點估設總體X的分布函數(shù)F(x;?)，其中?為未知參(?可以是向量現(xiàn)從該總體抽樣，得到樣本從樣本出發(fā)構造適當?shù)慕y(tǒng)計TT(X1,,Xn作為參數(shù)?的估計量，即點估計將x1,…,xn代入估計量，得到?的估計T(x1,,xn點估計方

矩最大似然矩總體k階原點

E(Xk總體k階中心

EX

E(1

nkn樣本k階原點

Xin1 kn樣本k階中心

Mk

(Xi

X基本思想是用樣本矩代替總體矩矩法的步設總體X中有k個未知參數(shù)?1,?2,…,計算總體X的r階原點矩n用樣本r階原點n

E(X)

1n

Xi

E(X2)

nnn

X2i 1E(Xk)

nn

Xki解方程?r=hr(X1,X2,…, 則以hr(X1,X2,…,Xn)作為?r的估計量，并稱hr(X1,X2,…,Xn)為?r的矩估計量,而稱hr(x1,x2,…,xn)為?r的矩估計值。例1.設總體X的分布律如下，其中θ為

2(1E(

1

22(1)3(1

3E(X

3 n1nXin1nXi

32例2.設總體X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2未知參數(shù)，試求μ,σ2的矩估計量解：E(X)=μE(X)

XninniE(X2

2

nnXinnnXiii

1 ni1

nnn

(Xi

X

n1Sn例3.設總體X~E(λ)，其中λ>0為未知參數(shù),解 E(X)1Xx例4.設總體X的概率密度如下，其中θ>0xf(x;)

e

xx解：E(X) 1edxx

xE(X2) x2 edx x2ex

1n1 11nXi

Xinn當總體只含一個未知參數(shù)時，用方E(X)即可解出未知參數(shù)的矩估計量當總體只含兩個未知參數(shù)時，用方程組E(X)D(X)

n1Sn即可解出未知參數(shù)的矩估計量最大似然設總體X的分布律或概率密度為f(x;?),?=(?1,?2,…,?k)是未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn是來自總體X的樣本，則X1,X2,…,Xn的聯(lián)合分布律或概率密度函 f(xi L(x,x,...,x;)n nP(

xi

為樣本的似然函數(shù)，簡記為L(?)CC解 P(

x)

xpx

p)mxm mL(

P(Xx)Cxi

pxi

p)

n

niCxpi

(1

nmnm

i 例6.設X1,X2,…,Xn為取自總體X~U(0θ)的樣

(x)

1 0

xn

1 0x

f(xi

某位同學與一位獵人起外出打獵一只野兔從前方竄過只聽一聲槍響，野兔應 概率一般大于這位同學命中的概率.看來這一槍是獵人射中.然法的基本思.下面我們再看一個例子,進一步體會極大似然法的基本思.例5設X~B(1,pp未知.設想我們事先知 或如今重復試驗3次,得結果 0 問:應如何估計

0, 0,

pP(X10X20X3

?例設在一個箱子中裝有若干個白色和黃色乒乓球，已知兩種球的數(shù)目之比為1:，但不知是白球多還是黃球多，現(xiàn)從中有放回地任取3個球，發(fā)現(xiàn)有2個白球，問白球所占的比例是多少？解：白球所占比例p=1/4或X:任取3個球中白球的個數(shù)，X~B(3,P(

C2p2

p)

3p2(13p3pp

44

2)2)所以白球所占的比例為3/4最大似然基本思想是概率最大的事件最可能出對一個給定的樣本觀測值，選取p使最大似然對于固定的樣本觀測值x1,x2,…,xn。如果

xn,使

X

求最大似然估計量的步驟f(xi 當X是連續(xù)寫出似然函

nP(Xxi

當X是離散n對似然函數(shù)取對

f(xi;求出L(?)的最大值

lnL?(x1,x2,...,xn

解 P(

x)

pxnixi

nnL(p)

P(

xi)

p

(1

xi

pn

ln(1d

L(

n 1

0，?從中隨機抽取85件，發(fā)現(xiàn)次品10件，那xn

nn

10 所以這批產品的次品率?例9.設總體X~N(μ,σ2)，其中μ,σ2未知參數(shù)。求μ,σ2的最大似然估計解

(x)

