1、第十章 數項級數§1 級數問題的提出1證明：若微分方程有多項式解，則必有證明 由多項式解得，.從而 ，且 .將上述結果代入微分方程，得.比較系數得遞推公式如下：由此解得，因而2試確定系數，使滿足勒讓德方程.解 設，則，故，.將上述結果代入勒讓德方程，得.比較系數，得遞推公式如下：由此解得從而可以得到.其中取任何常數§2 數項級數的收斂性及其基本性質1求下列級數的和：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解（1）由于，故，所以級數的和.（2）由于，故.所以級數的和.（3）（4），因此欲求原級數的和，只需計算級數即可對級數，設其部分和，則，故.從而，即，因此原級數（5）

2、由于級數的部分和，故，從中解得.又由于當時，故，因此（6）級數的部分和，從而，從中解得.因此2討論下列級數的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解（1）由于通項，故原級數發散（2）由于，均收斂，故原級數收斂（3）由于通項，故原級數發散（4）由于，從而部分和，因而原級數收斂（5）由于，從而時，故原級數收斂3證明定理10.2定理10.2 若級數,收斂，則級數也收斂，且.證明 設，則由已知條件知，存在有限數，使得，設級數的部分和數列為，則，所以也收斂，且4設級數各項是正的，把級數的項經過組合而得到新級數，即，其中，若收斂，證明原來的級數也收斂證明 設，則.由于收斂，故有界，即有界，即存在，

3、使得，都有.又由于是正項級數，故，而且單調上升，由單調有界原理可知，原級數收斂§3 正項級數1判別下列級數的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）解（1）由于，而發散，所以級數發散（2）對任意正整數，都成立關系式，而級數收斂，由比較判別法知，原級數收斂（3）由于，所以級數發散（4）由于，而收斂，故收斂（5）由于，故，而收斂，由比較判別法知，級數收斂（6）由于，而發散，故發散（7）由于，故級數收斂（8）由于，故原級數收斂（9）方法1因為，

4、而和均收斂，故收斂方法2 由于對一切都成立，而收斂，故收斂（10）由于，而收斂，故原級數收斂（11）由于，因此，若收斂，則原級數收斂.考慮級數，由于，且收斂，故收斂，因而原級數收斂（12）由于，而收斂，因而原級數收斂（13）由于，而發散，因而原級數發散（14）由于，由級數收斂的必要條件知，原級數發散（15）由于，而收斂，故原級數收斂（16）由于，而級數收斂，故原級數收斂（17）由于，而級數收斂，故原級數收斂（18）由于極限，而對于級數，根據，故由根式判別法知，級數收斂，因而原級數收斂（19）對通項進行分子有理化可得，由于發散，故原級數發散（20）由于，而級數均收斂，因而原級數收斂2判別下列級數

5、的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）解（1）由于，所以發散（2）由于，根據達朗貝爾判別法知，原級數收斂（3）由于，故收斂（4）由于，故發散（5）這個級數不能用達朗貝爾判別法和柯西判別法判別，也不能用拉阿比判別法判別，但由斯特林公式可知，因而，通項的極限不為0，由級數收斂的必要條件知原級數發散（6）因為，故收斂（7）由于，由柯西判別法知，原級數收斂（8）由于，因此，如果級數收斂，則原級數也收斂.考慮級數，由于，故它收斂，因而原級數也收斂（9）當時，級數顯然收斂；當時，由于因而收斂，因此原級數對一切收斂（10）級數的一般項，由于，因而原級數收斂

6、3判別級數的斂散性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）（是任意實數）；（8）（是任意實數）解（1）當時，故當時，而收斂，由比較判別法知，原級數收斂（2）由于，且，故存在，當時，從而，即當時，而級數收斂，故原級數收斂（3）方法1 由于，該極限為型極限，由Lhospital法則得，由Raabe判別法知，原級數發散方法2 由于，所以，而級數發散，由比較判別法知，原級數發散.（4）由于，由Raabe判別法知，原級數收斂一般地，對，當時，對一切，成立，所以，從而發散；當時，由于，由Raabe判別法知，級數收斂（5）由于，所以存在，當時，有，即，從而，故，而收斂，故收斂（6）由于，所以

