第一章濾波器1.1濾波器的基本知識1、濾波器的基本特性定義：濾波器是一種通過一定頻率的信號而阻止或衰減其他頻率信號的部件。功能：濾波器是具有頻率選擇作用的電路或運算處理系統，具有濾除噪聲和分離各種不同信號的功能。類型：按處理信號形式分：模擬濾波器和數字濾波器。按功能分：低通、高通、帶通、帶阻、帶通。按電路組成分：LC無源、RC無源、由特殊元件構成的無源濾波器、RC有源濾波器按傳遞函數的微分方程階數分：一階、二階、…高階。如圖1.1中的a、b、c、d圖分別為低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器傳輸函數的幅頻特性曲線。圖1.1幾種濾波器傳輸特性曲線.2、模擬濾波器的傳遞函數與頻率特性模擬濾波器的傳遞函數模擬濾波電路的特性可由傳遞函數來描述。傳遞函數是輸出與輸入信號電壓或電流拉氏變換之比。經分析，任意個互相隔離的線性網絡級聯后，總的傳遞函數等于各網絡傳遞函數的乘積。這樣，任何復雜的濾波網絡，可由若干簡單的一階與二階濾波電路級聯構成。模擬濾波器的頻率特性模擬濾波器的傳遞函數H(s)表達了濾波器的輸入與輸出間的傳遞關系。若濾波器的輸入信號Ui是角頻率為w的單位信號，濾波器的輸出Uo(jw)=H(jw)表達了在單位信號輸入情況下的輸出信號隨頻率變化的關系，稱為濾波器的頻率特性函數，簡稱頻率特性。頻率特性H(jw)是一個復函數，其幅值A(w)稱為幅頻特性，其幅角隊w)表示輸出信號的相位相對于輸入信號相位的變化，稱為相頻特性濾波器的主要特性指標1、特征頻率：通帶截止頻fP=wp/(2兀)為通帶與過渡帶邊界點的頻率，在該點信號增益下降到一個人為規定的下限。阻帶截止頻ft=wr/(2兀)為阻帶與過渡帶邊界點的頻率，在該點信號衰耗(增益的倒數)下降到一人為規定的下限。轉折頻率fC=wc/(2兀)為信號功率衰減到1/2(約3dB)時的頻率，在很多情況下，常以fc作為通帶或阻帶截頻。固有頻率f0=w0/(2兀)為電路沒有損耗時，濾波器的諧振頻率，復雜電路往往有多個固有頻率。2、增益與衰耗對低通濾波器通帶增益Kp一般指w=0時的增益也用A(0)表示;高通指Wf8時的增益也用A(8)表示；帶通則指中心頻率處的增益。對帶阻濾波器，應給出阻帶衰耗，衰耗定義為增益的倒數。通帶增益變化量^Kp指通帶內各點增益的最大變化量，如果^Kp以dB為單位，則指增益dB值的變化量。3、阻尼系數與品質因數阻尼系數是表征濾波器對角頻率為w0信號的阻尼作用，是濾波器中表示能量衰耗的一項指標我們用表示。阻尼系數的倒數稱為品質因數，是評價帶通與帶阻濾波器頻率選擇特性的一個重要指標，Q=w0/Awo式中的Aw為帶通或帶阻濾波器的3dB帶寬，w0為中心頻率，在很多情況下中心頻率與固有頻率相等。4、靈敏度濾波電路由許多元件構成，每個元件參數值的變化都會影響濾波器的性能。濾波器某一性能指標y對某一元件參數x變化的靈敏度記作Sxy，定義為：Sxy=(dy/y)/(dx/x)。該靈敏度與測量儀器或電路系統靈敏度不是一個概念，該靈敏度越小，標志著電路容錯能力越強，穩定性也越高。5、群時延函數當濾波器幅頻特性滿足設計要求時，為保證輸出信號失真度不超過允許范圍，對其相頻特性爭(w)也應提出一定要求。在濾波器設計中，常用群時延函數d爭(w)/dw評價信號經濾波后相位失真程度。群時延函數d爭(w)/dw越接近常數，信號相位失真越小。二階濾波器的傳輸特性1、二階低通濾波器二階低通濾波器的傳遞函數的一般形式為丑(滬；武(1-1)它的固有頻率為a01/2,通帶增益Kp=b0/a0，阻尼系數為a1/w0。