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精益求精，善益求善。Goodisgood,butbettercarriesit.

精益求精，善益求善。初中數學與圓有關的題庫劉開南同學在校期間能以校規、班規嚴格要求自己。生活上尊敬師長、團結同學，有較強的集體觀念；學習上刻苦鉆研、理性思考，有較強的文字整合和采寫能力；實踐上積極參與各類社團活動及其社會公益活動，熱心幫助他人，服務社會。總之，他是一個品學兼優、全面發展的好學生，在班上同學中有較高的威信。劉開南同學在校期間能以校規、班規嚴格要求自己。生活上尊敬師長、團結同學，有較強的集體觀念；學習上刻苦鉆研、理性思考，有較強的文字整合和采寫能力；實踐上積極參與各類社團活動及其社會公益活動，熱心幫助他人，服務社會。總之，他是一個品學兼優、全面發展的好學生，在班上同學中有較高的威信。PAGEPAGE35劉開南同學在校期間能以校規、班規嚴格要求自己。生活上尊敬師長、團結同學，有較強的集體觀念；學習上刻苦鉆研、理性思考，有較強的文字整合和采寫能力；實踐上積極參與各類社團活動及其社會公益活動，熱心幫助他人，服務社會。總之，他是一個品學兼優、全面發展的好學生，在班上同學中有較高的威信。PAGE與圓有關的題庫選擇題1、下列命題為真命題的是 (C )A、點確定一個圓B、度數相等的弧相等C、圓周角是直角的所對弦是直徑D、相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等解答：選CA不在同一直線的三點確定一個圓；B在同圓或等圓中度數相等的弧相等D在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等考查的知識點：點與圓的關系，垂徑定理的推論，圓周角定理解答疑難點：容易忽視垂徑定理的推論的前提是“在同圓或等圓中”2、若一個三角形的外心在這個三角形的斜邊上，那么這個三角形是 (B )A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、不能確定解答：B考查的知識點：三角形的外接圓、直角三角形解答疑難點：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半3、圓內接四邊形ABCD，∠A，∠B，∠C的度數之比為3:4:6，則∠D的度數為(C)A、60 B、80 C、100 D、120解答：C考查的知識點：圓的內接四邊形對角互補解答疑難點：圓的內接四邊形對角互補4、如圖1，正方形ABCD內接于圓O點P在弧AD上，∠BPC＝ (B )A、50 B、45 C、40 D、35解答：B考查的知識點：圓周角、正方形解答疑難點：正方形的對角線的交點為圓O的圓心，圓心角為90度，所以∠BPC＝45度。5、如圖2，圓周角∠A＝30，弦BC＝3，則圓O的直徑是 ( D)A、3 B、4 C、5 D、6解答：D考查的知識點：等邊三角形、直徑、圓心角與圓周角解答疑難點：在同圓或等圓中，圓周角是圓心角的一半6、如圖3，CD是圓O的弦，AB是圓O的直徑，CD＝8，AB＝10，則點A、B到直線CD的距離的和是 ( A)A、6 B、8 C、10 D、12解答：選A考查的知識點：垂徑定理、梯形的中位線解答疑難點：過圓心作CD的垂線交CD于P構造直角三角形，梯形上底與下底之和為其中位線的2倍 圖1圖2 圖3 圖47、如圖4,在以O為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C和D兩點,AB=10cm,CD=6cm,則AC長為(D)A0.5cmB1cmC1.5cmD2cm解答：選D考查的知識點：垂徑定理解答疑難點：過圓心作弦的垂線，則垂線平分弦8、CD是⊙O的一條弦，作直徑AB，使AB⊥CD，垂足為E，若AB=10，CD=6，則BE的長是（A）A．1或9 B．9 C．1 D．4解答：A考查的知識點：垂徑定理解答疑難點：分類討論。容易忽略A點與B點的位置關系，導致所求不完全9、兩圓的半徑分別為R和r，圓心距d=3，且R，r是方程的兩個根，則這兩個圓的位置關系是（A）A．內切 B．外切 C．相交 D．外離解答：A考查的知識點：一元二次方程的解法、圓與圓的位置關系解答疑難點：d=R-r時，兩圓內切10、手工課上，小明用長為10π，寬為5π的綠色矩形卡紙，卷成以寬為高的圓柱，這個圓柱的底面圓半徑是（B）A．5π B．5 C．10π D．10解答：B考查的知識點：圓柱的側面展開圖、圓周長公式解答疑難點：C=2πr11、如果兩個圓心角相等，那么（D）A．這兩個圓心角所對的弦相等;B．這兩個圓心角所對的弧相等C．這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等;D．以上說法都不對解答：選D考查的知識點：圓心角定理及其推論解題疑難點：容易忽視圓心角定理的前提條件：在同圓或等圓中12、在同圓中，圓心角∠AOB=2∠COD，則兩條弧AB與CD關系是（A）A.AB=2CDB．AB>CDC．AB<2CDD．不能確定解答：選A考查的知識點：圓心角定理解題疑難點：圓心角定理13、（2011山東日照，11，4分）已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列選項中⊙O的半徑為的是（C） A． B．C． D．考查知識點：三角形的內切圓與內心；解一元一次方程；正方形的判定與性質；切線的性質；相似三角形的判定與性質。解題疑難點：連接OE、OD，根據AC、BC分別切圓O于E、D，得到∠OEC=∠ODC=∠C=90°，證出正方形OECD，設圓O的半徑是r，證△ODB∽△AEO，得出QUOTE，代入即可求出r=QUOTE；設圓的半徑是x，圓切AC于E，切BC于D，且AB于F，同樣得到正方形OECD，根據a﹣x+b﹣x=c，求出x即可；設圓切AB于F，圓的半徑是y，連接OF，則△BCA∽△OFA得出，代入求出y即可．