1第八節函數的連續性與間斷點第一章一、函數在一點的連續性三、函數的間斷點及其分類四、連續函數的運算性質二、區間上的連續函數五、閉區間上連續函數的性質2可見,函數在點一、函數在一點的連續性定義:在的某鄰域內有定義,則稱函數(1)在點即(2)極限(3)設函數連續必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;3continue若在某區間上每一點都連續,則稱它在該區間上連續,或稱它為該區間上的連續函數.例如,在上連續.(有理整函數)又如,

有理分式函數在其定義域內連續.在閉區間上的連續函數的集合記作只要都有4對自變量的增量有函數的增量左連續右連續當時,有函數在點連續有下列等價命題:5例.

證明函數在內連續.證:即這說明在內連續.同樣可證:函數在內連續.6在在二、函數的間斷點(1)函數(2)函數不存在;(3)函數存在,但不連續:設在點的某去心鄰域內有定義,則下列情形這樣的點之一,函數f(x)在點雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點.在無定義;7間斷點分類:第一類間斷點:及均存在,若稱若稱第二類間斷點:及中至少一個不存在,稱若其中有一個為振蕩,稱若其中有一個為為可去間斷點.為跳躍間斷點.為無窮間斷點.為振蕩間斷點.8為其無窮間斷點.為其振蕩間斷點.為可去間斷點.例如:9顯然為其可去間斷點.(4)(5)為其跳躍間斷點.10內容小結左連續右連續第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點左右極限都存在第二類間斷點無窮間斷點振蕩間斷點左右極限至少有一個不存在在點間斷的類型在點連續的等價形式11思考與練習1.討論函數x=2是第二類無窮間斷點.間斷點的類型.2.設時提示:3.P65題3,*8為連續函數.答案:x=1是第一類可去間斷點,12P65題*8提示:作業P654;5第九節13備用題

確定函數間斷點的類型.解:間斷點為無窮間斷點;故為跳躍間斷點.14定理2.連續單調遞增函數的反函數也連續單調遞增.在其定義域內連續一、連續函數的運算法則定理1.在某點連續的有限個函數經有限次和,差,積,(利用極限的四則運算法則證明)商(分母不為0)運算,結果仍是一個在該點連續的函數.例如,例如,在上連續單調遞增，其反函數(遞減)(證明略)在[1,1]上也連續單調(遞減)遞增.15定理3.

連續函數的復合函數是連續的.在上連續其反函數在上也連續單調遞增.證:設函數于是故復合函數又如,

且即單調遞增,16例如,是由連續函數鏈因此在上連續.復合而成,17例1.設均在上連續,證明函數也在上連續.證:根據連續函數運算法則,可知也在上連續.18二、初等函數的連續性基本初等函數在定義區間內連續連續函數經四則運算仍連續連續函數的復合函數連續一切初等函數在定義區間內連續例如,的連續區間為(端點為單側連續)的連續區間為的定義域為因此它無連續點而19例2.

求解:原式例3.求解:令則原式說明:由此可見當時,有20例4.求解:原式說明:若則有21例5.

設解:討論復合函數的連續性.故此時連續;而故x=1為第一類間斷點.在點x=1

不連續,22

內容小結基本初等函數在定義區間內連續連續函數的四則運算結果仍連續連續函數的反函數連續連續函數的復合函數連續

初等函數在定義區間內連續說明:分段函數在界點處是否連續需討論其左、右連續性.23思考與練習續?反例

x為有理數

x為無理數處處間斷,處處連續.反之是否成立?作業P693(5),(6),(7);4(4),(5),(6);6提示:“反之”不成立.第十節24注意:

若函數在開區間上連續,結論不一定成立.一、最值定理定理1.在閉區間上連續的函數即:設則使值和最小值.或在閉區間內有間斷在該區間上一定有最大(證明略)點,25例如,無最大值和最小值也無最大值和最小值又如,

26二、介值定理由定理1可知有證:設上有界.定理2.

(零點定理)至少有一點且使(證明略)推論在閉區間上連續的函數在該區間上有界.27定理3.(介值定理)設且則對A與B之間的任一數C,一點證:作輔助函數則且故由零點定理知,至少有一點使即推論:在閉區間上的連續函數使至少有必取得介于最小值與最大值之間的任何值.28例.證明方程一個根.證:顯然又故據零點定理,至少存在一點使即說明:內必有方程的根;取的中點內必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在區間內至少有則則內容小結29*三.一致連續性已知函數在區間I上連續,即:一般情形,就引出了一致連續的概念.定義:對任意的都有在I上一致連續.顯然:30例如,但不一致連續.因為取點則可以任意小但這說明在(0,1]上不一致連續.定理4.上一致連續.(證明略)思考:P74題*7提示:設存在,作輔助函數顯然31內容小結在上達到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4.當時,使必存在上有界;在在321.任給一張面積為A的紙片(如圖),證明必可將它思考與練習一刀剪為面積相等的兩片.提示:建立坐標系如圖.則面積函數因故由介值定理