資金約束下的多階段套期保值研究

華南理工大學張衛國資金約束下的多階段套期保值研究華南理工大學主要內容123問題的提出單品種套期保值模型及有效性多品種套期保值模型及有效性資金約束下多階段套期保值模型及有效性多階段收益不相關復合期貨組合套期保值模型實際應用主要內容123問題的提出單品種套期保值模型及有效性1.1問題的提出套期保值是通過在期貨市場建立與現貨市場數量相當、交易相反的頭寸來對沖現貨市場頭寸,從而達到規避現貨價格風險的活動。現有套期保值研究可分為靜態和動態調整兩大類。靜態調整模型把套期保值策略看作靜態不變的(單期）。動態調整模型主要是通過整體考慮多期套期保值,給出相應的優化策略。1.1問題的提出套期保值是通過在期貨市場建立與現貨市場數量1.1問題的提出國內外套期保值失敗導致巨額虧損屢見不鮮1993年，德國金屬公司（MGRM）損失42億美元，多家銀行對其進行援助，才免遭破產2008年，東航套期保值損失高達62億元人民幣2008年，中國遠洋套期保值浮虧高達39.5億元我們總結一些套保案例失敗的原因如下：期貨資產的波動性較大，時常會導致保證金的不足，需要投資者及時補足保證金；但投資主體短期內卻沒有足夠的資金來維持，最終被迫平倉，套期保值的策略也就失敗了。1.1問題的提出國內外套期保值失敗導致巨額虧損屢見不鮮1.1問題的提出-MGRM公司案例1989年，德國排名第十四位的工業企業德國金屬公司（MetallgesellschaftA.G.，以下簡稱MG公司）及其它在美國的若干關聯子公司共獲得了美國Castle能源公司49％的股份，Castle公司原先是美國的一家石油、天然氣開采企業，德國金屬公司參股后，通過融資幫助Castle公司建立了石油提煉加工廠。1.1問題的提出-MGRM公司案例1989年，德國排名第十四1.1問題的提出-MGRM公司案例MGRM與Castle公司簽訂了一份長期合約，包銷Castle公司所有的石油提煉產品，以最近月份的原油價格加成若干美元作為購買價格。

MRGM公司在1992年與客戶簽訂了一份10年的遠期供油合同，承諾在未來10年內以稍高于當時市價的固定價格定期提供給客戶總量約1.6億桶的石油商品。1.1問題的提出-MGRM公司案例MGRM與Castle公1.1問題的提出-MGRM公司案例MGRM公司是以浮動的價格購入，然后以事先約定的固定價格銷售，這種購銷關系都是長期性。因此，MGRM公司不得不采用期貨等金融衍生品進行風險管理。當時的NYMEX最遠的期貨合約是18個月，但幾乎沒有交易。MGRM這么大的頭寸根本無法在冷清月份上實現。因此，MGRM公司采取的就是滾動套期保值方法進行風險管理。1.1問題的提出-MGRM公司案例MGRM公司是以浮動的價1.1問題的提出-MGRM公司案例在1993年后期，MGRM公司在NYMEX建立了相當于5500萬桶的德克薩斯中質原油、無鉛汽油和2號取暖油期貨合約頭寸（相當于55000張合約）。而當時的NYMEX的無鉛汽油和2號取暖油的每日交易量平均在15000－30000張

左右。這些套保頭寸都是多頭。

1993年底，OPEC未能在減產問題上達成協議，油價價格直線下滑，從每桶19美元跌至15美元，這使得MGRM公司持有的多頭頭寸面臨龐大的保證金追繳。而其長期供油合約收益還未實現，所以出現了龐大的資金缺口。1.1問題的提出-MGRM公司案例在1993年后期，MGR1.1問題的提出-MGRM公司案例緊接著，關于MGRM公司大量虧損、資金困難的消息開始在金融市場傳播，NYMEX為了防止出現違約，要求MGRM提供“超級”保證金（SuperMargin），數額是平常保證金的兩倍。之后，NYMEX宣布撤銷對MGRM公司頭寸的套期保值豁免，這意味著MGRM不得不大量平倉。而他在現貨上雖然積累了大量的潛在利潤，但由于難以變現而形同虛設。MGRM在能源期貨和互換交易上損失13億美元，其后，MG公司又花了10億美元解除與Castle能源公司的合約。150家德國和其它國際銀行對MG公司采取了一個數額高達19億美元的拯救行動，才使得MG公司避免了破產。

