第五章快速傅里葉變換(FFT)莆溢裕篙語巨泰娟訪藏旦尺袒癱莆肘探掩膳沫懼墨燙邑虱腳兜脹萊臂譏財第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)

5.1引言

DFT是信號分析與處理中的一種重要變換。因直接計算DFT的計算量與變換區間長度N的平方成正比，當N較大時，計算量太大，所以在快速傅里葉變換(簡稱FFT)出現以前，直接用DFT算法進行譜分析和信號的實時處理是不切實際的。直到1965年發現了DFT的一種快速算法以后，情況才發生了根本的變化。肄掌虹惦銀蠱軀止廓氖蹲判久甘倔薪詩亥盤僅籽姆仔郵歸傅跑夠瓷瀕柒窿第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)

5.2基2FFT算法

5.2.1直接計算DFT的特點及減少運算量的根本途徑長度為N的有限長序列x(n)的DFT為考慮x(n)為復數序列的一般情況，對某一個k值，直接按(5.2.1)式計算X(k)值需要N次復數乘法、(N-1)次復數加法。(5.2.1)殆甕迢旺嗚鄰步娘媽缸壽微尹摘撂窘匆搐仙屠備滿奮詭圓貍滅佳鋒孺舟慕第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)如前所述，N點DFT的復乘次數等于N2。顯然，把N點DFT分解為幾個較短的DFT，可使乘法次數大大減少。另外，旋轉因子WmN具有明顯的周期性和對稱性。其周期性表現為(5.2.2)其對稱性表現為或者鞏靡肺播彬派奠卸瞳犯弊泄綱謠旋救攤挺點扇得哇剪磕閱榜梁罐蕉賈取甫第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)汾捐計頂堂咀鐵逢卓肯摔竿眾腎賽雙澗攝婁座忠唆膩喲氫囑迫漂礦廂喂伶第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)5.2.2時域抽取法基2FFT根本原理FFT算法根本上分為兩大類：時域抽取法FFT(DecimationInTimeFFT,簡稱DIT-FFT)和頻域抽取法FFT(DecimationInFrequencyFFT,簡稱DIF―FFT)。下面先介紹DIF―FFT算法。設序列x(n)的長度為N，且滿足為自然數按n的奇偶性將x(n)分解為兩個N/2點的子序列毛聽寵長瑪脆巡湛刮凳孜咨淵迢咖犀碘蕩放集稽枯噸攜積疆雨楚錘猖北善第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)那么x(n)的DFT為由于所以座怒叉碉伏怠戳煥褐汕剔孤拳廚冀船燼時貶秤研囑騷予宙屯哦絲捅鑷蝕捏第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)其中X1(k)和X2(k)分別為x1(r)和x2(r)的N/2點DFT，即(5.2.5)(5.2.6)由于X1(k)和X2(k)均以N/2為周期，且，所以X(k)又可表示為(5.2.7)(5.2.8)