其幅頻特性與相頻特性為：(1-3)2、二階高通濾波器二階低通濾波器的傳遞函數的一般形式為（1-4）其幅頻特性與相頻特性為（1-5）（1-6）3、二階帶通濾波器二階帶通濾波器的傳遞函數的一般形式為（1-7）其幅頻特性與相頻特性分別為（1-8）（1-9）4、二階帶阻濾波器二階帶阻濾波器的傳遞函數的一般形式為（1-10）其幅頻特性和相頻特性為5、二階全通濾波電路（移相電路）二階全通濾波電路的傳遞函數的一般形式為（1-12）其幅頻特性為常數，相頻特性為（1-13）1.2濾波器的逼近低通濾波器是一個通過低頻信號而衰減或抑制高頻信號的部件。理想的低通濾波器幅度響應如圖1.2.1，可以實現的近似理想特性的幅度響應如圖1.2.2所示。在理想情況下，可以清楚的指出通帶（0<w<wc）和阻帶（w>wc）;但在實際情況下，必須定義截止角頻率wc。Wc定義為當H（jw）下降到最大值的0.707倍時的頻率。圖1.2理想特性曲線圖1.2理想特性曲線圖1.3實際逼近曲線當然理想低通濾波器要求幅頻特性A（w）在通帶內為一常數，在阻帶內為零，沒有過渡帶，還要求群延時函數在通帶內為一常量，這在物理上是無法實現的。實踐中往往選擇適當逼近方法，實現對理想濾波器的最佳逼近。可以用下面的傳遞函數對理想特性加以逼近Gbu=uSn+bSn-1+....+bGb上式表示一個n階全極點近似式，，其所以這樣稱呼是因為他的分母多項式為n次幕而分子為常數（因而它沒有有限零點，只有有限極點）。低通濾波器的增益是傳遞函數在s=0時的值，很明顯在上式里增益就是G。有許多種低通濾波器，它們的傳遞函數為上式的類型。如巴特沃茲逼近、切比雪夫逼近、貝塞爾逼近。而其它幾種濾波器都可由低通濾波器變換得到，我們在這兒不贅述具體變換方法。（一）巴特沃斯逼近這種逼近的基本原則是使幅頻特性在通帶內最為平坦，并且單調變化，但過渡帶衰減較為緩慢。其幅頻特性為（1-15）（1-16）（1-16）（1-17）其中其幅頻特性與相頻特性如圖:圖1.4巴特沃茲濾波器的幅頻及相頻特性曲線（二）切比雪夫逼近這種逼近方法的基本原則是允許通帶內有一定的波動量^Kp，其特點為等起伏波動，但過渡帶衰減陡峭。其幅頻特性為（1-18）幅頻特性曲線如圖:圖1.5切比雪夫濾波器的幅頻特性曲線（三）貝賽爾逼近這種逼近與前兩種不同，它主要側重于相頻特性，其基本原則是使通帶內相頻特性線性度最高，群時延函數最接近于常量，從而使相頻特性引起的相位失真最小。其特點是各頻率分量具有線性相移，即群延遲d/dw接近于常數，相位失真小，但幅頻特性過度帶很長，帶外衰減緩慢;圖1.6貝塞爾濾波器的幅頻及相頻特性曲線1.3幾種RC濾波器的常見電路1.3.1低通濾波器1、一階RC低通濾波器下圖所示RC串聯電路:R1：：：：：i：：：：：：：C1：：：：：：：：：：=Z1：0iiF圖1.7一階RC低通濾波器其負載端開路時電容電壓對輸入電壓的轉移電壓比即傳輸函數為:UHg=UHg=u=1匕R+——jsCjsC]1+jwRC（1-19）截止頻率:1co=0RC(1-20)幅頻特性:源(jw)(1-21)相頻特性為:(w)=arctan—(1-22)2、二階RC低通濾波電路"10kn:::::::::lOkn圖1.8二階RC低通濾波器傳輸函數:U1Hg=戒=;—-=IHgIZ0(①)（1-23）U1-①2R2C2+j3o（1-23）IH(j①)1=1（1-24）\'(1-①2R2C2)2+9①2R2（1-24）相頻特性:0(①)=一arctan(1-25)3、一階有源低通濾波器圖1.9一階有源低通濾波器其傳遞函數為:H(jw)=A(0)（1-26）幅頻特性:(1-27)((1-27)(1-28)(1-29)4、二階有源低通濾波器圖1.10二階有源低通濾波器其中w0=1/RC。相頻特性：甲(jw)=一兀一arctanRC一階低通濾波器的優點是簡單，缺點是特性偏離理想特性過遠，阻帶區衰減太慢，衰減斜率僅為-20db/十倍頻程，使用于要求不高的場所。傳遞函數為H(s)=AWws2+—^s+w2（1-30）Q0該傳遞函數有兩個共軛極點而沒有零點，上式中R1=R2=R、w=、K=1+—4、Q=0RCR3一k（1-30）3二階低通濾波器可增加阻帶區得衰減速度，在阻帶區，它能提供4db/十倍頻程