1.1問題的提出-MGRM公司案例緊接著，關于MGRM公司多階段套期保值的風險多階段套期保值風險基差風險投機風險決策風險財務風險交割風險流動性風險多階段套期保值的風險多階段套期保值風險基差風險1.1問題的提出（續）以往的研究往往忽視套保的成本和資金約束。但是在實際中，資金約束是較常見的情形，特別在是多階段的套保投資中：期貨浮虧，造成資金缺口：如果決策時不考慮資金約束，當資產價格出現較大變動，出現保證金不足的狀況，而此時公司的資金（融資能力）有限，就會出現流動性不足的問題，嚴重者如德國金屬公司、美國長期資本管理公司，會造成公司破產和區域銀行危機的嚴重后果。套保成本：實際中購買期權期貨的成本也比較高，不容忽略。例如：08年東航進行套保的時候，就為了節約套保成本，而利用賣出看跌期權爭取期權費用來抵充昂貴的買入看漲期權費。1.1問題的提出（續）以往的研究往往忽視套保的成本和資金約所以有必要對資金約束下的多期套期保值問題進行研究。所以有必要對資金約束下的多期套期保值問題進行研究。

關于資金約束下的套期保值模型研究，包括單品種模型和多品種模型。（1）資金約束下的單品種套期保值模型：

Blank提出了套期保值資金約束下的實證模型。吳沖鋒提出了連續N天出現漲跌停所需的最小資金模型。Lien研究了資金流動性約束對于套期保值的影響，結果顯示資金流動性約束將導致較小的期貨頭寸。Wong研究了資金流動性約束下期貨價差在套期保值的作用。楊萬武建立了基于資金限制的最優Sharp套期比模型。Lien和Wong研究了資金流動性約束下跨國公司的外匯匯率套期保值模型。這些研究基本屬于單階段套期保值的研究，對資金約束下的多階段套期保值問題的探討非常少。

1.2資金約束下的套期保值關于資金約束下的套期保值模型研究，包括單品種模型1.

（2）資金約束下的多品種套期保值模型這方面的研究主要有：遲國泰建立了基于資金限制的多品種套保模型，利用多元GARCH預測多品種組合的資金需求量，確定多品種套期保值的最優策略。Wong和Xu研究了資金約束下的期貨期權組合的套期保值模型。Adam-Muller和Panaretou則研究了借入資金的期貨期權組合的套期保值模型。Fu和Zhang則研究了資金約束下規避逐日盯市風險的多品種交叉套期保值模型。目前，資金約束下的多品種套期保值模型只有單階段方面的研究，尚未涉及到多階段的問題。1.2資金約束下的套期保值（續）（2）資金約束下的多品種套期保值模型1.2資金約束下的2.1多階段單品種套保模型考慮以下投資情形：

公司長期需要采購原材料，為了規避風險，公司決定用期貨交易鎖定原料成本。但有兩個問題：（1）由于投資期限長，市場上沒有期限相匹配的期貨品種，這就需要在投資期限內展期期貨合約；（2）用于采購和套保的經費固定，每個階段需要平衡原材料現貨和期貨的資金占用（對現貨資產和期貨資產進行分配），從而實現長期套期保值的風險最小。2.1多階段單品種套保模型考慮以下投資情形：2.1.1多階段單品種套保模型假設現貨S用期貨F進行套期保值，etS和etF分別是第t期初兩種資產的收益率，utS和utF分別是第t期初兩種資產的投資額，Xt是第t期初的資產總額。第t期初和第t+1期初持有的套保組合資產總額：由于多期套期保值是以末期風險最小為目標，即目標函數為：建立模型：資金約束條件狀態轉移方程2.1.1多階段單品種套保模型假設現貨S用期貨F進2.1.1多階段單品種套保模型（續）E2(XT)使目標函數不可分，導致模型求解困難，因此我們構造輔助問題：轉化條件：λ*=2E(XT)。其中，pt=etF-

