ為定值,，又設(X14k22k21,X1X2)所以1]2k2k21P(Xi,yJ,Q(x2$2)，則:m)k(xX2(X2m)1)，則2k222k2k22k21(2m24m22I1)k(m2)k2222m4m1 2(m 2)②當直線I的斜率不存在時，直線I：x1,x1x2 2,x^x21,yw25UULT由m得MP4uuuu7MQ—16綜上述①②知,符合條件的點:假設存在點M(m,O)，(X1m)(X2m)I的斜率不為0時,法uiruuuiMPMQ5M存在，起坐標為(-,0)4又設P(x1,yJ,Q(x2,y2),則:13分UULTMP(x.UUUUm,yJ,MQ(x?m’y?)①當直線2

X由2XtyX1X2(ty1丫也二乂冷m(x1設直線I的方程為12得(t2)y22ty10y111)(ty21)t2y“2 t(y1y2)y2X2)xtyX1 X2t(y1y2)2m y』2….2t”尹1y2t22t2t2 2t2 2uuir

MPuuni

MQ2t2UUIT設MPuuiu

MQ2t22則曲222t2t42t4mt2 2)t222mt242—

t1

t2

4m12(m21

t222t2222)t2m4m1(m2(m22)t222m24m1(t22))t22m24m1 2 02m2m4m54 5M(—,0)11分7 4②當直線I的斜率為0時，直線l:y0,由m(5,0)得：TOC\o"1-5"\h\z譏uuu—5 - 5 25 7MPMQ(2 -)( 2 -) 24 4 16 165綜上述①②知，符合條件的點M存在，其坐標為(-,0)。。13分4六、定直線問題22例9、設橢圓C:篤爲1(ab0)過點M(、.2,1)，且焦點為Fi(.2,0)ab(i)求橢圓C的方程；(n)當過點P(4,1)的動直線I與橢圓C相交與兩不同點代B時，在線段AB上取點Q,滿足uuuuuuAPgQBuuruuuuuuuuuAPgQBuuruuuAQgPB，證明：點Q總在某定直線上解析：(1)由題意:c2 2211，解得a4,b2，所求橢圓方程為ab22.2cab⑵設點⑵設點Q(x,y),A(x1,yjBg,y?)，由題設,uuurnPAPB-uur-uuu-AQQBPA,PB,AQ,QB均不為零。又P,A,Q,B四點共線，可設urnPAuuiruuuAQ,PBuiurBQ( 0,1),于是4x1yX1,y1(1)114x1yX2,y2(2)11且22由于A(X1,yjB(x2,y2)在橢圓C上，將(1),(2)分別代入C的方程x2y4,整理得(x22y24)24(2xy2)140(3)(x22y24)24(2xy2)140(4)⑷一(3)得8(2xy2) 00,a2xy2 0,即點Q(x,y)總在定直線2xy2 0上例10、已知橢圓C例10、已知橢圓C的離心率e3~2，長軸的左右端點分別為A1 2,0,A22,0。(I)求橢圓變化的方程；（H）設直線xmy1與橢圓C交于P、Q兩點，直線Af與A?Q交于點S。試問：當變化時，點S是否恒在一條定直線上？若是，請寫出這條直線方程，并證明你的結論；若不是，請說明理由。解法一：（I）設橢圓?a2?a2,eC35-222.3,bac1。???橢圓C???橢圓C的方程為了(n)取mo,得P1,-32,Q1,i3，直線A1P的方程是y^"x 3直線A直線A2Q的方程是y3,交點為S4,-.3.，由對稱性可知交點為 S24, 3.若點S若點S在同一條直線上,則直線只能為 I:x4。以下證明對于任意的 m,直線AiP與直線A2Q的交點S均在直線l:x4上。事實上，由my2my12“24y4,即m42my30，記PX1,%,QH2，則y1y22m3m以下證明對于任意的 m,直線AiP與直線A2Q的交點S均在直線l:x4上。事實上，由my2my12“24y4,即m42my30，記PX1,%,QH2，則y1y22m3m2 4。設AiP與l交于點S0(4,yo)，由y。42x1答,得yo6y1x1設A2Q與l交于點So(4,yo),由兀X22y2X210Qyo yo6y12y2 6y1my?12y?my134my1y2 6y1y212mm2 4X1 2X2 212mx1 2x2 212分X12X2 2x1 2x2.yoyo，即So與So重合，這說明，當m變化時，點S恒在定直線I:x4上。13分解法二：（H）取m0,得p1,于，Q4,于，直線A1p的方程是yA2Q的方程是y3x、3,交點為S14,3.283取m1,得P5,5,Q0,1，直線A1P的方程是yr?直線A2Q的方程是yr1,交點為S24,1.???若交點S在同一條直線上，則直線只能為以下證明對于任意的m,直線AiP與直線A?Q的交點S均在直線l:x4上。事實上，由2X4Xmy22my14y4,m2 4y22my30記PX1,y1,QX2』22my1y2 =,y1y2m4A1P的方程是y―里X1①以下用分析法證明 X3y1my2 12my1y23y1解法三：(n)記PXi,yi,QA1P的方程是y1x1 2,A2Q的方程是y土2,消去y,得y2