(x

)22L(,22

nn

f(xi2n exp[1(2n

)2(2

2(2)

n(xn

)2

2

L(,

)

2

(xi

)nlnn

1

xn]ii

ln

n

(xn)2nini

2

1 xxni1

nnn

(xi

x)2nn

n

(Xi

X

n1Sn例10.設X1,X2,…,Xn為取自總體X~U[0θ]的樣

(x)

1 0

x矩法

E(X

2

12最大似然法n

1 0x

f(xi

顯然,該似然方程組無解 怎么辦呢若似然方程無解，即似然函數(shù)有駐點時，通常在邊界點上達到最大值，可由定義通過對邊界點1

0

對于例

只要取

xi

故的最大似然估計量 例11.設總體X的概率密度f(x)

1)x

0x 其其中?>-1是未知參數(shù)，X1,X2,1解：(1)矩估1E(X)

xf

1)x

11

2X 1

(2)最大似然估 L()f(x)(1)n(

(0

n

1)lndlnL()n2n1 n2n

1 ln

ln常用的幾條標準是無偏有效一致無偏

X

Xn)若

X

Xn)是?的無偏估計量

X

Xn)是?的漸近無偏估計量例1.設X1,X2,…,Xn是來自有有限數(shù)學期μ和方差σ2的總體。證明

1 nnn

i是總體均

的無偏估計n2S2 (

X)2是總體方差 n

i

的無偏估計22

1

(X

X)2 ninni

是總體方

的漸近無偏估計證

E(X)

n

nn

Xi

nnn

E(Xi)2 D(Xi)

,D(X)nE(

2)D(X)E2(X)=

+ ,,E(X2)

D(X)

E2(X) +n

E(S2)

E(nXin1 Xi

2nX2)

(nn1

E(

2)nE(X2i i

=n1

)n

n1

n11

S2是

2的無偏估

n1Sn22

n1E(S2)

n1

lim(

12n

222是2的漸近無偏估計22例2設X1,X2Xn來自總體X，E(Xμ,

X1;X

1X

X2有效11

(X1,

X2

Xn)和

(X1,

X2

Xn2都是212 )12則稱比

有效 例3.例2中μ1,μ2,μ3哪個估計量更有效

2

12n528可見當n≥2時所以μ2比較有效一致設是未知參數(shù)若對0,

則稱是的一致估計量或相合估計量例4設有一批產品，為估計其次品率p，隨機取一樣本X1,X2,…,Xn，其中Xi

取得次品

取得合格品證明

?

nnn

Xi是p并討論該估計量的一致性證：E(Xi)=pD(Xi)=p(1-E(?)

E(X)

nnn

E(Xi)

1npp?由大數(shù)定律，對任意ε>0，

時，P

?

)?nXi例5設X1,X2Xn來自總體X，且E(Xk)存在nXi1n

k是E

k

1,2,...)的一致估計量證：因X1,X2Xn獨立同分,kX1,k

Xk

Xk2n)i且E(X E(Xk2n)i由辛欽大數(shù)定律1n1

Xiinin

E(

)|}nnn

Xk是E

k

1,2,...)的一致估計量引前面，我們討論了參數(shù)點估計.它差范圍，使用起來把握不大.區(qū)間估計正好彌補了點估計的這個缺陷.譬如，在估計湖中魚數(shù)的問題中，12若我們能給出一個區(qū)間,?]12使N}1 這樣對魚數(shù)的估計就有把握多了一、置信區(qū)間定義個待估參數(shù)，給定

若由樣本X1,X2,…Xn確定的兩個統(tǒng)計(X,

,L,

),(X,X,L,X

1)2 滿1)2}1則稱區(qū)

1212

的置信水平（置信度置信概率）為1

的置信區(qū)間和

分別稱為置信下限和置信上限 可見對參數(shù)作區(qū)間估計，就是要設法找出 ?(X,…X

,…X 滿 }11一旦有了樣本，就把內.這里有兩個要求

1估計在區(qū)間1

22要求

以很大的可能被包含在區(qū)間

1內，就是說，概率1

}要盡可能大2即要求估計盡量可靠2估計的精度要盡可能的高.如要求區(qū)2長度2

盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的121它準則121可靠度可靠度與精度是一，一般是在保證可靠度的條件盡可能提高精度求置信區(qū)間的步構造與待估參數(shù)θ有關，只含?不含其給定置信度1-α，得常數(shù)a,b，P{a<U<b}=1-將a<U<b變形，使得1?(X1,1