etS2.1.1多階段單品種套保模型（續）E2(XT)使目標函數

其中：2.1.2模型求解輔助模型求解將求得的必要條件代入輔助模型的解中得到原模型的推導結果：，，，其中：2.1.22.1.2模型求解原模型求解推導輔助模型求解推導實際求解過程實際應用時：只要確定初始的投資限額并估計出未來各期的收益率分布，就可以通過順推的方式直接求出各期的資產配置額，而不需要進行動態規劃的逆推迭代運算。2.1.2模型求解原模型求解推導輔助模型求解推導實際求解過2.1.3套頭比及套保有效性最優套頭比=套保有效性=其中，JtS

和JtF是現貨和期貨在第t期初的價格，c是保證金比例，Ct,μ,υ都是設定的中間變量。其中，a,b,c,

μ,υ都是設定的中間變量。2.1.3套頭比及套保有效性最優套頭比=套保有效性=其中2.2多階段多品種套期保值現實中，很多現貨沒有對應的期貨品種，只能使用其他價格相關性較大的品種來替代，為了增加套保的有效性，往往需要采用多種期貨工具與現貨進行組合對沖。由于期貨的品種增加，在模型中套保比率和期貨收益率就不單是一個變量，而是向量形式。但與上一節不同，本節的資金約束是考慮了如下情形：即現貨頭寸長期固定，而用來套保的費用有資金預算，整個期貨組合的資金占用要低于投資者預算資金的約束，這種資金約束情形其實更為普遍的。2.2多階段多品種套期保值現實中，很多現貨沒有對應的期貨品2.2多階段多品種套期保值（續）假設有數量為Q的現貨資產需要保值，用n個期貨品種進行對沖，hti是第i種期貨在第t期初的投資額,Xt是第t期初所有期貨資產總額，則t期初和t+1期初持有的期貨資產總額：令Zt是第t期初整個套保組合資產總額，P0s為投資初期現貨的價格，rTs為整個投資期內現貨的總收益。則投資者在整個套期保值期間的資產變動為：

套期保值的目標是使投資末期整個套保組合資產變動的風險最小，則模型為：其中，，2.2多階段多品種套期保值（續）假設有數量為Q的現貨資產需2.2.1多品種套保模型建立表達式與模型M的解相同：建立資金約束下的多品種多階段套保組合模型：，新模型解的將模型M的目標函數轉化為與XT無關，不影響求解2.2.1多品種套保模型建立表達式與模型M的解相同：建立2.2.2模型求解以此為輔助模型的目標函數，得到輔助模型表示如下：AM(λ)的最優解轉化為問題

M1的最優解的必要條件是λ*=2E(XT)-2QP0sE（rTs）。2.2.2模型求解以此為輔助模型的目標函數，得到輔助模型表2.2.2模型求解（續）輔助模型求解，將求得的必要條件代入輔助模型的解中。得到原模型的推導結果：其中，，，2.2.2模型求解（續）輔助模型求解，將求得的必要條件其2.2.3套頭比及套保有效性最優套頭比=套保有效性=其中，JtF期貨在第t期初的價格，c是保證金比例。2.2.3套頭比及套保有效性最優套頭比=其中，JtF2.3模型進一步的探討模型中資金約束條件的放寬：表面上看模型約束條件里的“等于”條件，即每期各種資產之和等于總資產的限制，過于嚴格，它只是所有投資情況的一種，更一般的是所需投入資金之和小于或者等于投資預算的約束。其實只要在資產組合中增加一種無風險資產，就可以達到放寬約束的效果，這樣做也與現實中將多出的資金存入銀行相符。實際上，加入緩沖資金后，與沒有緩沖資金的情形相比，只要我們確定無風險資產在各階段收益率的數值，就可以將原來的投資約束條件放寬至更自由的資金配置情形。2.3模型進一步的探討模型中資金約束條件的放寬：2.4黃金套期保值實例(以單品種為例)表2.1：模型的輸入變量：收益期望、方差和協方差期數t=0t=1t=2t=30.003291.07701.06191.05750.95200.003250.92260.90460.95771.0523-0.00305假設投資者有100萬元準備用于黃金的實物投資和套期保值，為期4期，假設保證金率為10%。需要計算得到每個投資階段的最優投資額和最佳套頭比。選取2008年1月到2008年4月間國際黃金現貨和黃金期貨價格的數據進行分析，計算出各期黃金現貨和期貨月市場收益率的均值、方差和協方差，各期的方差、協方差為整個樣本的統計值，故4期都相同。2.4黃金套期保值實例(以單品種為例)表2.1：模型的輸入表2.2：各期資產配置結果和期末財富值（百萬元）期數t=0t=1t=2t=3t=4S分配的資產0.90270.90450.90940.9120F分配的資產0.09730.08960.08750.0867最優套頭比1.0760.9910.9630.951t期財富值10.99410.99690.99870.9963未套保的末期風險0.0164套保后的末期風險7.15*10-4套保有效性95.64%2.4黃金套期保值實例(以單品種為例)表2.2：各期資產配置結果和期末財富值（百萬元）期數t=0t2.4實證分析（續）本模型與傳統模型套保有效性比較：