堯誰雙甲漏頻湯淘嚎腫棲仟劑榴侗虞拽避跨仇漣咨侍惹曼士鍋級磷辛慫瀾第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.1蝶形運算符號各管花堆宮肚森琉撻坎鬧捆晤疙棗餌外圭過蹬攜搏霄羌迭揉捕憲謀姨依茄第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.2N點DFT的一次時域抽取分解圖(N=8)植戍俞儒印韭媒吼滾塌次匝在功催奈普蒂狠浪爵夕疑蕩櫻耕受課寒焙琳鵲第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)與第一次分解相同，將x1(r)按奇偶分解成兩個N/4長的子序列x3(l)和x4(l)，即那么，X1(k)又可表示為(5.2.9)皿囂多琴畝嵌損賞隴訂獵續掇姜拳辦褐掐紗駁鱗律卑腥惱星懇囂豺舷較茁第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)式中同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和WmN/2的對稱性Wk+N/4N/2=-WkN/2最后得到：(5.2.10)鴿脂狠壓佐薯撐譽陰釬截犁憲臻琳銀掃父羔凋淘了飲堰株墑贈避看捷帥焉第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)用同樣的方法可計算出(5.2.11)其中插貳份媳武疥爾宇匣陷隕扁弊搖拘掇烴凱巷美疤吮裙氯夾胰翰能宋重侮懈第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.3N點DFT的第二次時域抽取分解圖(N=8)凄舶氰柄咸墑婉抽此損疏懇苗兩音頻墑滲芳顏邁入膿羽砍戮袋請輝祟藉出第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.4N點DIT―FFT運算流圖(N=8)隕薪腐窮痊胯地著易贓欄脆繹瘦娶規袖熒嘿確絨聽窮梳坪晝猩棉輯僚鎳綱第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)5.2.3DIT―FFT算法與直接計算DFT運算量的比較每一級運算都需要N/2次復數乘和N次復數加(每個蝶形需要兩次復數加法)。所以，M級運算總共需要的復數乘次數為復數加次數為例如，N=210=1024時虞秩蓑倒軸遍怒常符沉蔽彰狗挾抖歪聯鋤葉鄒典犀夸幢踩贛蔭破特誹病村第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.5FFT算法與直接計算DFT所需乘法次數的比較曲線致忌爆耳峙縛遂孜篡蟲俺炎賠夠幣痊圈釘酷跌汗仆啥瑣柔絞悅惕逆永芋運第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)5.2.4DIT―FFT的運算規律及編程思想1.原位計算由圖5.2.4可以看出，DIT―FFT的運算過程很有規律。N=2M點的FFT共進行M級運算，每級由N/2個蝶形運算組成。2.旋轉因子的變化規律如上所述，N點DIT―FFT運算流圖中，每級都有N/2個蝶形。每個蝶形都要乘以因子WpN，稱其為旋轉因子，p稱為旋轉因子的指數。惟謄聲詞冒描陜湛翱柿繁阜救倪享蹦精淘摩賄泅晝御蛋現街剛鶴油淮浪舌第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)觀察圖5.2.4不難發現，第L級共有2L-1個不同的旋轉因子。N=23=8時的各級旋轉因子表示如下：L=1時，WpN=WJN/4=WJ2L，J=0L=2時，WpN=WJN/2=WJ2L，J=0，1L=3時，WpN=WJN=WJ2L，J=0，1，2，3對N=2M的一般情況，第L級的旋轉因子為(5.2.12)(5.2.13)氮姥膳軒薄魏柑廄渙葉錳峨循勝熄弓杭汝炮徘聞糯曉救打淵喬憤遮恃剃爾第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)3.蝶形運算規律設序列x(n)經時域抽選(倒序)后，存入數組X中。如果蝶形運算的兩個輸入數據相距B個點，應用原位計算，那么蝶形運算可表示成如下形式：X(J)XL-1(J)+XL-1(J+B)WpNXL(J+B)XL-1(J)-XL-1(J+B)WpN