解答：解：C、連接OE、OD，∵AC、BC分別切圓O于E、D，∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，∵OE=OD，∴四邊形OECD是正方形，∴OE=EC=CD=OD，設圓O的半徑是r，∵OE∥BC，∴∠AOE=∠B，∵∠AEO=∠ODB，∴△ODB∽△AEO，∴,，解得：r=QUOTE，故本選項正確；A、設圓的半徑是x，圓切AC于E，切BC于D，且AB于F，如圖（1）同樣得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，則a﹣x+b﹣x=c，求出x=，故本選項錯誤；B、設圓切AB于F，圓的半徑是y，連接OF，如圖（2），則△BCA∽△OFA，∴，∴，解得：y=QUOTE，故本選項錯誤；D、求不出圓的半徑等于QUOTE，故本選項錯誤；故選C．14、（2011黑龍江雞西，8，3分）如圖，A、B、C、D是⊙O上的四個點，AB=AC，AD交BC于點E，AE=3，ED=4，則AB的長為（C）A.3B.2C.D.3考查知識點：圓周角定理；相似三角形的判定與性質.疑難點分析：根據圓周角定理可得∠ACB=∠ABC=∠D，再利用三角形相似△ABD∽△AEB，即可得出答案．解答：解：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=∠D，∵∠BAD=∠BAD，∴△ABD∽△AEB，∴QUOTE，∴AB2=3×7=21，∴AB=QUOTE．故選C．15、（2010南昌）如圖，⊙O中，AB、AC是弦，O在∠AOB的內部，∠ABO=α，∠ACO=β，∠BOC=θ，則下列關系中，正確的是（B）A．θ=α+βB．θ=2α+2βC．α+β+θ=180°D．α+β+θ=360°__D_C_B_A_O考查知識點：等腰三角形、圓心角與圓周角的關系疑難點分析：OB=OA=OC，∠BAO=α，∠CAO=β，所以∠BAC=α+β，所以∠BOC=2（α+β）解答：選B填空題：若⊙O的半徑為5，弦AB的弦心距為3，則AB=8．考查知識點：垂徑定理疑難點分析：連半徑構造直角三角形已知扇形的弧長為π，半徑為1，則該扇形的面積為．考查知識點：扇形面積公式疑難點分析：S=lR=若⊙O1與⊙O2外切于點A，它們的直徑分別為10cm和8cm，則圓心距O1O2=9cm．考查知識點：圓與圓的位置關系，圓心距疑難點分析：兩圓外切時，圓心距d=R+r=5+4=9，學生容易漏寫單位4、如圖4，已知⊙O的半徑是6cm，弦CB=cm，OD⊥BC，垂足為D，則∠COB=．考查知識點：垂徑定理，直角三角形30度所對的直角邊為斜邊的一半。疑難點分析：CD=，OC=6，則根據勾股定理得OD=3，所以∠C=∠B=30度，所以∠BOC=120度。5、直線l與⊙O有兩個公共點A，B，O到直線l的距離為5cm，AB=24cm，則⊙O的半徑是13cm．考查知識點：垂徑定理疑難點分析：連半徑構造直角三角形，根據勾股定理可求得半徑為136、圓錐的高為cm，底面圓半徑為3cm，則它的側面積等于18π．考查知識點：圓錐的側面積疑難點分析：S==7、如圖5，已知AB是⊙O的直徑，PA=PB，∠P=60°，則弧所對的圓心角等于60°．考查知識點：等邊三角形、圓心角、弧長疑難點分析：連半徑構造等邊三角形8、一個圓錐的側面積是底面積的2倍，則該圓錐的側面展開圖扇形的圓心角度數是180．考查知識點：圓錐的側面積、圓心角疑難點分析：，所以R=2r，，所以n=180度如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，點D是弧BC的中點，已知∠AOB=98°,∠COB=120°，則∠ABD的度數是101。__O_D_C_A_B考查知識點：圓心角與圓周角的關系疑難點分析：∠AOC=360-98-120=142，所以∠ABC=71，∠CBD=，所以∠ABD=71+30=10110、如圖，點E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一條弦．則tan∠OBE=___QUOTE。考查知識點：圓周角定理；坐標與圖形性質；銳角三角函數的定義。疑難點分析：根據同弧所對的圓周角相等，可證∠ECO=∠OBE．由銳角三角函數可求tan∠ECO=QUOTE，即tan∠OBE=QUOTE．解答：解：連接EC．根據圓周角定理∠ECO=∠OBE．在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，則tan∠ECO=QUOTE．故tan∠OBE=QUOTE．11、如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經過圓心O，則折痕AB的長為。__C_B_A_O考查知識點：折疊性質，垂徑定理疑難點分析：折疊后，OC與AB交于點E，E為OC的中點，所以OE=1，AE=，所以AB=12、如圖，AB是⊙O的直徑，C、D、E是⊙O上的點，則∠1+∠2=90。__2_1_O_C_B_E_D_ACCPDOBA圖4考查知識點：圓周角定理疑難點分析：圓周角=弧度數的一半，弧AB=180，∠1+∠2=90如圖4，⊙O是正方形ABCD的外接圓，點P在⊙O上，則∠APB等于__45_______考查知識點：圓周角疑難點分析：弧AB=360=90，所以∠APB=14、（2011年山東省東營市，12，3分）如圖，直線與x軸、y軸分別相交于A，B兩點，圓心P的坐標為（1，0），圓P與y軸相切于點O．若將圓P沿x軸向左移動，當圓P與該直線相交時，橫坐標為整數的點P的個數有____3___個考查知識點：直線與圓的位置關系；一次函數綜合題．疑難點分析：根據直線與坐標軸的交點，得出A，B的坐標，再利用三角形相似得出圓與直線相切時的坐標，進而得出相交時的坐標．解答：解：∵直線與x軸、y軸分別相交于A，B兩點，