當兩者相關程度較高時，兩種方法的套保有效性都很高，效果相差不明顯；當相關程度降低時，兩種方法的套保有效性也降低，但是本文方法相對傳統方法的優越性越來越明顯。所以，我們認為本文的方法能有效提高套保組合的套保有效性。相關系數本模型的套保有效性傳統模型的套保有效性套保有效性提高比例0.99499.63%99.14%0.50%0.93395.64%89.72%6.59%0.87291.82%80.66%13.83%0.81188.17%71.97%22.51%0.75084.69%63.66%33.04%0.62778.25%48.26%62.13%表2.3：在相關系數變化時，套保有效性的對比2.4實證分析（續）本模型與傳統模型套保有效性比較：本模型3.多階段收益不相關復合期貨組合

問題的提出：某現貨有多個風險來源，而這些風險來源分別來自不同方面，波動的相關性很小。由多種材料加工而成的合成品其原材料時常是來自不同行業和不同領域的，這些原料由于影響因素完全不同，所以期貨價格波動基本不相關性。由于收益不相關的期貨價格之間的協方差為0，使其能夠簡化模型參數的估計量，簡化模型的推導過程以及最終的推導結果。3.多階段收益不相關復合期貨組合問題的提出：問題的提出：Step1：多階段多品種套保模型：將多種期貨直接與現貨進行套期保值，確定最優套頭比和套保有效性。Step1：收益不相關復合期貨組合模型：將多種期貨打包為一個復合期貨，確定各階段各種期貨在復合期貨組合中的投資比例。Step2：多階段單品種套保模型：

將打包的復合期貨視為單品種期貨與現貨進行套期保值，確定最優套頭比和套保有效性。收益不相關復合期貨套期保值方法：多階段多品種套保模型：與前面多品種套保組合的構建方法不同：問題的提出：Step1：多階段多品種套保模型：Step1：收3.1模型的建立

假設需要n+1種期貨進行套期保值，Xt是第t期初所有期貨資產的總額，eti（i=0,1,…,n）是第t期初第i種資產的收益率，uti（i=0,1,…,n）分別是第t期初第i種資產的投資額。第t期初和第t+1期初持的期貨組合資產總額為：令投資者的目標函數是如下的效用函數形式：

