10模型的推廣頁腳內容PAGE頁腳內容7-10模型的推廣頁腳內容PAGE包餃子問題分析摘要在日常生活中我們經常會遇到：同樣的產品，不同大小的包裝的時候，應該選擇哪一種較為劃算；包餃子，包餛飩的時候，皮多了或者餡多的問題，這個時候應該把餃子或者餛飩包大一些還是包小一些才能把多余的皮或餡用完。這些問題在直觀上不容易判斷出結果，因此需要建立模型來來觀察，以做出最佳選擇。正文一、問題提出設在包餃子的時通常1kg面和1kg餡包100個餃子，有一次餡多了0.4kg，問能否將餃子包大一些或小一些將這些餡仍用1kg面用完？二、問題分析這是一個日常生活中常見的問題，問題的本質就是里用同樣面積的餃子皮包更多的餃子餡。將問題抽象為數學問題時，可以做出兩個合理的假設:①餃子皮的厚度一樣，也即是餃子皮的總面積不變；②餃子餡的形狀都一樣，可以都看成球體，因為同樣表面積下球體的體積最大，可以包更多的餡。那么餃子包大一些時，餃子的個數就會減少，餃子包小一些時，餃子的個數就會增多。也就是可以問題轉化為：總表面積一定的n（n=1，2，3……）個球體，當n取多少的時候可以使得所有球體的總體積最大。這里忽略了餃子皮的厚度。在解決這個問題的時候，可以把問題進一步抽象到把得到的總體積與是情況比較，這樣問題就可以的得到很大程度的簡化。并且可以先定性的分析問題，判斷是將餃子包大還是包小才能達到題目要求，然后可以設計一個函數來模擬這個過程，通過函數來觀察這個問題。三、基本假設從上面的分析我們可以看到在實建立模型的時候，需要做出一些基本假設：餃子都是標準的球形的；餃子皮的厚度都一樣，也就是餃子皮的總面積是常數；每個餃子都是皮剛好把餡包起來，不多也不少；四、問題處理時對應的情況是:表面積為，體積為的一個球體；在一般情況下對應的情況則為：表面積為，體積為的個球體。個小球體，表面積體積個小球體，表面積體積=1時，大球體，表面積體積=1時的大球體，此時有：，個小球體時，此時有：，此時則有：，由上式可以得到結論，球體個數少，即值越小，所有球體的體積和最大。所以題目中的問題答案是應該包大一點，那樣才可以把餡用完。以上所做工作都是定性分析，得出來應該把餃子包大一些的定性結論，那么到底應該包大多少，具體由應該怎么來描述“變大”的餃子？要想得到問題的答案，接下來就需要對問題進行定量分析。根據前面的想法，可以用餃子的個數也即小球體的個數來定量的表觀餃子的大小。那么可以記所有球體的總體積為函數值，就可以通過以上分析得到與之間的函數關系：其中可以認為為常數，因為為所有球體的總體積，對應實際問題中的表面積與所有餃子皮面積相等的球體，是一個固定不變的值。依題意有：又可知多出kg餡后，對應的數學關系為：解方程可得：則聯系實際問題，值越小越好，且應為正整數，所以取=51。所以原問題的解決方案是：把餃子包大，平且包成51個可以剛好用完所有餡。五、問題拓展日常生活常識告訴我們，把100個餃子包成51個餃子，那么那51個餃子將幾乎跟包子一樣了。因此很有必要對模型進行一定量的修改，以使模型更加符合實際情況。在原來的假設中我們認為每個餃子都是皮剛好把餡包起來，但是在實際問題中這是不可能的。通過分析上面建立模型的過程，可以發現問題的關鍵在于餃子的體積與表面積之間的函數關系，為了解決這個問題，可以在做出一個合理的假設，認為體積與表面積的商是一個關于半徑的函數，進一步可以認為是關于餃子個數的函數，即則時有聯立兩式可得總體積與餃子個數的函數關系：則當時那么只要知道函數的表達式就可解出答案。六、模型評價通過數學思想的抽象化，得到了一個函數模型。很明顯這個模型比較簡單，基本不具有實用性，只能對問題進行定性的考察，在對模型簡單的修正，添加了函數后，是模型更加接近現實，有一定的實用性。但是總的來說在建立模型的時候還是忽略了很多總要因素，需要進一步的改進。結論通過上面建立的模型，可以定性的得到結論，把餃子包大一些可以把多出的餡包完。齊夢140206323徐嘉輝140206313馬一丹14