的衰減。1.3.2高通濾波器與低通濾波器相反，高通濾波器用來通過高頻信號，抑制或衰減低頻信號。理想高通濾波器的特性如圖。實際特性只能接近理想特性如圖。圖1.12實際逼近理想高通濾波器的特性如圖。實際特性只能接近理想特性如圖。圖1.12實際逼近圖1.11理想特性1、一階RC無源高通濾波電路對下圖所示RC串聯電路，電阻電壓對輸入電壓的轉移電壓比為圖1.13無源高通濾波器U對下圖所示RC串聯電路，電阻電壓對輸入電壓的轉移電壓比為圖1.13無源高通濾波器URH(j①)=2=—j①RCUR+1+joRC（1-31）1（1-32）co=（1-32）0RC2、二階R無源高通濾波電路圖1.14二階無源高通濾波器其傳遞函數為(1-33)-rn2R2(1-33)1—O2R2C2+j3oRC3、一階有源高通濾波器圖1.15一階有源高通濾波器其傳遞函數為：R/R1一jw/w0式中w0=1/RR（1-34）（1-35）幅頻特性為:H(jw)R2/R1J1+(W/W)2相頻特性為:平(w)=一兀+arctan(w。/w)(1-36)(1-37)4、二階有源高通濾波器100：k!圖1.16二階有源高通濾波器其傳遞函數H(jw)=A(8)1一(w/w)2—2jsw/w（1-38）幅頻特性:H(jw)|二A(8)x；'(1-(w/w)2)2+(2sw/w)2、00（1-39）相頻特性:平(w)=arctan2Sw。,w1一(w/w)20（1-40）式中A(8)=1+R/R、R=R=R、C=C=C、W=1/RC4312120e=1/2(2—R4/R3).1.3.3帶通濾波器帶通濾波器用來通過某一頻段的信號，將此頻段兩端以外的信號加以抑制或衰減，帶通濾波器的理想特性和實際特性可用下圖說明圖1.17理想特性圖1.18實際特性1、RC無源帶通濾波器圖1.19RC無源帶通濾波器jwRC（1-41）1—co2R2C2+j3^RC（1-41）仿真得到他的幅頻特性曲線為:2、有源帶通濾波器10nFC1■LR3XZtOiiF>250kQ：Ul：：：K1：：：r：VA———:::：125kQ::::OOPAMP3TVIRTUAL圖1.20有源帶通濾波器其傳遞函數為H(jw)=-A(w)1+iQ(w/w-w/w)幅頻特性H(jw)\=A(w)。1+Q2(w/w-w/w)2相頻特性平(w)=一兀一arctanQ(w/w一w/w)式中c=C=C、A(w)=R/2R、12031w=1；1/R(1/R+1/R)0c312Q=1/2J1/R(1/R+1/R)X312（1-42）（1-43）（1-44）（1-45）（1-46）1.3.4帶阻濾波器與帶通濾波器相反，帶阻濾波器專門用來抑制或衰減某一頻段的信號，而讓該頻段以外的所有信號通過，帶阻濾波器抑制的頻段帶寬叫阻帶帶寬，簡稱頻寬，用B表示，抑制頻帶中點所在角頻率叫做中心角頻率，用w0表示。B越窄，Q值越高，濾波器的抑制選擇性越好。理想帶阻特性在阻帶內的增益為零，實際上，只能獲得近似的抑制特性，帶阻濾波器的理想特性與實際特性如下圖圖1.21理想特性曲線圖1.22實際特性曲線1、帶阻濾波器可以由一個帶通濾波器與一個減法器組成原理如下:圖1.23帶阻濾波器實現方法ZOOkf*frOPAMP^3T^VIKTUALC1>R4X=220hF:>400：kDC2Tl-?220nF0OPAMP^3rVIRTUAL圖ZOOkf*frOPAMP^3T^VIKTUALC1>R4X=220hF:>400：kDC2Tl-?220nF0OPAMP^3rVIRTUAL圖1.24帶阻濾波器它的傳輸函數為：，、wA(wo)Q0sH(s)=1+Q—ws2+—0s+W2Q0（1-47）式中A(w0)=-1,則:H(s)=s2+W2