圓心P的坐標為（1，0），

∴A點的坐標為：0=x+，

x=-3，A（-3，0），

B點的坐標為：（0，），

∴AB=2，

將圓P沿x軸向左移動，當圓P與該直線相切與C1時，P1C1=1，

根據△AP1C1∽△ABO，

∴，

∴AP1=2，

∴P1的坐標為：（-1，0），

將圓P沿x軸向左移動，當圓P與該直線相切與C2時，P2C2=1，

根據△AP2C2∽△ABO，

∴，

∴AP2=2，

P2的坐標為：（-5，0），

從-1到-5，整數點有-2，-3，-4，故橫坐標為整數的點P的個數是3個．15、（2011黑龍江雞西，8，3分）如圖，A、B、C、D是⊙O上的四個點，AB=AC，AD交BC于點E，AE=3，ED=4，則AB的長為__________第8題圖第8題圖考查知識點：圓周角定理；相似三角形的判定與性質.疑難點分析：根據圓周角定理可得∠ACB=∠ABC=∠D，再利用三角形相似△ABD∽△AEB，即可得出答案．解答：解：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=∠D，∵∠BAD=∠BAD，∴△ABD∽△AEB，∴QUOTE，∴AB2=3×7=21，∴AB=QUOTE．故選C．解答題：1.（2011江蘇南京，26，8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P為BC的中點，動點Q從點P出發，沿射線PC方向以2cm/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓．設點Q運動的時間為ts．（1）當t=1.2時，判斷直線AB與⊙P的位置關系，并說明理由；（2）已知⊙O為△ABC的外接圓．若⊙P與⊙O相切，求t的值．考查知識點：圓與圓的位置關系；勾股定理；直線與圓的位置關系；相似三角形的判定與性質。疑難點分析：（1）根據已知求出AB=10cm，進而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性質得出圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，即可得出直線AB與⊙P相切；（2）根據BO=QUOTEAB=5cm，得出⊙P與⊙O只能內切，進而求出⊙P與⊙O相切時，t的值．解答：解：（1）直線AB與⊙P相切，如圖，過P作PD⊥AB，垂足為D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵AB=6cm，BC=8cm，∴AB=10cm，∵P為BC中點，∴PB=4cm，∵∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，∴△PBD∽△ABC，∴QUOTE，即QUOTE，∴PD=2.4（cm），當t=1.2時，PQ=2t=2.4（cm），∴PD=PQ，即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑，∴直線AB與⊙P相切；（2）∵∠ACB=90°，∴AB為△ABC的外接圓的直徑，∴BO=QUOTEAB=5cm，連接OP，∵P為BC中點，∴PO=QUOTEAC=3cm，∵點P在⊙O內部，∴⊙P與⊙O只能內切，∴5﹣2t=3，或2t﹣5=3，∴t=1或4，∴⊙P與⊙O相切時，t的值為1或4．2.（2011江蘇蘇州，26，8分）如圖，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上的任意一點

