整理為word格式整理為word格式整理為word格式三角函數的廣泛應用摘要：三角函數在歷史長河的沉淀中，不僅是科學研究的重要組成部分，還是數學學習中得重點難點，更是我們實際生活中不可缺少的元素。我從三角函數的發展以及生活實際應用舉例兩方面來研究三角函數與實際生活的緊密聯系，突出三角函數應用的廣泛性。關鍵詞：三角函數三角函數的應用經過數學歷史的長河的沉淀，科學研究的進步，實際生活的操作。三角函數的實際應用在生活中有著不可取代的地位。三角函數可以計算三角形（通常為直角三角形）中未知長度的邊和未知的角度，在導航系統，工程學以及物理學方面都有廣泛的用途；有許多周期現象可以用三角函數來模擬如物理中簡諧振動、交流電中的電流、潮汐等，都可以建立三角函數的模型利用三角函數的性質解決有關問題；很多最值問題都可以轉化為三角函數來解決，如天氣預報、建筑設計、航海、測量、國防中都能找到神奇的三角函數的影子。三角函數的形成與發展三角學由起源迄今差不多經歷了三﹑四千年之久的發展，現今使用的三角函數發展于歐洲的中世紀時期。在古代，由于古代天文學的需要，為了計算某些天體的運行行程問題，需要解一些球面三角形，在解球面三角形時，往往把解球面三角形的問題歸結成解平面三角形，這些問題的積累便形成了所謂古代球面三角學﹑古代平面三角學。隨著認識到相似三角形在它們的邊之間保持相同的比率，就有了在三角形的邊的長度和三角形的角之間應當有某種標準的對應的想法。就是說對于任何相似三角形，（比如）斜邊和剩下的兩個邊的比率都是相同的。如果斜邊變為兩倍長，其他邊也要變為兩倍長。三角函數表達的就是這些比率。三角函數在數學中屬于初等函數里的超越函數的一類函數。它們本質上是任意角的集合與一個比值的集合的變量之間的映射。由于三角函數具有周期性，所以并不具有單射函數意義上的反函數。歐拉的《無窮微量解析入門》（IntroductioninAnalysisInfinite）（1748年）對建立三角函數在歐洲的分析處理做了最主要的貢獻，他定義三角函數為無窮級數，并表述了歐拉公式，還有使用接近現代的簡寫sin、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。三角函數與生活通訊電纜鋪設問題ACDBθ如圖，一條河寬km，兩岸各有一座城市的直線距離是4km，今需鋪設一條電纜連與ACDBθ整理為word格式整理為word格式整理為word格式分析：設電纜為時費用最少，因為河寬為定值，為了表示的長，不妨設解：設，則,∴總費用為=問題轉化為求的最小值及相應的θ值，而表示點與點斜率的－2倍，有圖可得在單位圓周上運動，當直線與圓弧切于點時，u取到最小值。此時，∴，。即水下電纜應從距B城（－）km處向城鋪設，圖三因此此時總費用達最小值2+2（萬元）。注：本題在求u的最小值時，除了利用數結合的方法外，還可以利用三角函數的有界性等方法。測量問題情景一：如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C測出A、C的距離是55m,∠BAC=51°∠ACB=75°，球A、B兩點的距離。分析：這是關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的情景問題，情景中條件告訴了邊AB的對角AC為已知邊，再根據三角形的內角和定理很容易根據兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。解：根據正弦定理，得整理為word格式整理為word格式整理為word格式所以A,B兩點間的距離為65.7米。情景二：某學校宏志班的同學們五一期間去雙塔寺觀賞牡丹，同時對文宣塔的高度進行了測量，如圖2，他們先在A處測得塔頂C的仰角為30°；再向塔的方向直行80步到達B處，又測得塔頂C的仰角為60°，請用以上數據計算塔高。（學生的身高忽略不計，1步=0.8m，結果精確到1m）C圖2DABC圖2DAB分析：要求塔高CD，在Rt△BDC中求，∠CBD=60°，需求BD或BC，因為∠DBC=∠A+∠BCA,所以∠BCA=30°，所以BC=AB=80解：過C作CD⊥AB于點D則∠CDA=90°，∠A=30°，∠CBD=60°∵∠CBD=∠A+∠ACB∴∠A=∠ACB=30°∵AB=80步，1步=0.8m∴BC=AB=80步=64m在Rt△BCD中，CD=BC×sin∠CBD=64×≈54（m）所以，文宣塔高約為54m。航海危險區域預測問題一艘漁船正以30海里／小時的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在船的北偏東600方向，40分鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東300方向，已知以小島C為中心周圍10海里以內為我軍導彈部隊軍事演習的著彈危險區，問這艘漁船繼續向東追趕魚群，是否有進入危險區域的可能？分析：此情景如圖例3可先找出小島C與航向(直線AB)的距離，再與10海里進行比較得出結論．解：過C作AB的垂線CD交AB的延長線于點D∵，∴，∴整理為word格式整理為word格式整理為word格式∴∵＞10∴這艘漁船繼續向東追趕魚群不會進入危險區域．足球射門問題GEPCFBAD在訓練課上，教練問左前鋒，若你得球后，沿平行于邊線的直線助攻到前場（如圖，設球門寬米，球門柱到的距離米），那么你推進到距底線多少米時，為射門的最佳位置？（即射門角最大時為射門的最佳位置）？請你幫助左前鋒回答上述問題。GEPCFBAD分析：情景中要求射門的最佳位置，即只要當射門角最大時為最佳位置。所以設角后“求解角”的過程是本題的關鍵。若直接在非特殊中利用邊來求的最值，顯得比較繁瑣，注意到，而后兩者都在中，故可應用直角三角形的性質求解。解：如圖，設，,,=。若令，則=，當,即時，取到最小值，從而可知時，取得最大值，即時，有最大值。故當點距底線為米時，為射門的最佳位置。依圖像知，在白天的9—15時這個時間段可供沖浪愛好者進行沖浪運動。通過生活中的例子我們可以體會到三角函數在生活中應用之大。歷經歷史長河的沉淀，三角函數不僅是科學研究的重要組成部分，還是實際生活應用中不可缺少的。通過我們的研究，我們深深地體會到，身邊就有數學，數學就在身邊，也可以體會到三角函數在生活中應用之大。在設“角”求解的生活情景中一般涉及到角與邊之間的相互關系，對這類問題，一般可以利用三角函數的相關知識，如正弦、余弦定理、數形結合、三角函數的有界性、基本不等式、函數單調性等。整理為word格式整理為word格式整理為word格式參考文獻：[1].陳上太.三角函數最小正周期的求法.數學教學研究[J],1999,(1):26-28.[2].董志立.三角函數求最值問題類型解法透析.希望月報[J],2007,(8):110-111.[3].劉麗英.三角形中一類極值問題的解題基本思路及方法.中國科教創新導刊[J],2009,(15):80-85.[4].曾廣述.三角形中的三角函數問題求解策略.中等職業教育[J],2007,(35):56-58.[5].祝全力.\t