0

w

—0s2+—Os+W2Q0（1-48）其中:1.3.5全通濾波器全通濾波器又叫移相器，它能通過所有頻率的信號，其增益幅度為常數，僅相位是頻率的函數。常見得有一階全通濾波器，二階全通濾波器如圖和圖所示圖1.25一階全通濾波器上面為兩個一階移相濾波器，它們能提供180度得相移。電路A的移相范圍可這樣看出，當輸入信號頻率為零時，電容C相當于開路，同相端電壓為輸入電壓，電路成為電壓跟隨器，相移為零；當信號頻率很高時，C幾乎短路，同相端電壓為零，電路成為反相比例運算放大器，相移為-180度。同理，信號頻率為零時，圖b電路的電容C開路，電路為反相比例運算放大器，相移-180度。當信號頻率很高時，C幾乎短路，電路成為電壓跟隨器相移為零即-360度。A圖的傳輸函數為：口,.、1-jwcRH（jw）-.21+jwcR2（1-49）幅頻特性為：H（jw）\-1（1-50）相頻特性為：中（jw）--2arctanRc（1-51）圖b的傳輸函數為：口（.、1-jwcRH（jw）——21+jwcR2（1-52）幅頻特性為：H（jw）—1（1-53）相頻特性為：平（jw）——兀一2arctanRc（1-54）二階全通濾波器C2U10R410kQ10kLR310nFC110nFR2C2U10R410kQ10kLR310nFC110nFR2AW40g圖中C1=C2,R3/R4=4R1/R2傳輸函數為:H(jw)=w1wA(j傳輸函數為:H(jw)=w1wA(j—)2—-(j—)+1

wQw(j?w)2—j"1w0幅頻特性為：H（jw）=A相頻特性為:中(w)=-2arctan1Q(w/w—w/w)00」（1-55）（1-56）（1-57）式中Q=1/2：四、wM0上、A=RR121=1/CRRCC1212二階移相濾波器它的優點是簡單，移相較好，它的移相范圍為0——-360度。1.4幾種典型RC濾波電路1、壓控電壓源型濾波電路壓控電壓源，又叫薩-倫電路。1955年由MIT林肯實驗室的R.P.Sallen和E.L.Key最先發表，是應用最為廣泛的濾波器結構之一，如圖下所示。它流行的其中一個原因是濾波器的性能對運算放大器的性能依賴性最小。這是因為運算放大器配置為放大器，而不是積分器，大大減小了對運算放大器增益帶寬乘積的要求。這就意味著對于給定的運算放大器，通過比較其他電路結構，可以設計更高頻率的濾波器，它不像積分器電路，增益帶寬乘積不影響濾波器的性能，經過濾波器之后，信號相位保持不變。它的另外一個優點是最大電阻與最小電阻的比值以及最大電容與最小電容的比值都比較小，便于設計實現。薩倫電路的頻率和Q不相關，但是對增益參數非常敏感。薩倫電路對元件的Q值比較敏感，尤其在高Q電路中。圖1.27壓控電壓源型濾波電路該電路壓控增益Kf=1+R0/R，傳遞函數為:（1-58）盡管薩倫濾波器應用廣泛，它的一個嚴重缺點是，電容、電阻的取值對F0和Q相互影響，濾波器調節困1.4.2無限增益多路反饋型濾波電路多反饋濾波器使用運算放大器作為積分器，如圖所示。因此，傳遞函數與運算放大器參數相關性比薩-倫濾波器要大。受運算放大器開環增益的限制，它很難實現高Q值、高頻率電路。使用它的條件是運算放大器的開環增益不小于20db，必須高