（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD．

（1）弦長等于________（結果保留根號）；

（2）當∠D=20°時，求∠BOD的度數；

（3）當AC的長度為多少時，以A、C、D為頂點的三角形與以B、C、0為頂點的三角形相似？請寫出解答過程．考查知識點：圓周角定理；垂徑定理；相似三角形的判定與性質；解直角三角形．疑難點分析：（1）過點O作OE⊥AB于E，由垂徑定理即可求得AB的長；

（2）連接OA，由OA=OB，OA=OD，可得∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，則可求得∠DAB的度數，又由圓周角等于同弧所對圓心角的一半，即可求得∠DOB的度數；

（3）由∠BCO=∠A+∠D，可得要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，然后由相似三角形的性質即可求得答案．解答：解：過點O作OE⊥AB于E，

則AE=BE=AB，∠OEB=90°，

∵OB=2，∠B=30°，

∴BE=OB?cos∠B=2×=，

∴AB=；

故答案為：；

（2）連接OA，

∵OA=OB，OA=OD，

∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，

又∵∠B=30°，∠D=20°，

∴∠DAB=50°，

∴∠BOD=2∠DAB=100°；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，

∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，

∴要使△DAC與△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，

此時∠BOC=60°，∠BOD=120°，

∴∠DAC=60°，

∴△DAC∽△BOC，

∵∠BCO=90°，

即OC⊥AB，

∴AC=AB=．點評：此題考查了垂徑定理，圓周角的性質以及相似三角形的判定與性質等知識．題目綜合性較強，解題時要注意數形結合思想的應用．3.（2011?江蘇宿遷，26，10）如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，P是反比例函數y＝（x＞0）圖象上的任意一點，以P為圓心，PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點A、B．（1）判斷P是否在線段AB上，并說明理由；（2）求△AOB的面積；（3）Q是反比例函數y＝（x＞0）圖象上異于點P的另一點，請以Q為圓心，QO半徑畫圓與x、y軸分別交于點M、N，連接AN、MB．求證：AN∥MB．考查知識點：相似三角形的判定與性質；反比例函數圖象上點的坐標特征；三角形中位線定理；圓周角定理。疑難點分析：（1）點P在線段AB上，由O在⊙P上，且∠AOB=90°得到AB是⊙P的直徑，由此即可證明點P在線段AB上；（2）如圖，過點P作PP1⊥x軸，PP2⊥y軸，由題意可知PP1、PP2是△AOB的中位線，故S△AOB＝OA×OB＝×2PP1×PP2，而P是反比例函數y＝（x＞0）圖象上的任意一點，由此即可求出PP1×PP2=6，代入前面的等式即可求出S△AOB；（3）如圖，連接MN，根據（1）（2）則得到MN過點Q，且S△MON=S△AOB=12，然后利用三角形的面積公式得到OA?OB=OM?ON，然后證明△AON∽△MOB，最后利用相似三角形的性質即可解決問題．解答：解：（1）點P在線段AB上，理由如下：∵點O在⊙P上，且∠AOB=90°∴AB是⊙P的直徑∴點P在線段AB上．（2）過點P作PP1⊥x軸，PP2⊥y軸，由題意可知PP1、PP2是△AOB的中位線，故S△AOB＝OA×OB＝×2PP1×PP2∵P是反比例函數y＝（x＞0）圖象上的任意一點∴S△AOB＝OA×OB＝×2PP1×2PP2＝2PP1×PP2＝12．（3）如圖，連接MN，則MN過點Q，且S△MON＝S△AOB＝12．∴OA·OB＝OM·ON∴∵∠AON＝∠MOB∴△AON∽△MOB∴∠OAN＝∠OMB∴AN∥MB．4.（2011?泰州，26，10分）如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，矩形ABCD的邊BC為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點M，OM的延長線與BC相交于點N．（1）點N是線段BC的中點嗎？為什么？（2）若圓環的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的半徑．考查知識點：垂徑定理；勾股定理；矩形的性質。疑難點分析：（1）由AD是小圓的切線可知OM⊥AD，再由四邊形ABCD是矩形可知，AD∥BC，AB=CD，故ON⊥BC，由垂徑定理即可得出結論；（2）延長ON交大圓于點E，由于圓環的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm可知ME=6cm，在Rt△OBE中，利用勾股定理即可求出OM的長．解答：解：（1）∵AD是小圓的切線，M為切點，∴OM⊥AD，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，∴ON⊥BC，BE=BC=5cm，∴N是BC的中點；（2）延長ON交大圓于點E，∵圓環的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，∴ME=6cm，在Rt△OBE中，設OM=rOB2=BC2+（OM+MN）2，即（r+6）2=52+（r+5）2，解得r=7cm，故小圓半徑為7cm．5.（2011鹽城，25，10分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F．（1）若AC=6，AB=10，求⊙O的半徑；（2）連接OE、ED、DF、EF．若四邊形BDEF是平行四邊形，試判斷四邊形OFDE的形狀，并說明理由．考查點：切線的性質；勾股定理；平行四邊形的性質；圓周角定理；相似三角形的判定與性質.