7、存在，當時，有，即，從而，故，而收斂，故收斂（7）（是任意實數）由于當時，所以若發散，則原級數必發散，而時發散，因而時，原級數發散當時，由于，因而，利用柯西積分判別法知，原級數收斂（8）（是任意實數）當時，由于且收斂，故原級數收斂；當時，由于， 因而，由柯西積分判別法知，原級數發散；當時，由于，而就是前面時的級數，已證得它發散，因而原級數發散4利用Taylor公式估算無窮小量的階，從而判別下列級數的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）令，則，從而，因此 .該極限為有限數，因而與是同階無窮小量，由于當時收斂，時發散，因而原級數當時收斂，時發散（2）由于，故，這是一個有限數，從而與是同階

8、無窮小量，因此原級數與的收斂性一致，所以當即時，原級數收斂，而當即時，原級數發散（3）由于，故原級數是負項級數，又由于，故與是同階無窮小量，因而當，即時，原級數收斂，時，原級數發散（4）因為，因而當時，上式與是同階無窮小量，故原級數收斂；當時，上式與是同階無窮小量，故原級數發散5討論下列級數的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）令函數，則該函數在非負、連續且單調下降當時，由于，因而原級數發散當時，由于因而由柯西積分判別法知，當時級數發散，當時級數收斂綜上可知，級數在時收斂，在時發散（2）根據級數通項，可令函數，則且在非負、連續且單調下降，由于.由柯西積分判別法知，原級數發散（3）由于

9、，故當充分大時，因而，由（1）知收斂，從而原級數收斂（4）當時，由于，故時級數收斂，時級數發散當時，令，則，由于，故存在，任意時，從而，而由（1）知收斂，從而原級數收斂當時，令，則，由于，從而當充分大時，從而，而由（1）知發散，因此原級數發散綜上可知，原級數的收斂情況是：當或時收斂，當或時發散6利用拉阿比判別法研究下列級數的收斂性（1） (是實數)；（2）解（1）級數的通項，因而根據二項展開式得 .（上式也可以在第二個等式處將化為直接使用二項展開式），所以當即時，原級數收斂，當即時，原級數發散當時，Raabe判別法失效，此時，由于對一切，即而且，因而根據高斯判別法知，原級數發散（2）.根據原級

10、數的通項知，因而，所以當，即時級數收斂；當，即時級數發散.當時，Raabe判別法失效，此時由于，即而且顯然有界，因而根據高斯判別法可知，原級數發散7已知兩正項級數和發散，問，兩級數的收斂性如何？答 級數一定發散事實上，而發散，故發散可能收斂，也可能發散例如均發散，但由于對一切都成立，故收斂8若正項級數收斂，證明：證明 設正項級數的部分和，則下述兩式成立：， （*）， （*）用（*）減去（*）得，兩端同時除以可得，即 ，由于正項級數收斂，因而存在，假設，根據收斂數列的算術平均數構成的新數列收斂，且與原數列極限相等可知，因此，從而結論成立9設求證：(1) 收斂；(2) 證明（1）由于收斂，故收斂，

11、而收斂，從而收斂，即收斂（2）考慮的一個子列，則，即10. 設，且，求證反之是否成立?證明 令，構造數列，則的前項的幾何平均數可構成一個新數列，由于新數列收斂且與數列極限相同，故，因而結論成立反之不真，反例如級數，由于，故，而，從而，因此反之結論不一定成立11利用級數收斂的必要條件證明：（1）；（2）證明（1）考慮級數，由于，故級數收斂，因而（2）考慮級數，由于，所以級數收斂，因而12設，且數列有界，證明級數收斂證明 由數列有界知，存在，對，都有，從而，進一步可得，又由于收斂，因而由比較判別法知，級數收斂13設正項級數收斂，證明也收斂證明 由于對任意，均成立，而級數和級數均收斂，從而級數也收斂

12、，由比較判別法知，級數收斂14設，求證：（1）當時，收斂；（2）當時，發散問時會有什么結論？證明（1）當時，令，則由知，存在，時，有，從而當時，而收斂，故原級數收斂（2）當時，令，則由知，存在，時，有，從而當時，而發散，故原級數發散當時，考慮級數，由于，令，則，此即為本題的情形，但由第5題（1）知，該級數在時收斂，時發散，從而當時，級數可能收斂也可能發散§4 一般項級數1討論下列級數的收斂性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）解（1）令，則，顯然當時，即單調下降并趨向于0由于級數