資金約束條件狀態轉移方程其中：3.1模型的建立假設需要n+1種期貨進行套期保值，3.2模型推導由于協方差矩陣為對角矩陣，導致目標函數變成為一個光滑而且可分的函數，所以模型可以直接用動態規劃方法求解，而不需要嵌套輔助模型。目標函數中XT用XT-1來替代，由于期貨資產收益率互不相關，故可以得到投資末期總資產的期望和方差為:3.2模型推導由于協方差矩陣為對角矩陣，導致目標函數變成為3.2模型推導通過同樣的動態規劃方法，我們可以推出任意t階段的最優投資比例及其效用函數的表達式：3.2模型推導通過同樣的動態規劃方法，我們可以推出任意t階3.3存在無風險資產投資時的模型當投資組合中有無風險資產時，則E（et0）等于一個常量st，并且由于無風險資產在較長時間內都相對固定，故，也就是說是AT所有風險資產收益率方差的對角矩陣。此時投資末期總資產的方差變為：通過相同的步驟可以求出決策變量:投資者在t階段（0≤t≤T-2）的最佳投資策略是全倉持有使目標函數增長最快的期貨資產，而空倉剩余期貨資產。3.3存在無風險資產投資時的模型當投資組合中有無風險資產時3.4數值例子例1：只含期貨資產的優化模型舉例

假設一家長期專門從事出口的汽車輪胎生產商，為了規避原材料橡膠、鋼材和匯率的風險，選擇以這三種資產作為標的的期貨進行套期保值，為時4期。由于這三種期貨屬于不同的行業，收益率波動基本互不影響，故可以將它們視為收益不相關的期貨資產組合。

表3.1：三種期貨資產的各期收益率和方差資產期數ABCt=01.1621.2461.317t=11.2721.3911.191t=21.1611.2481.064t=31.2711.0631.191方差0.0040.0180.0107相關系數-0.08-0.0060.0063.4數值例子例1：只含期貨資產的優化模型舉例假設一家長3.4數值例子（續）令A資產為0資產，則以t=1為例，計算出模型各參數值：將計算得到的各期參數代入推導出的表達式中，就可以得到使得投資者末期的效用函數最大的投資策略，最終解得該投資組合到第3期期末的總資產期望值和方差分別為：3.4數值例子（續）令A資產為0資產，則以t=1為例，計算3.4數值例子（續）例2：現考慮期貨組合中加入無風險資產的情形，投資策略將發生變化。無風險利率設為1.035，其它資產仍然是上述的3種風險資產。具體的投資策略如下：第0期，將全部資產1投資于期貨C；第1期，將增值后的全部資產E(X1)=1.317投資于期貨B；第2期，將全部資產E(X2)=1.832投資于期貨A，末期得到期望收入E(X3)=2.286；第3期，根據ω的不同，最優投資策略不同。3.4數值例子（續）例2：現考慮期貨組合中加入無風險資產的3.4數值例子（續）表3.2：不同風險偏好（ω值不同）時的最優投資策略ω值資產ω=1ω=3ω=5ω=7無風險資產-8.2665-1.23150.17550.7785資產A8.06662.68891.61331.1524資產B0.41790.13930.08360.0597資產C2.06790.68930.41360.2954E(X4)4.59943.11052.81272.6851Var(X4)1.11670.12410.04470.02283.4數值例子（續）表3.2：不同風險偏好（ω值不同）時的3.4數值例子將以上得到的不相關復合期貨組合與現貨進行資金約束下的套期保值。只要給出現貨和復合期貨組合在各期的收益率和收益的方差，就可以利用本文多階段單品種模型和推導結果，得到套期保值各期的最優套頭比和套保有效性（具體結果如下

）。

使用模型3.1得到的各期資產配置結果和期末財富值（百萬元）期數t=0t=1t=2t=3t=4t=5S分配的資產0.91740.93260.92040.91200.9078－－F分配的資產0.08260.07010.07660.08410.0844－－最優套頭比0.90010.75240.83370.92210.9294－－t期財富值11.00270.99700.99610.99220.9892未套保的末期風險2.0403*10-4套保后的末期風險4.130*10-5套保有效性79.76%3.4數值例子將以上得到的不相關復合期貨組合與現貨進行資金謝謝！謝謝！資金約束下的多階段套期保值研究