X

Xn)

(X1,

X

Xn2結2區(qū)間

1的置1的置信區(qū)二、置信區(qū)間的求例1設X1,…Xn是取N(,2)的樣本

求參數(shù)的置信度為1的置信區(qū)間解：

UX

~N(0, 對給定的置信水平1,

X

|

}1nn從中解nn

u2

X

}1

X 1于是所求

的置信區(qū)間[X ,X nn nn也可簡記

nuX nu(11-0n(Xn

/2

X

2)nnn,(Xn

(1)

X

)nn這里，我們主要討論總體分布為正態(tài)的情形.若樣本容量很大，即使總體分布未知，應用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計.一、單個總體Nμ,σ2的情X Nμ,σ2并

X1

,Xn為來自總體樣本

X,S

分別為樣本均值和樣本方差μ的置信區(qū)1σ

為已nnσXμ~Nnnuα)α可得到的置信水平為1nnuα)α

的置信區(qū)間n,α(X n,α

)或(X 2σ

為未SXSXμ此分布不依賴任何未知參ntα2(n1)}1nSXμ~t(n可得到的置信水平為1

的置信區(qū)間Xt Xtn αn

(n1),X

ntαn

(n1) X

ntαn

(n1) 例1有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機地取16稱得重(以克計)如下 509設袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,試求總體均值t的置信水平0.95為的置信區(qū)間t解的置信水平

的置信區(qū)間

(x

(nnα這里1nα

20.025,n1

15,t0.025(15)

1(1(xix)2ix i

503.75 s

6.2022于是得到的置信水平

的置信區(qū)間σ2的置信區(qū)設X1,…Xn是取自N(,

2)的樣本μ已求參數(shù)2的置信度為1的置信區(qū)間確定分位/

2

(n),

(n))2P{

(n)

2

(n)}11

n ,i1

nXinXi1 ~2例5飛機的飛行速度進行15次獨立試驗，測假設飛機最大飛行速度服

N

2求423.1441.3大飛行速423.1441.3 2解 (xi

)

(xi

)2 ,i=1 2

2

10.900.1,查表2(n

n (n) (15)7.261,(x)2

代入1 σ2的置信區(qū)間41.407010142.5492702.1設2.1設X1,…Xn是取自N(,2)的樣本，μ未知求參數(shù)2的置信度為1的置信區(qū)間.P{P{

2(n1)

(n1)S~χ(n1)S~χ2(nσσ

2(n1)}1χα可得到σ2的置信水平為1χα

的置信區(qū)間(n1)21α(n1),αχ(n1)S(n1)S由χ1χ1α(n

(n1)Sσ

2(n1)}1χα可得到標準差χα

的置信水平為1

α的置信區(qū)間nχnχα(nnχ1α(n例2有一大批糖果.現(xiàn)從中隨機地取16稱得重(以克計)如下 509設袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布,試求總體標準差的置信水平5為的置信區(qū)間. 于是得

σ的置信水平為n n

的置信區(qū)間χα(nχα(nχ1α(n 11(xix) 2

20.025,1

2

n115,χ2χ

(15)

χχ

(15)

6.262.s

于是得

σ的置信水平為

的置信區(qū)間

(4.58,9.60).二、兩個總

N(

,σ2),

N(

,σ2的情 設已給定置信水1

,

n1X1,X2K,n1是來自第一個總體的樣本

是來自第n2n個總體的樣本,這兩個樣本相互獨立.且設X,Y分 為第一、二個總體的樣本均值,S2,S

為第一、個總體的樣本方差兩個總體均值差

μ的置信區(qū)（σ2σ2已知 X

~N(μ1

σ,

σ 2σσσ (XY)(μ1μ2)~N于是得

μ1

μ2的置信水

1

的置信區(qū)間 σ σ σX

uα 兩個總體方差比σ σ 的置信區(qū)

(μ1,

為未知 由 S S P

2

1,

1)

2

1,

1σ σ S

σ

S2 2P 2

2α S2 (n2α

(n1,

1)可得到σ σ 的置信水平為1

α的置信區(qū)間 S

S SSσ SSσ~Fα2(n11,n21σ22α S2 (n1,n1)S2 2α 研究由機器A和機器B生產的 徑,隨機地抽取機器A生產的 18只,測得樣本s1s1