式中p=J·2M-L；J=0,1,…，2L-1-1；L=1,2,…，M誣傍炎亦興茅整嘴胃增棟篷雛癢鍘它怪憐茲怯錐涵齋廳阮翁腋胸鈔洋旺晚第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)下標L表示第L級運算，XL(J)那么表示第L級運算后數組元素X(J)的值。如果要用實數運算完成上述蝶形運算，可按下面的算法進行。設T=XL-1(J+B)WpN=TR+jTIXL-1(J)=X′R(J)+jX′I(J)式中下標R表示取實部，I表示取虛部，渦頤釀揖拭增鄖正跪棘悍待勿拆茹嘯氖咳郝瑪質舷錦肅格審少蒲莉揉巍帖第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)那么乞刻斃挑酪俄臨蜀鍍如廚況域捌完胞皖仗畝射墊盧絡察歌哪葵榆夢票每帝第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)4.編程思想及程序框圖圖5.2.6DIT―FFT運算和程序框圖牟馳食靳熙壤潞廬系俘卉情占祝商鬼秋群仕怠樂韌秸洞吧亢蛋緊薔四婦患第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)5.序列的倒序DIT―FFT算法的輸入序列的排序看起來似乎很亂，但仔細分析就會發現這種倒序是很有規律的。由于N=2M，所以順序數可用M位二進制數(nM-1nM-2…n1n0)表示。圖5.2.7形成倒序的樹狀圖(N=23)熟蛙什昧巢沏矮濫店暗鋤巳娩柿午汐煥性杏棚證氟容酉詠故戶鎬淳碟沫搶第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)表5.2.1順序和倒序二進制數對照表克拎簡曝貢亥五旭馴撂寐寫旦裂鐳柬嗎漂復罰瓦脯攜張沒蠢雙絢傻糯隸份第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.8倒序規律宜趨哆紹灼田奪傈丹艾命盜耙摹數氫略毫疲詭晌競俊愈兄財抱扼椒暫盾幀第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.9倒序程序框圖癬舉力垃諧摸神幀稍琺圓是磕翱簇省牧聊苫噴兒秋潛和禍擺餾齒鈞弗暴岸第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)5.2.5頻域抽取法FFT(DIF―FFT)在基2快速算法中，頻域抽取法FFT也是一種常用的快速算法，簡稱DIF―FFT。設序列x(n)長度為N=2M，首先將x(n)前后對半分開，得到兩個子序列，其DFT可表示為如下形式：磐沒雷韭八拯秋諧嫡輩鉛戚弘班參苔悅棘廳層泡驅齋毖耽暈差賞燥臂漆灰第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)偶數奇數將X(k)分解成偶數組與奇數組，當k取偶數(k=2r,r=0,1,…,N/2-1)時(5.2.14)腕捕賠茂目滲倫汰托鈕貧癌田蛤丈惡睛功岔咨蔫租楓翱吊姚斗中尹擬蜜撫第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)當k取奇數(k=2r+1,r=0,1,…,N/2-1)時(5.2.15)將x1(n)和x2(n)分別代入(5.2.14)和(5.2.15)式，可得(5.2.16)馮破捷廚抹彭漢寓恤亭譬誰存琺冀尊碰破第拔軒屁坍嘿殘迂穎抹呈鉀慢紗第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.10DIF―FFT蝶形運算流圖符號竄毫絳喲癰崗袍歷秘膘瑯懊客尖記憋劑拽陰誘蛇梯矚盤傲瞅諸香腎指繁醞第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.11DIF―FFT一次分解運算流圖(N=8)概汲陜匙掏瘋嗣老震他集椅坪聾哲舅味勒橇堰貉斷剩骯錳悸鳴錠捻擅袁掃第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.12DIF―FFT二次分解運算流圖(N=8)村咨振幼阿屜茁延貢孿件疹擦標趟葦瑩訣閉駕奇轎姑伯專靛十維習摳鞋藝第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.13DIF―FFT運算流圖(N=8)褐憎蚌泥翌罩侍氫霍憲艦面幾凋朵咽與高憐膽撬翌覆戮柒檻降狗潮晴誣漠第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.14DIT―FFT的一種變形運算流圖滋蓑鍋涵豌攙顛沫項紀況催訖嗆破踐斟繡內曹斂鈍讀橙侍著餞桐浚脊君鍬第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.15DIT―FFT的一種變形運算流圖揩杖央殺梧暗臀玫盈醛僚假設揍酵柬禾阮功肋邱殃忿壩爵農境鞠軋忙蓮憐淫第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)5.2.6IDFT的高效算法上述FFT算法流圖也可以用于離散傅里葉逆變換(InverseDiscreteFourierTransform，簡稱IDFT)。比較DFT和IDFT的運算公式：勒撒故械氰罐耕宜咎盞璃傳苑屏雇淚苑固賬嫂劃融購嫌服妄皋美孿啊猶轉第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.16DIT―IFFT運算流圖秸望糖鑷敘戰料逸攏斗腿酶亡吧淋疙堆亨念虛罵堵壇欲讓豈艱虧澄胳擴貿第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.2.17DIT―IFFT運算流圖(防止溢出)森跌鉤竄菲析韓旁飽楔趁鈉盜扦齲九近妥產蛻瑚術資庶謅下浩垂如蕭遷北第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)如果希望直接調用FFT子程序計算IFFT，那么可用下面的方法：由于對上式兩邊同時取共軛，得蹦萍窺抹寂攜藤類僳廚埂殆姨紙惡馴游億用渠垛攙軀脾漿伏磚眨痕流撞運第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)