x2 2y2Xi4時，①式恒成立。要證明①式恒成立，只需證明y2my13,即證2myw23y1y?6my2齊m2X2

由7yxmyX2,y2，則6mmyy1y2 2m0,?②式恒成立。這說明,當m變化時,2214y2m4,y1y2224,即m4y3m2 4°2my亠Xx1 22,A2Q的方程是2,得亠2, X122 y1X2八，八2 22g __y1X22\o"CurrentDocument"3 2m2m「^ 3「 y1m4m42廠c2m\o"CurrentDocument"3—2 ~y1m4yiy22 —X2 22gy2my13y2my1 3y1—4.這說明，當m變化時，點S恒在定直線I:x五、其它定值問題『1my? 1y1my2 12嚴1y23y23y2y14上。X26y1 2y2x1 2x2 2點S恒在定直線I:xyi12分13分22_例11、已知雙曲線C:鄉七1(a0,b0)的離心率為 3，右準線方程為ab,即證4上。(I)求雙曲線C的方程;22(n)設直線l是圓O:xy2上動點P(x),yo)(xoy°0)處的切線，|與雙曲線C交于不同的兩點A,B，證明AOB的大小為定值.解析：本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力.a 3(I)由題意，得c??3xo4o，設??3xo4o，設A、B兩點的坐標分別為 ,x2,y2,C晅a2???b2c2a22,???所求雙曲線C的方程為x2—1.22 2(n)點PXo,y°x°yo0在圓xy2上，圓在點PXo,yo處的切線方程為yyo —xx°yo22y彳化簡得xoXyoy2?由X1^22 及Xo2 cyo 2得XoXyoy23xo4x24xoX82xf0①3x(4y28yoX82xo0②2???切線I與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且0Xo2,82x23xo4,y』22x282，3xo4AOB的大小為90.uuuuuuAOB的大小為90.?OAOBxxy(y2 0,22xyP1P2、例12、己知橢圓—r1(a>b>0)P1P2、abQ1Q2,求證：以兩條直徑的四個端點所成的四邊形探索定圓：取橢圓長軸和短軸為兩直徑，貝UP1Q1P2Q2與一定圓相切。A2B2的方程為感謝下載載-y1，原點O到直線A2B2的距離為rababa2b2則與菱形AB1A2B2內切的圓方程為X22Jab~2 r~2。a b證明:設直徑P1P2的方程為kx,則Q1Q2的方程為y2X-2akx2

y_

b2解得2,2ab~2 2~2bak■22,2kabakb2同理OQ22=(k22a221)abb2k2，作OH丄P2Q2貝UOH又四邊形P1Q1P2Q2是菱形,OP22(k2

■p1)a2b2-2|2

akI0P2II0Q2IJ|OP2『g|2菱形P1Q1P2Q2必外切于圓Xaba2b22j2aby -2 ~2.ab例13、已知P(Xo,yo)是雙曲線xya2(ao)上的一個定點，過點P作兩條互相垂直的直線分別交雙曲線于P1、P2兩點(異于P點)，求證：直線P1P2的方向不變。2探索定值：取P(Xo,—)，過P點且互相垂直的直線中有一條過原點，則這一條直線Xo與曲線的另一個交