疑難點分析：（1）連接OD，設⊙O的半徑為r，可證出△BOD∽△BAC，則，從而求得r；（2）由四邊形BDEF是平行四邊形，得∠DEF=∠B，再由圓周角定理可得，∠B=QUOTE∠DOB，則△ODE是等邊三角形，先得出四邊形OFDE是平行四邊形．再根據OE=OF，則平行四邊形OFDE是菱形．解答：解：（1）連接OD．設⊙O的半徑為r．∵BC切⊙O于點D，∴OD⊥BC．∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC．∴，即10r=6（10﹣r）．解得r=QUOTE，∴⊙O的半徑為QUOTE．（2）四邊形OFDE是菱形．∵四邊形BDEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠B．∵∠DEF=QUOTE∠DOB，∴∠B=QUOTE∠DOB．∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB=60°．∵DE∥AB，∴∠ODE=60°．∵OD=OE，∴OD=DE．∵OD=OF，∴DE=OF．∴四邊形OFDE是平行四邊形．∵OE=OF，∴平行四邊形OFDE是菱形．6.（2011江蘇揚州，26，10分）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D。（1）以AB邊上一點O為圓心，過A，D兩點作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若（1）中的⊙O與AB邊的另一個交點為E，AB=6，BD=2, 求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積。（結果保留根號和π）考查知識點：切線的判定與性質；勾股定理；扇形面積的計算；作圖—復雜作圖；相似三角形的判定與性質。疑難點分析：（1）根據題意得：O點應該是AD垂直平分線與AB的交點；由∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，與圓的性質可證得AC∥OD，又由∠C=90°，則問題得證；（2）過點D作DM⊥AB于M，由角平分線的性質可證得DM=CD，又由△BDM∽△BAC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可證得CD：AC=QUOTE：3，可得∠DOB=60°，則問題得解．解答：解：（1）如圖：連接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ADO，∴AC∥OD，∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，∴OD⊥BC，即直線BC與⊙O的切線，∴直線BC與⊙O的位置關系為相切；（2）過點D作DM⊥AB于M，∴∠DMB=∠C=90°，∵∠B=∠B，∴△BDM∽△BAC，∴QUOTE，∵AD是∠CAB的平分線，∴CD=DM，∴QUOTE，∴∠CAD=30°，∴∠DAB=30°，∠B=30°，∴∠DOB=60°，∴OD=2，∴S扇形ODE=QUOTE=QUOTEπ，S△ODB=QUOTEOD?BD=QUOTE×2×2QUOTE=2QUOTE∴線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：S△ODB﹣S扇形ODE=2QUOTE﹣QUOTEπ．7.（2011南昌，22，7分）如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為QUOTE，點A為弦BC所對優弧上任意一點（B，C兩點除外）．（1）求∠BAC的度數；（2）求△ABC面積的最大值．（參考數據：sin60°=QUOTE，cos30°=QUOTE，tan30°=QUOTE．）考查知識點：垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形.疑難點分析：（1）連接OB、OC，作OE⊥BC于點E，由垂徑定理可得出BE=EC=QUOTE，在Rt△OBE中利用銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值可求出∠BOE的度數，再由圓周角定理即可求解；（2）因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A應落在優弧BC的中點處，過OE⊥BC與點E，延長EO交⊙O于點A，則A為優弧BC的中點，連接AB，AC，則AB=AC，由圓周角定理可求出∠BAE的度數，在Rt△ABE中，利用銳角三角函數的定義及特殊角的三角函數值可求出AE的長，由三角形的面積公式即可解答．解答：解：（1）解法一：連接OB，OC，過O作OE⊥BC于點E．∵OE⊥BC，BC=QUOTE，∴QUOTE．在Rt△OBE中，OB=2，∵QUOTE，∴∠BOE=60°，∴∠BOC=120°，∴．解法二：連接BO并延長，交⊙O于點D，連接CD.∵BD是直徑，∴BD=4，∠DCB=90°．在Rt△DBC中，QUOTE，∴∠BDC=60°，∴∠BAC=∠BDC=60°．（2）解法一：因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A落在優弧BC的中點處．（5分）過O作OE⊥BC于E，延長EO交⊙O于點A，則A為優弧BC的中點．連接AB，AC，則AB=AC，QUOTE．在Rt△ABE中，∵，QUOTE，∴，∴S△ABC=.答：△ABC面積的最大值是QUOTE．解法二：因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A落在優弧BC的中點處．（5分）過O作OE⊥BC于E，延長EO交⊙O于點A，則A為優弧BC的中點．連接AB，AC，則AB=AC．∵∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形．在Rt△ABE中，∵，QUOTE，∴，∴S△ABC=.答：△ABC面積的最大值是QUOTE．8.（2011內蒙古呼和浩特，24，8）如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點D，．