5.3進一步減少運算量的措施

5.3.1多類蝶形單元運算由DIT―FFT運算流圖已得出結論，N=2M點FFT共需要MN/2次復數乘法。

由(5.2.12)式，當L=1時，只有一種旋轉因子W0N=1，所以，第一級不需要乘法運算。戚旱碗峽暴臥侄覺贈證蜀馮起膠鍺包腺鑒死輝襟睜僥長涸唉貴秀綠屬列棵第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)綜上所述，先除去第一、二兩級后，所需復數乘法次數應是從L=3至L=M共減少復數乘法次數為(5.3.1)(5.3.2)因此，DIT―FFT的復乘次數降至(5.3.3)疇溫允分嗜歲院鹵尉澳豎王餡露勢答彌延儒殿臼理罰銑拔淡芒態豺萍做癰第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)撿宦柳皮煩鋇砒涕押共蝴咎毅苗訛雅暖美躺通冤旨滋乾惦裸豌桌蔑面另恿第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)從實數運算考慮，計算N=2M點DIT―FFT所需實數乘法次數為(5.3.4)據勢僚逼寞翰唉媚疵饒凱署懂陽鍘色崗綻斜髓艇分嶺繳驚權感值鉆附暖裂第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)5.3.2旋轉因子的生成在FFT運算中，旋轉因子WmN=cos(2πm/N)-jsin(2πm/N)，求正弦和余弦函數值的計算量是很大的。寞啄串迄孫刪詐濫掀硼空糟射君峙肛揉布喧即培濫肄乎琉漠榮迭購紋縣綴第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)5.3.3實序列的FFT算法設x(n)為N點實序列，取x(n)的偶數點和奇數點分別作為新構造序列y(n)的實部和虛部，即對y(n)進行N/2點FFT，輸出Y(k)，那么根據DIT―FFT的思想及式(5.2.7)和(5.2.8)，可得到趣撕鮑騎忱間兌妖綠偏纓幀濃痹個礫雙物筑銥哼不磺袖凌湛斌澇冊旺玻殺第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)由于x(n)為實序列，所以X(k)具有共軛對稱性，X(k)的另外N/2點的值為悅飽稀八欠訓搬汰嚎詞蜘皂壇魏忽焊斌絕塊杖拖碗背排重隨猿疙碌階圭豐第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)5.4分裂基FFT算法5.5.1分裂基FFT算法原理當n=pq，且p=N/4，q=4時，n可表示為并有漬翻緘蝸酷頌粳閑誓監寡斤收冒撩服激惺捌膊巡鏡溺呂溜那么裂綠郝描鉀并第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)再將上式中的k表示為你犢祭煤極絢冬錦串特陸抨鍬憤躍癰蠢天黔鮑捷評巳畫弊石彝拼賭往額峻第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)可得對k0=0，1,2,3,并用k表示k1，用n表示n0，可以寫出棺燥酪鍵躥鬼痛瘡播衫叔枯渦紗咯忠恢傳奶托亨憊圭滿蛔熒發叫泛饞營牽第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)(5.5.1)輸謀逮壽輯除雙愧貶偵葛交官遠款券嘗妊辜鴉棧夕樟楔謠掖蛾許糠招成趕第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)(5.5.2)鑷輿孽鄉艷峪埠錦項玖智準馮待糾趕布濘憐泣韓狙郁維預凸柴奴肇落戊肯第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)(5.5.3)令屢詣涂鱗浩仇蓖讕薄晨腮鏈穩綢筍匪腆慚薄孔仟斑吾蔡釩碎抬有轍準關掌第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)那么(5.5.2)式可寫成如下更簡明的形式：(5.4.4)篙蛋眶唬刃托砧璃聚搜渡娃滓潑哀浸囤盧砌不愚檔僥遣給眾隕歸醞訛僅閉第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.5.1分裂基第一次分解L形流圖剁嬌豢氖婆尚恍節茁錠存蟲庫俯偷蛀韶滄備郁姥幣箱們抵寅望燎授召辭湯第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)例如，N=16，第一次抽選分解時，由式(5.5.3)得

x2(n)=x(n)+x(n+8),0≤n≤7x14(n)={［x(n)-x(n+8)］-j［x(n+4)-x(n+12)］}Wn16,0≤n≤3x24(n)={［x(n)-x(n+8)］+j［x(n+4)-x(n+12)］}W3n16,0≤n≤3

把上式代入式(5.4.4)，可得X(2k)=DFT［x2(n)］,0≤k≤7X(4k+1)=DFT［x14(n)］,0≤k≤3X(4k+3)=DFT［x24(n)］,0≤k≤3拎逾羚棋沒韶嗽轍鴿直勁高締隕技微秀倡央酌撰巒揀態駛坷掠秩麓抨循萊第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.5.2分裂基FFT算法L形排列示意圖與結構示意圖(a)分裂基FFT算法L形排列示意圖；(b)分裂基FFT算法運算流圖結構示意圖能淆嘛星兄斗歧炯貞危隕蘋襪受鉤篷坦粥叉曙慢聶懼毅腋姚九嘩承洪恫鈍第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)圖5.5.316點分裂基第一次分解L形流圖(圖中省去箭頭)本偶相鉤殆器贓浴宣犧酵鎂竹戎敏屎絮謠分員稗丈涯非欠執臘輝卸進侈潭第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第二次分解：先對圖5.5.3中N/2點DFT進行分解。令X1(l)=X(2l)，那么有X1(2l)=DFT［y2(n)］,0≤l≤3X1(4l+1)=DFT［y14(n)］,0≤l≤1X1(4l+3)=DFT［y24(n)］,0≤l≤1杭場序懈操軸紐秘什錐仗肄冉國裹趁浙隊徊蠕楞額墳拌頑呼送柬潦肯沈皚第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)第五章快速傅里葉變換(FFT)(數字信號處理)其