0.34(mm2隨機地取機器B生產13只,測得樣本方

0.29(mm2.設兩樣本相s2獨立 且設由機器A和機器B生產 的內s2 分別服從正態(tài)分

,σ2

,N

,σ2,這里

,σ2 (i=1,2)均未知.試求方差比σ σ 的置信水平 0.90的置信區(qū)間

α0.10,

0.05,1

2n18,s20.34,n13,s2

(17,12)

(17,12)

F0.05 故兩總體方差比σ σ2的置信水平為0.90的置信 間S( S2 (n1,n σ2 S2 α 1α 即(0.452.79從正態(tài)分布N(100,1.152，某日開工后，隨甲乙試問這兩種香煙的尼古丁含量有無顯著差檢驗參數(shù)假設的問題，稱為參數(shù)檢驗檢驗分布假設的問題，稱之為分布檢驗假設檢驗的基本原“小概率”原理：概率很小的事件在一例4.某廠提供的資料表明該廠的產 p=99%，要檢驗廠方資料是否屬實提出→構造小概率事件A=“任意抽取一個→任意抽取一個產→若A發(fā)生 →若A沒發(fā)生→接受續(xù)例1.檢驗這天包裝機工作是否正常解：H0: H1:UU

nnX

~N

9(99.989(99.980.05,u/

∵|U|=0.052<1.96∴接受H0。即認為假設檢驗的兩類錯實際情決H0為H0不第一類錯正接受正第二類錯以真為

H0P真以假為

|H0為假假設檢驗的步根據問題,提出H0與H1選擇統(tǒng)計量U,要求在H0為真時,U的計算U并與臨界值比較,接受 單正態(tài)總體均值的區(qū)間估計與假設檢σ2已知時μ的雙側置信區(qū)UX

~N XX P Pn n

122P

u

u

1nn即得μ的雙側置信區(qū)n(Xun

n,Xu nσ2已知時μ的雙側假設檢檢驗假設H0:μ=μ0,U

~N

uu2

H0否則,接受例1從一批服從正態(tài)分布N(μ,0.022)的零件中隨2.15有無差異？(α=0.05).解

2.14...2.11

σ2已知時μ的雙側置信區(qū)間(X

,

0.02,

16代入Xun

Xun

∴μ的雙側置信區(qū)間為H0:μ=μ0,X

~N U

0

(50.05,u/

∵|U|=5>1.96,∴ H0。即該批零件的平均長度2.15有顯著差異。σ2未知時μ的雙側置信區(qū)TX

~t(n XXSnP P

2(nnSn

1SP

2(n

2(n

1nn即得μ的雙側置信區(qū)X (n1)S,X (n1)S nn nnσ2未知時μ的雙側假設檢檢驗假設H0:μ=μ0,TS

~t(n

22(n

H0否則,接受單正態(tài)總體方差的區(qū)間估計與假設檢μ未知時σ2的雙側置信區(qū)(n1)ST

~

(n (n1)S P

2(n1)

2(n

1P

1)S

2

(n1)S

1

2

1)即得σ2的雙側置信區(qū)(n1)S,

(n1)S

(n

2(n1)檢驗假設H0:σ2=σ02H1:σ2≠σ02T

1)S

~2

20 1)

2

2

1)當T

2

或T

(n H0否則,接受的方差仍為0.1122？（α=0.05）解：(1)μ未知時σ2的雙側置信區(qū)間(n1)S,

(n1)S 2 2

(n

(n1)1/n1/

2/

(n

14.4492,

(n

(n1)S

(n1)S

(n

2(n∴σ2的雙側置信區(qū)間為(0.0146,H0:σ2=0.1122,(n1)ST

~

(n(n1)ST

2/0.05,/

(n

14.4492,

(n

∵T=16.789>14.45,∴ μ已知時σ2的雙側置信區(qū)

2T

~2i1

2 P

(n)