華南理工大學張衛國資金約束下的多階段套期保值研究華南理工大學主要內容123問題的提出單品種套期保值模型及有效性多品種套期保值模型及有效性資金約束下多階段套期保值模型及有效性多階段收益不相關復合期貨組合套期保值模型實際應用主要內容123問題的提出單品種套期保值模型及有效性1.1問題的提出套期保值是通過在期貨市場建立與現貨市場數量相當、交易相反的頭寸來對沖現貨市場頭寸,從而達到規避現貨價格風險的活動。現有套期保值研究可分為靜態和動態調整兩大類。靜態調整模型把套期保值策略看作靜態不變的(單期）。動態調整模型主要是通過整體考慮多期套期保值,給出相應的優化策略。1.1問題的提出套期保值是通過在期貨市場建立與現貨市場數量1.1問題的提出國內外套期保值失敗導致巨額虧損屢見不鮮1993年，德國金屬公司（MGRM）損失42億美元，多家銀行對其進行援助，才免遭破產2008年，東航套期保值損失高達62億元人民幣2008年，中國遠洋套期保值浮虧高達39.5億元我們總結一些套保案例失敗的原因如下：期貨資產的波動性較大，時常會導致保證金的不足，需要投資者及時補足保證金；但投資主體短期內卻沒有足夠的資金來維持，最終被迫平倉，套期保值的策略也就失敗了。1.1問題的提出國內外套期保值失敗導致巨額虧損屢見不鮮1.1問題的提出-MGRM公司案例1989年，德國排名第十四位的工業企業德國金屬公司（MetallgesellschaftA.G.，以下簡稱MG公司）及其它在美國的若干關聯子公司共獲得了美國Castle能源公司49％的股份，Castle公司原先是美國的一家石油、天然氣開采企業，德國金屬公司參股后，通過融資幫助Castle公司建立了石油提煉加工廠。1.1問題的提出-MGRM公司案例1989年，德國排名第十四1.1問題的提出-MGRM公司案例MGRM與Castle公司簽訂了一份長期合約，包銷Castle公司所有的石油提煉產品，以最近月份的原油價格加成若干美元作為購買價格。

MRGM公司在1992年與客戶簽訂了一份10年的遠期供油合同，承諾在未來10年內以稍高于當時市價的固定價格定期提供給客戶總量約1.6億桶的石油商品。1.1問題的提出-MGRM公司案例MGRM與Castle公1.1問題的提出-MGRM公司案例MGRM公司是以浮動的價格購入，然后以事先約定的固定價格銷售，這種購銷關系都是長期性。因此，MGRM公司不得不采用期貨等金融衍生品進行風險管理。當時的NYMEX最遠的期貨合約是18個月，但幾乎沒有交易。MGRM這么大的頭寸根本無法在冷清月份上實現。因此，MGRM公司采取的就是滾動套期保值方法進行風險管理。1.1問題的提出-MGRM公司案例MGRM公司是以浮動的價1.1問題的提出-MGRM公司案例在1993年后期，MGRM公司在NYMEX建立了相當于5500萬桶的德克薩斯中質原油、無鉛汽油和2號取暖油期貨合約頭寸（相當于55000張合約）。而當時的NYMEX的無鉛汽油和2號取暖油的每日交易量平均在15000－30000張

左右。這些套保頭寸都是多頭。

1993年底，OPEC未能在減產問題上達成協議，油價價格直線下滑，從每桶19美元跌至15美元，這使得MGRM公司持有的多頭頭寸面臨龐大的保證金追繳。而其長期供油合約收益還未實現，所以出現了龐大的資金缺口。1.1問題的提出-MGRM公司案例在1993年后期，MGR1.1問題的提出-MGRM公司案例緊接著，關于MGRM公司大量虧損、資金困難的消息開始在金融市場傳播，NYMEX為了防止出現違約，要求MGRM提供“超級”保證金（SuperMargin），數額是平常保證金的兩倍。之后，NYMEX宣布撤銷對MGRM公司頭寸的套期保值豁免，這意味著MGRM不得不大量平倉。而他在現貨上雖然積累了大量的潛在利潤，但由于難以變現而形同虛設。MGRM在能源期貨和互換交易上損失13億美元，其后，MG公司又花了10億美元解除與Castle能源公司的合約。150家德國和其它國際銀行對MG公司采取了一個數額高達19億美元的拯救行動，才使得MG公司避免了破產。