（1）求證：直線PB是⊙O的切線；

（2）求cos∠BCA的值．

考查知識點：切線的判定與性質；全等三角形的判定與性質；相似三角形的判定與性質；銳角三角函數的定義．疑難點分析：（1）連接OB、OP，由，且∠D=∠D，根據三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易證得△BOP≌△AOP，則∠PBO=∠PAO=90°；

（2）設PB=a，則BD=2a，根據切線長定理得到PA=PB=a，根據勾股定理得到AD=2a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC=CA=×2a=a，則OA=a，利用勾股定理求出OP，然后根據余弦函數的定義即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．解答：（1）證明：連接OB、OP，如圖，

∵，且∠D=∠D，

∴△BDC∽△PDO，

∴∠DBC=∠DPO，

∴BC∥OP，

∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP

而OB=OC

∴∠OCB=∠CBO

∴∠BOP=∠POA

又∵OB=OA，OP=OP

∴△BOP≌△AOP

∴∠PBO=∠PAO

又∵PA⊥AC

∴∠PBO=90°

∴直線PB是⊙O的切線；

（2）由（1）知∠BCO=∠POA，

設PB=a，則BD=2a

又∵PA=PB=a

∴AD=a，

又∵BC∥OP

∴DC=2CO，

∴DC=CA=×2a=a，

∴OA=a，

∴OP=，

∴cos∠BCA=cos∠POA=．9.如圖，點C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上，且OA=3，AC=2，CD平行于AB，并與弧AB相交于點M、N．

（1）求線段OD的長；

（2）若，求弦MN的長．考查知識點：垂徑定理；勾股定理；相似三角形的判定與性質；解直角三角形．疑難點分析：（1）根據CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求出OD的長；

（2）過O作OE⊥CD，連接OM，由垂徑定理可知ME=MN，再根據tan∠C=可求出OE的長，利用勾股定理即可求出ME的長，進而求出答案．解答：解：（1）∵CD∥AB，OA=3，AC=2，