13、前有限項的值不影響該級數的斂散性，因而由Leibniz判別法知原交錯級數收斂（2）由于舍去偶數項，原級數變成交錯級數令，則，顯然當時，即單調下降并趨向于0因而從第3項開始，數列單調下降并趨向于0，故取奇數時該數列也是單調下降并趨向于0的，由Leibniz判別法知，原交錯級數收斂（3）由于數列的前項的算術平均數構成的新數列極限與原數列極限相等，故根據數列單調遞減趨向于0知，數列單調遞減趨向于0，又因為原級數是一個交錯級數，由Leibniz判別法知原交錯級數收斂（4）由于，而級數及收斂，但級數發散，因而原級數發散（5）由于，又由于單調下降趨于0，故由Leibniz判別法知原級數收斂（6）由于收斂，

14、故原級數絕對收斂，因而自身收斂（7）由于單調遞減趨向于0，根據Leibniz判別法知原級數收斂進一步可知：當時級數條件收斂，當時級數絕對收斂（8）由于，而收斂，故原級數收斂且絕對收斂（9）由于，故，即的部分和數列有界，而數列單調趨于0，由Dirichlet判別法知級數收斂，即收斂，從而原級數收斂（10）由于，又由于收斂，由上題知亦收斂，因此原級數收斂（11）若，則存在，當時，從而，即當時，單調下降，又，因而由Leibniz判別法知，級數收斂，因而原級數收斂.若，則存在，當時，從而，即當時，數列單調趨于0，又的部分和數列有界，由Dirichlet判別法知，原級數收斂綜上可知當時，原級數收斂（12

15、）不難驗證，故數列單調下降趨于0，由Leibniz判別法知原級數收斂（13）.由于，設該級數部分和數列為，則，即，從而部分和數列發散，因此原級數發散（14）先考慮數列，由于，故，從而數列有界.又因為時，關于單調下降；時，關于單調增加，因而數列單調有界.又因為級數顯然收斂，因此由Abel判別法知，當時，原級數收斂（15）由于，故，由本節例4知級數收斂，又數列單調上升且有界，由Abel判別法知，級數收斂.同理級數亦收斂，因而原級數收斂（16）取，則數列單調下降趨于0，級數的部分和數列滿足，即的部分和數列有界，由Dirichlet判別法知原級數收斂2討論下列級數是否絕對收斂或條件收斂：（1）；（2）

16、；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16），其中；（17）；（18）解（1）由于是一定值，故當充分大時，數列單調下降趨于0，因而由Leibniz判別法知，原級數收斂再考慮級數，由于，而發散，故由比較判別法的極限形式知，級數發散因而原級數條件收斂（2）由于，這對一切都成立，而級數收斂，由比較判別法知，級數收斂，即原級數絕對收斂（3）由本節例4知級數收斂，又因為，而級數發散，收斂，因而級數發散，由比較判別法知級數發散，即原級數條件收斂（4）當時，對任，由于，而收斂，故級數收斂，因而原級數絕對收斂當時，由于單調下降趨

17、于0，且部分和有界，從而由Dirichlet判別法知級數收斂但由于，而發散，收斂，因而發散從而當時，原級數對一切條件收斂當時，由于對一切，有（如若不然，則，從而，矛盾），而，故，由級數收斂的必要條件知原級數發散綜上可知，原級數當時絕對收斂、當時條件收斂、當時發散（5）由于數列單調遞減并趨向于0，由Leibniz判別法知原級數收斂；再考慮級數，由于，而發散，因而級數發散，即原級數條件收斂（6）由于，而收斂，因而原級數絕對收斂（7）由于當時，而當充分大時，數列單調遞減趨于0，由Leibniz判別法知，級數收斂，從而原級數收斂；再考慮級數，由于，而發散，因而級數發散，即原級數條件收斂（8）由于數列與

18、是等價無窮小量，而單調遞減趨于0，由Leibniz判別法知原級數收斂；再考慮，由于，而發散，因而級數發散，即原級數條件收斂（9）當時，由于對任意，都有，而級數收斂，故原級數絕對收斂當時，由于對一切成立，而級數發散，由比較判別法知，級數發散；另一方面，考慮函數，由于當充分大時，因而數列單調遞減趨于0，由Leibniz判別法知原級數收斂，因而原級數條件收斂綜上可知，原級數當時絕對收斂，當時條件收斂（10）當時，由于，而收斂，故原級數絕對收斂當時，由于，而發散，由比較判別法知，級數發散；另一方面，當時，由Taylor公式知：，從而，由Leibniz判別法知收斂，又由于都收斂，故原級數收斂因而原級數當