1 1

i1

i (X)2i

2n(Xi)nP

12

2 即得

的雙側置信區(qū)ni (X)2 (X)2nii ,i1 2

2 μ已知時σ2的雙側假設檢檢驗假設H0:σ2=σ02nT1n

(X

)2

~220

2

2(n)2

2

2當2否則,接受

2

H0例6.設綸纖度在正常生產條件下服從正態(tài)分布度為：1.321.361.551.441.40求這一天生產的綸纖度方差的雙側置信區(qū)間；(2)這一天生產的綸的纖度的方差是否正常？（α=0.10）解：(1)μ已知時σ2的雙側置信區(qū)間X X

n ,i1 n2 5

n5,(Xi

)2

查表查表/

11.0703,

1.21.1455n(Xi)n2

(Xi)n2n

2∴σ2的雙側置信區(qū)間為(0.0028,nH0:σ2=0.0482,nT1

(X

)2

~2i inT1n

(X

)2

/0.10,/

∵T=13.67>11.07,∴ 雙正態(tài)總體均值的區(qū)間估計與假設檢σ12、σ22已知時μ1-μ2 mn

2

~N即得μ1-μ2的雙側置信區(qū) mn mnX X

,X

u σ12、σ22已知時μ1-μ2檢驗假設H0μ1=μ2,H1μ1U X

~N

u

當 否則,接受例1.已知A行業(yè)職工月工資X~N(μ1,1.52)(單位:千元);B行業(yè)職工月工資Y~N(μ2,1.22)(單位:千元).2005年在 25、30人,算得其平均月工資分別為間；2問這兩行業(yè)職工月平均工資是否有顯著差異？(α=0.05解(1σ2、σ2已知時μ-μ的雙側置信區(qū)

2X X

u

,X

u

nm25,

0.05,查表u21.96代入X

u

u

∴μ1-μ2的雙側置信區(qū)間為(-0.1281,H0:μ1=μ2, 2 2mn

~NX X mn1.520.05,u/

∵|U|=1.615<1.96,∴接受H0。業(yè)職工月平均工資沒有顯著差σ12=σ22未知時μ1-μ2 w S w SSmn

2

~t(m

n

即得μ1-μ2的雙側置信區(qū) w w SSmn w SSmnX X

2(mn

,X

2(mn σ12=σ22未知時μ1-μ2檢驗假設H0μ1=μ2,H1μ1T XS S

~t(m

n w

2當 否則,接受σ12=σ22未知時μ1-μ2

S S X X

(m

n

w

,檢驗假設H0:μ1≤μ2,H1:μ1>μ2 H0,否則,接受σ12=σ22未知時μ1-μ2

S S2 ,XY

(m

n

w w n檢驗假設H0:μ≥μ0,H1:μ<μ0 H0,否則,接受泉水的體積X、Y分別服從正態(tài)分布N(μ1σ2)和N(μ2,σ2).現(xiàn)從生產線上分別隨機抽取容量解：σ

2未知時μ-μ的雙側置信區(qū)

S S

S S2X Yt2(mnX

ww,XY

2(mn

w w nm12,

499.7,S

2.4,S

120.05,查表12

2(mn2)

X

2(mn

SS w S

0.1008,X

2(mn

SS w S

∴μ1-μ2的雙側置信區(qū)間為(-0.1008,常參加體育鍛煉的男生平均身高要高？(α=0.05)解：H0μ1≤μ2,H1μ1T XS S

~t(mn w T X

SS SS w

1 0.05,t(mn2)∵T=2.02>1.66, H0。即男生是明顯比不常參加體育鍛煉的男生平均身高要高雙正態(tài)總體方差的區(qū)間估計與假設檢求σ

2的雙側置信區(qū)間與雙側檢111

21122=σ2,H:σ2≠σ2112求σ

2的單側下限置信區(qū)間與右側檢111

21122≤σ2,H:σ2>σ2112求σ

2的單側上限置信區(qū)間與左側檢111

21122≥σ2,H:σ2<σ21122μ1、μ2未知時σ12/σ22S ST

~F(m1,n S S P

2(m1,n1) 2F2(m1,n

1S

S P

1SS22 SS22

2即得σ12/σ22的雙側置信區(qū)2S

S 2 , 2SS2 SS2

2μ1、μ2未知時σ12/σ2的雙側2檢驗假設H0σ12σ22，H1SS2T S22

~F(m1,

1)

2(m1,n1)當T

2

或

2(m1,n

H0否則,接受2μ1、μ2未知時σ12/σ