∴△OAB∽△OCD，

∴=，即=，

∴OD=5；（2）過O作OE⊥CD，連接OM，則ME=MN，

∵tan∠C=，

∴設OE=x，則CE=2x，

在Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，即52=x2+（2x）2，解得x=，

在Rt△OME中，OM2=OE2+ME2，即32=（）2+ME2，解得ME=2．

故答案為：5；2．10.（2011四川廣安，29，10分）如圖所示．P是⊙O外一點．PA是⊙O的切線．A是切點．B是⊙O上一點．且PA＝PB，連接AO、BO、AB，并延長BO與切線PA相交于點Q．（1）求證：PB是⊙O的切線；（2）求證：AQ?PQ＝OQ?BQ；（3）設∠AOQ＝．若cos＝．OQ＝15．求AB的長考查知識點：直線與圓的位置關系，切線，切線長，相似，解直角三角形，綜合題．疑難點分析：（1）要證PB是⊙O的切線，只要證明∠PBO＝90°即可，根據已知條件可考慮連接PO，通過證明△APO≌△BPO來說明∠PBO＝∠PAO＝90°．（2）要證明AQ?PQ＝OQ?BQ，只需證明即可，為此需要證明△QPB∽QOA．（3）根據已知條件解Rt△AOQ可得AQ與OA的長，則BQ的長可求，利用（2）中證得的△QPB∽QOA，根據相似三角形的性質可求得PB的長，利用勾股定理可得PO的長，在Rt△AOB中，利用面積等積式可求得AB的一半的長，則AB的長可知．解答：（1）證明：如圖所示，連結OP，交AB于點C．∵PA＝PB，AO＝BO，PO＝PO∴△APO≌△BPO．∴∠PBO＝∠PAO＝90°又∵PA是⊙O的切線∴PA⊥OA，即∠PAO＝90°．∴∠PBO＝∠PAO＝90°．∴PB是⊙O的切線．（2）證明：∵∠OAQ＝∠PBQ＝90°，∠Q為公共角，∴△QPB∽QOA．∴，即AQ?PQ＝OQ?BQ．（3）在Rt△AOQ中，，∴．∴，BQ＝BO＋OQ＝AO＋OQ＝12＋15＝27．由（2）知△QPB∽QOA，∴，即，解得PB＝36．∵PA、PB都是⊙O的切線，PA＝PB，∴∠APC＝∠BPC，∴PC⊥AB，即OC⊥AB．∴AB＝2BC，．∵，∴．∴．11.（2011四川涼山，27，8分）如圖，已知，以為直徑，為圓心的半圓交于點，點為弧CF的中點，連接交于點，為△ABC的角平分線，且，垂足為點.（1）求證：是半圓的切線；（2）若，，求的長.BBDAOAHACAEAMAFAA考查知識點：切線的判定與性質；勾股定理；圓周角定理；相似三角形的判定與性質．疑難點分析：（1）連接EC，AD為△ABC的角平分線，得∠1＝∠2，又AD⊥BE，可證∠3＝∠4，由對頂角相等得∠4＝∠5，即∠3＝∠5，由E為弧CF的中點，得∠6＝∠7，由BC為直徑得∠E＝90°，即∠5＋∠6＝90°，由AD∥CE可證∠2＝∠6，從而有∠3＋∠7＝90°，證明結論；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理可求AC＝5，由∠3＝∠4得AM＝AB＝3，則CM＝AC－AM＝2，由（1）可證△CME∽△BCE，利用相似比可得EB＝2EC，在Rt△BCE中，根據BE2＋CE2＝BC2，得BE2＋（）2＝42，可求BE．解答：（1）證明：連接EC，∵AD⊥BE于H，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4∴∠4＝∠5＝∠3，又∵E為弧CF中點，∴∠6＝∠7，∵BC是直徑，∴∠E＝90°，∴∠5＋∠6＝90°，又∵∠AHM＝∠E＝90°，∴AD∥CE，∴∠2＝∠6＝∠1，∴∠3＋∠7＝90°，又∵BC是直徑，∴AB是半圓O的切線；（2）∵，。由（1）知，，∴.在中，于，平分，∴，∴.由∽，得.∴，∴12.（2011天津，22，分）已知AB與⊙O相切于點C，OA=OB，OA、OB與⊙O分別交于點D、E．（I）如圖①，若⊙O的直徑為8，AB=10，求OA的長（結果保留根號）；（II）如圖②，連接CD、CE，若四邊形ODCE為菱形，求的值．考查知識點：切線的性質；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性質。疑難點分析：（1）連接OC，根據切線的性質得出OC⊥AB，再由勾股定理求得OA即可；（2）根據菱形的性質，求得OD=CD，則△ODC為等邊三角形，可得出∠A=30°，即可求得的值．解答：解：（1）如圖①，連接OC，則OC=4，∵AB與⊙O相切于點C，∴OC⊥AB，∴在△OAB中，由AO=OB，AB=10m，得AC=AB=5．在Rt△AOC中，由勾股定理得OA=（2）如圖②，連接OC，則OC=OD，∵四邊形ODCE為菱形，∴OD=CD，∴△ODC為等邊三角形，有∠AOC=60°．由（1）知，∠OCA=90°，∴∠A=30°，∴OC=OA，∴=．13.（2011湖北潛江，20，8分）如圖，BD是⊙O的直徑，A、C是⊙O上的兩點，且AB＝AC，AD與BC的延長線交于點E．（1）求證：△ABD∽△AEB；（2）若AD＝1，DE＝3，求BD的長．考查知識點：相似三角形的判定與性質；勾股定理；圓周角定理。疑難點分析：（1）結合已知條件就可以推出∠ABC＝∠ADB，再加上公共角就可以推出結論；（2）由（1）的結論就可以推出AB的長度，規矩勾股定理即可推出BD的長度．解答：（1）證明：∵AB＝AC，∴弧AB＝弧ACQUOTE．∴∠ABC＝∠ADB．（2分）又∠BAE＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB．（4分）（2）解：∵△ABD∽△AEB，∴QUOTE．∵AD＝1，DE＝3，∴AE＝4．∴AB2＝AD?AE＝1×4＝4．∴AB＝2．（6分）∵BD是⊙O的直徑，∴∠DAB＝90°．在Rt△ABD中，BD2＝AB2＋AD2＝22＋12＝5，∴BD＝QUOTE．（8分）14.如圖，在圓內接四邊形ABCD中，CD為∠BCA的外角的平分線，F為AD弧上一點，BC=AF，延長DF與BA的延長線交于E．

（1）求證：△ABD為等腰三角形．

（2）求證：AC?AF=DF?FE．考查知識點：圓周角定理；全等三角形的判定與性質；圓內接四邊形的性質；相似三角形的判定與性質．疑難點分析：（1）CD為∠BCA的外角的平分線得到∠MCD=∠ACD，求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可；

（2）由BC=AF推出CD=DF和∠CDB=∠ADF，證△CDA≌△FDB，得到AC=BF，根據CDFB四點共圓和AFDB四點共圓，推出∠FAE=∠BDF和∠EFA=∠DFB，證△DBF∽△AEF，得到AFDF=EFBF即可推出答案．解答：（1）證明：∵CD為∠BCA的外角的平分線，