19、時條件收斂綜上可知，原級數當時絕對收斂，當時條件收斂（11）當時，由于，而級數收斂，故原級數絕對收斂當時，由于，而級數發散，因而級數發散；另一方面，由于，而級數收斂，數列單調上升且有界，由Abel判別法知原級數收斂所以原級數條件收斂當時，因而通項的極限，由級數收斂的必要條件知原級數發散綜上可知，原級數當時絕對收斂，當時條件收斂，當時發散（12）級數通項，由于，所以當，即時，級數收斂，從而原級數絕對收斂；當，即時，原級數變為，顯然條件收斂；當，即時，由于，故可選取，使，當充分大時，有，即，即，由級數收斂的必要條件知，原級數發散綜上可知，原級數在時絕對收斂，在時條件收斂，在時發散，其中（13）由于

20、，所以當時，原級數絕對收斂；當時，原級數發散；當時，級數可能收斂，也可能發散，例如令，則，但級數當時收斂，時發散（14）由于，所以當時，原級數絕對收斂；當時，級數通項的極限不為0，故原級數發散；當時，級數變成，顯然發散（15）由于，因而當時原級數絕對收斂；當時，原級數發散；當時，此時級數變為或，這兩個級數不能用達朗貝爾判別法判別，但由斯特林公式知：，因而，通項的極限不為0，由級數收斂的必要條件知和都發散綜上可知，原級數當時絕對收斂，當時發散（16），其中當時，由Taylor公式知，由于級數絕對收斂，因而原級數絕對收斂當時，由Taylor公式知，又因為級數條件收斂，收斂，從而原級數條件收斂當時，

21、令是滿足的任一正整數（顯然），這時根據Taylor公式有：由于在上式中所有奇數項構成的級數均條件收斂，而所有偶數項構成的級數均發散，故原級數發散綜上，原級數當時絕對收斂，當時條件收斂，當時發散（17）由于，根據Taylor公式知，因此，當時，由于級數均絕對收斂，故原級數絕對收斂；當時，由于級數條件收斂，絕對收斂，故原級數條件收斂；當時，由于級數條件收斂，發散，故原級數發散；當時，原級數通項的極限不是0，故原級數發散綜上，原級數當時絕對收斂，當時條件收斂，當時發散（18）顯然當時級數絕對收斂，當時級數發散，故以下只考慮的情形將通項化為.當，即時，由于上式中第二、三項組成的級數均絕對收斂，而對于級

22、數，由于數列單調下降趨于0，且部分和數列有界，由Dirichlet判別法知它是收斂的另一方面，由于，而且級數發散，收斂，故級數發散綜上可知，當時，級數條件收斂，因而原級數也條件收斂當時，仿照（16）小題方法知級數發散綜上可知，原級數當時絕對收斂，當時條件收斂，當時發散3利用Cauchy收斂原理判別下列級數的斂散性：（1）；（2）解（1）由于，故，由極限的定義知，對，存在，時，都有，對于時，都有 .因而由Cauchy收斂原理知原級數收斂（2）取，對任意，取，這時，由Cauchy收斂原理知級數發散4求證：若級數收斂，則級數收斂但反之不成立，請舉出例子證明 由于級數收斂，故，從而當充分大時，又由于，

23、故，因此當充分大時，由比較判別法知級數收斂反之不成立，如令，則級數收斂，但發散5若級數收斂，且，問是否能判斷出也收斂？研究例子解 不能斷定也收斂如果令，則顯然收斂，又，由收斂，發散知發散但此時有，因此由已知條件不能斷定也收斂事實上，也不能斷定發散，例如在題設下，取，則，但收斂6證明：若級數及都收斂，且，則級數也收斂若級數與都發散，問級數的收斂性如何？證明 由于級數與均收斂，故由Cauchy收斂原理知，當時，對，有，從而，再由已知條件知即，由Cauchy收斂原理知級數收斂若級數與都發散時，級數可能收斂，也可能發散如級數與都發散，對一切，均有，但級數發散，而收斂7證明：若收斂，則當時，也收斂若發散

24、，則當時， 也發散證明 若收斂，當時，由于級數收斂，而數列單調有界，由Abel判別法知級數也收斂若發散，假設時收斂，則由第一步已證結論知，級數也收斂，矛盾！故當時，也發散8求證：若數列有極限，收斂，則也收斂證明 設是的部分和，是級數的部分和，由于收斂，故數列收斂，設，由于，所以，從而，由于存在，故也存在，即的部分和數列有極限，因而級數收斂9求證：若絕對收斂，收斂，則收斂證明 由于絕對收斂，因而它收斂，設是它的部分和，則有極限，即存在，故數列有界，設再根據絕對收斂和收斂，由Cauchy收斂原理知，當時，對，有及因而，由Cauchy收斂原理知級數收斂10求證：若級數和都收斂，則級數，也收斂證明 這