于諧振頻率處的幅度響應，并且高于濾波器Q值峰值。Q值峰值形成的幅度A為A=HQ式中H是電路增益。多反饋濾波器將翻轉信號的相位，這相當于給濾波器的相位響應增加了180度得相移。圖1.28圖1.28多反饋濾波電路（1-59（1-59）2、狀態變量濾波器電路狀態變量濾波器的實現電路如圖所示圖1.29狀態變量濾波器的實現電路如圖所示圖1.29狀態變量濾波器電路這種濾波器結構以使用更多的電路元件為代價，提供精確的濾波器實現方法。濾波器的三個主要參數（A、Q、W0）可以相互獨立調節，可以同時得到低通、高通、帶通、帶通輸出。值得注意的是，低通、高通輸出的相位與輸入的相位反相，帶通輸出保持相位同相，并且濾波器三種輸出方式的增益獨立調節。使用附加放大器電路對低通和高通輸出求和，還可以實現低通陷波，標準陷波或者高通陷波濾波器。還可以使用附加運算放大器電路從輸入中減去帶通輸出，實際標準陷波濾波器。使用4個放大器的電路結構從輸入中減去帶通輸出，可以實現標準陷波濾波器。使用4個放大器的電路結構從輸入中減去帶通輸出，可以實現全通濾波器。實現全通濾波器時，要求帶通電路的增益必須為2。因為狀態變量濾波器所有的參數可以獨立調節，因此元件擴散的影響非常小。并且溫度變化和元件公差的影響也非常小。與多反饋濾波器電路相似。積分器電路中的運算放大器受增益帶寬乘積的限制比較大。2、四次幕濾波器電路圖所示的四次幕濾波器，它和狀態變量濾波器具有相似的特性。這個電路名字首先被J.Tow在1968年使用，以后的L.C.Thoms在1971年也使用了這個名字。這個名字來源于傳遞函數的分子和分母都是四次方函數，因傳遞函數是個四次幕函數。該電路在狀態變量濾波電路的基礎上稍做改進。兩者的一個重要區別是四次幕濾波電路沒有獨立的高通輸出，帶通輸出與輸入反相。四次幕濾波電路有兩路低通輸出，一路同相，一路相位發生變化。附加第四級放大器電路，可以實現高通、陷波和全通濾波器。圖1.30四次冪濾波電路四次幕濾波電路實現全通輸出時，要求R8=R9/2,R7=R9,這樣可以使傳遞函數具有線性特性。實現高通輸出時，對輸入、帶通和二階低通輸出求和，這樣限制了R1=R2=R3，R7=R8=R9。與狀態變量濾波器相似，四次幕濾波器易于調節。改變R3可以調節電路Q值，改變R4可以設置電路諧振頻率，改變R1可以設置電路增益。一般先調節電路的頻率，其次是電路Q值，再次是電路增益。這種調節方式大大減小了元件值相互作用的影響。1.5LC濾波器LC諧振回路是高頻電路里最常用的無源網絡，包括并聯回路和串聯回路兩種結構類型。利用LC諧振回路的幅頻特性和相頻特性，不僅可以進行選頻，即從輸入信號中選擇出有用頻率分量而抑制掉無用頻率分量或噪聲（例如在選頻放大器和正弦波振蕩器中），而且還可以進行信號的頻幅轉換和頻相轉換（例如在斜率鑒頻和相位鑒頻電路里）。另外，用L、C元件還可以組成各種形式的阻抗變換電路和匹配電路。所以，LC諧振回路雖然結構簡單，但是在電路里卻是不可缺少的重要組成部分，

1、并聯諧振回路圖1.5.1是電感L、電容C和外加信號源組成的并聯諧振回路。r是電感L的損耗電阻，電容的損耗一般可以忽略。圖1.5.2是其等效轉換電路，ge0和Re0分別稱為回路諧振電導和回路諧振電阻。圖1.31LC并聯電路圖1.31LC并聯電路圖1.32等效電路根據電路分析基礎知識，可以直接給出LC并聯諧振回路的某些主要參數及其表達式:（1）回路諧振電導1rrge0-1rrge0-R~-r2+(w0L)2~(w0L)2（2）回路總導納（3）諧振頻率w0=^LC或廣2TTlc（4）回路兩端諧振電壓（5）回路空載Q值:（1-60）（1-61）（1-62）（1-63）（1-64）諧振時，回路呈現純電導，且諧振導納最小（或諧振阻抗最大）。回路電壓U與外加信號源頻率之間的幅頻特性曲線稱為諧振曲線。諧振時回路電壓U0最大。2、串聯諧振回路圖1.33LC串聯諧振電路圖1.5.3是串聯LC諧振回路的基本