∴∠MCD=∠ACD，

∵A、B、C、D四點共圓，

∴∠MCD=∠DAB，

∵∠DCA=∠DBA，

∴∠DBA=∠DAB，

∴BD=AD，

∴△ABD是等腰三角形．

（2）證明：∵BC=AF，

∴弧BC=弧AF，

∵AD=BD，

∴弧AD=弧BD，

∴弧CD=弧DF，

∴CD=DF，

∵弧BC=弧DF，

∴∠CDB=∠ADF，

∴∠CDA=∠FDB，

∵AD=BD，CD=DF，

∴△CDA≌△FDB，

∴AC=BF，

∵CDFB四點共圓，AFDB四點共圓，

∴∠FAE=∠BDF，∠MCD=∠DFB，∠EFA=∠DBA=∠DCA，

∵∠MCD=∠DCA，

∴∠EFA=∠DFB，

∴△DBF∽△AEF，

∴AFDF=EFBF，

∴AF?BF=DF?EF，

∴AC?AF=DF?FE．15.（2011?貴港）如圖所示，在以O為圓心的兩個同心圓中，小圓的半徑為1，AB與小圓相切于點A，與大圓相交于點B，大圓的弦BC⊥AB于點B，過點C作大圓的切線CD交AB的延長線于點D，連接OC交小圓于點E，連接BE、BO．（1）求證：△AOB∽△BDC；（2）設大圓的半徑為x，CD的長為y：①求y與x之間的函數關系式；②當BE與小圓相切時，求x的值．考查知識點：切線的性質；勾股定理；垂徑定理；相似三角形的判定與性質。疑難點分析：（1）由AB與小圓相切，CD與大圓相切，根據切線性質可得∠OAB與∠OCD相等，都為直角，又BC與AB垂直，根據垂直定義得到∠CBA與∠CBD都為直角，則∠1+∠OBC與∠2+∠OCB和都為90°，由OC=OB，根據“等邊對等角”得到∠OBC=∠OCB，根據等角的余角相等，得到∠1=∠2，由兩對對應角相等的兩三角形相似得證；（2）①過O作OF垂直于BC，由三個角都為直角的四邊形為矩形得到ABOF為矩形，根據矩形的對邊相等，得到FB=OA，由OA的長得到FB的長，又BC為大圓的弦，利用垂徑定理得到BC=2BF，從而求出BC的長，在直角三角形OAB中，由OA=1，OB=x，利用勾股定理表示出AB，由（1）得到的三角形相似得比例，把相應的值代入即可得到y與x的關系式；②當BE與小圓相切時，根據切線性質得到OE與BE垂直，由OE和OC表示出EC的長，根據切線長定理得到BE=BA，表示出EB，在直角三角形ECB中，由EC，EB及BC的長，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值．解答：（1）證明：∵AB與小圓相切于點A，CD與大圓相切于點C，∴∠OAB=∠OCD=90°，∵BC⊥AB，∴∠CBA=∠CBD=90°，（1分）∵∠1+∠OBC=90°，∠2+∠OCB=90°，又∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠1=∠2，（2分）∴△AOB∽△BDC；（3分）（2）解：①過點O作OF⊥BC于點F，則四邊形OABF是矩形（4分）∴BF=OA=1，由垂徑定理，得BC=2BF=2，（5分）在Rt△AOB中，OA=1，OB=x∴AB=QUOTE=QUOTE，（6分）由（1）得△AOB∽△BDC∴QUOTE=QUOTE，即QUOTE=QUOTE，∴y=QUOTE；（7分）②當BE與小圓相切時，OE⊥BE，∵OE=1，OC=x，∴EC=x﹣1，BE=AB=QUOTE，（8分）在Rt△BCE中，根據勾股定理得：EC2+BE2=BC2，即（x﹣1）2+（QUOTE）2=22，（9分）解得：x1=2，x2=﹣1（舍去），（10分）∴當BE與小圓相切時，x=2．（11分）16.（2011?菏澤）如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點E，AE=2，ED=4，（1）求證：△ABE∽△ADB；（2）求AB的長；（3）延長DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關系，并說明理由．考查知識點：相似三角形的判定與性質；勾股定理；圓周角定理；切線的判定。疑難點分析：（1）根據AB=AC，可得∠ABC=∠C，利用等量代換可得∠ABC=∠D然后即可證明△ABE∽△ADB．（2）根據△ABE∽△ADB，利用其對應邊成比例，將已知數值代入即可求得AB的長．（3）連接OA，根據BD為⊙O的直徑可得∠BAD=90°，利用勾股定理求得BD，然后再求證∠OAF=90°即可．解答：解：（1）證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D，又∵∠BAE=∠EAB，∴△ABE∽△ADB，（2）∵△ABE∽△ADB，∴QUOTE，∴AB2=AD?AE=（AE+ED）?AE=（2+4）×2=12，∴AB=QUOTE．（3）直線FA與⊙O相切，理由如下：連接OA，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD=90°，∴QUOTE，BF=BO=QUOTE，∵AB=QUOTE，∴BF=BO=AB，∴∠OAF=90°，∴直線FA與⊙O相切．17.（2011?青海）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF是過點C的⊙O的切線，AD⊥EF于點D．（1）求證：∠BAC=∠CAD；（2）若∠B=30°，AB=12，求QUOTE的長．考查知識點：切線的性質；圓周角定理；弧長的計算。疑難點分析：（1）連接OC，由EF為圓O的切線，根據切線性質得到O