25、里每個級數都是正項級數，由于，而與均收斂，因而收斂；又因為，因而也收斂；最后，由于，而 與都收斂，由比較判別法知，級數也收斂11設正項數列單調上升且有界，求證：收斂證明 由于正項數列單調上升且有界，故由單調有界原理知其收斂，設，級數，由于，故級數收斂，又單調有界，故由Able判別法知級數收斂12對數列，定義，求證：（1）如果有界，收斂，且，則收斂，且有.（2）如果與都收斂，則收斂證明（1）由于有界，故存在，使得對一切自然數，有對，由收斂知，存在，當時，對，有， （*）又由知，存在，當時，有. （*）取，則，（*）與（*）都成立，此時應用Able變換可得，由Cauchy收斂原理知收斂又由Abel

26、變換得，兩端同時取極限得，再由已知條件有界及可得，因而（2）由于收斂，故其部分和數列有界，即存在，都有又由收斂知，也收斂，故其部分和數列極限存在，即數列極限存在，因而有界，即存在，有取，則，和同時成立對，由于，都收斂，由Cauchy收斂原理知，存在，當時，對，有，故由Able變換，可得，由 Cauchy收斂原理可知，級數收斂13設收斂，且，求證收斂，并且.證明 由收斂知，其部分和數列極限存在，令設的部分和為，則.由于，故對上式兩端取極限得，即收斂且，因此14下列是非題，對的請給予證明，錯的請舉出反例：（1）若，則收斂；（2）若，則收斂；（3）若收斂，則收斂；（4）若收斂，則絕對收斂；（5）若發

27、散，則不趨于0；（6）若收斂，則收斂；（7）若收斂，則收斂；（8）若收斂，則收斂；（9）若收斂，則答（1）錯誤如，但發散（2）正確設級數的部分和級數為，則，故數列收斂于0，因而原級數收斂（3）錯誤如收斂，但發散（4）正確由于收斂，故，從而，由數列極限定義知，存在，時，都有，故當時，有，由比較判別法知收斂，因而絕對收斂（5）錯誤例如發散，但（6）錯誤例如令，則收斂，令，則，但卻發散（7）正確對，由收斂知，存在，都有，又由知，存在，時，都有，從而取，則時，都有，故收斂（8）錯誤如收斂，但卻發散（9）錯誤反例如本章第3節習題915求下列極限（其中）：（1）；（2）解（1）考慮級數，由于，故其收斂，由

28、Cauchy收斂原理知，存在，時，都有，特別地，取，則上式變為，因此（2）考慮級數收斂，由于，故其收斂，由Cauchy收斂原理知，存在，時，都有，特別地，取，則上式變為，因此16若正項級數收斂，求證：證明 由于級數收斂，故對，都存在，當時，又根據已知條件知，所以當時，又由于，故存在，當時，有取，則當時，有，即§5 無窮級數與代數運算1不用cauchy準則，求證：如果收斂，則也收斂證法1 設，由于，且收斂，故由比較判別法知，級數和均收斂，從而也收斂又由于，所以亦收斂證法2 設，則，由于收斂，根據比較判別法知，級數收斂，而，所以級數收斂2設收斂，求證：將相鄰奇偶項交換后所成的級數收斂，且

29、具有相同的和數證明 由于收斂，則其部分和數列為有極限，設又設將級數相鄰奇偶項交換后所成的級數為，其部分和數列為，則，所以，即級數收斂，且具有相同的和數3求證：由級數重排所得的級數發散證明 級數的重排為，考慮它的一個加括號后的級數：， （*）對于通項，由于，又因為發散，根據正項級數的比較判別法知，級數（*）發散，從而級數也發散否則若其收斂，則它加括號后得到的級數（*）也收斂，矛盾4證明：若條件收斂，則可把級數重排，使新級數部分和數列有一個子數列趨向于，有一子數列趨向證明 設，由于條件收斂，故只能有，而且，故可重排級數如下：在中依順序取項，使其和剛好大于等于1，（即）；然后依次在中取足夠多的項，使其與前面已取出的項的和相加剛好小于等于，設此時一共取出了項，則；回過頭來，依次在中剩下的項中取足夠多的項，使其與的和剛好大于等于3，設此時一共取出了項，則；再取剩下的項，