1.1問題的提出-MGRM公司案例緊接著，關于MGRM公司多階段套期保值的風險多階段套期保值風險基差風險投機風險決策風險財務風險交割風險流動性風險多階段套期保值的風險多階段套期保值風險基差風險1.1問題的提出（續）以往的研究往往忽視套保的成本和資金約束。但是在實際中，資金約束是較常見的情形，特別在是多階段的套保投資中：期貨浮虧，造成資金缺口：如果決策時不考慮資金約束，當資產價格出現較大變動，出現保證金不足的狀況，而此時公司的資金（融資能力）有限，就會出現流動性不足的問題，嚴重者如德國金屬公司、美國長期資本管理公司，會造成公司破產和區域銀行危機的嚴重后果。套保成本：實際中購買期權期貨的成本也比較高，不容忽略。例如：08年東航進行套保的時候，就為了節約套保成本，而利用賣出看跌期權爭取期權費用來抵充昂貴的買入看漲期權費。1.1問題的提出（續）以往的研究往往忽視套保的成本和資金約所以有必要對資金約束下的多期套期保值問題進行研究。所以有必要對資金約束下的多期套期保值問題進行研究。

關于資金約束下的套期保值模型研究，包括單品種模型和多品種模型。（1）資金約束下的單品種套期保值模型：

Blank提出了套期保值資金約束下的實證模型。吳沖鋒提出了連續N天出現漲跌停所需的最小資金模型。Lien研究了資金流動性約束對于套期保值的影響，結果顯示資金流動性約束將導致較小的期貨頭寸。Wong研究了資金流動性約束下期貨價差在套期保值的作用。楊萬武建立了基于資金限制的最優Sharp套期比模型。Lien和Wong研究了資金流動性約束下跨國公司的外匯匯率套期保值模型。這些研究基本屬于單階段套期保值的研究，對資金約束下的多階段套期保值問題的探討非常少。

1.2資金約束下的套期保值關于資金約束下的套期保值模型研究，包括單品種模型1.

（2）資金約束下的多品種套期保值模型這方面的研究主要有：遲國泰建立了基于資金限制的多品種套保模型，利用多元GARCH預測多品種組合的資金需求量，確定多品種套期保值的最優策略。Wong和Xu研究了資金約束下的期貨期權組合的套期保值模型。Adam-Muller和Panaretou則研究了借入資金的期貨期權組合的套期保值模型。Fu和Zhang則研究了資金約束下規避逐日盯市風險的多品種交叉套期保值模型。目前，資金約束下的多品種套期保值模型只有單階段方面的研究，尚未涉及到多階段的問題。1.2資金約束下的套期保值（續）（2）資金約束下的多品種套期保值模型1.2資金約束下的2.1多階段單品種套保模型考慮以下投資情形：

公司長期需要采購原材料，為了規避風險，公司決定用期貨交易鎖定原料成本。但有兩個問題：（1）由于投資期限長，市場上沒有期限相匹配的期貨品種，這就需要在投資期限內展期期貨合約；（2）用于采購和套保的經費固定，每個階段需要平衡原材料現貨和期貨的資金占用（對現貨資產和期貨資產進行分配），從而實現長期套期保值的風險最小。2.1多階段單品種套保模型考慮以下投資情形：2.1.1多階段單品種套保模型假設現貨S用期貨F進行套期保值，etS和etF分別是第t期初兩種資產的收益率，utS和utF分別是第t期初兩種資產的投資額，Xt是第t期初的資產總額。第t期初和第t+1期初持有的套保組合資產總額：由于多期套期保值是以末期風險最小為目標，即目標函數為：建立模型：資金約束條件狀態轉移方程2.1.1多階段單品種套保模型假設現貨S用期貨F進2.1.1多階段單品種套保模型（續）E2(XT)使目標函數不可分，導致模型求解困難，因此我們構造輔助問題：轉化條件：λ*=2E(XT)。其中，pt=etF-

etS2.1.1多階段單品種套保模型（續）E2(XT)使目標函數

其中：2.1.2模型求解輔助模型求解將求得的必要條件代入輔助模型的解中得到原模型的推導結果：，，，其中：2.1.22.1.2模型求解原模型求解推導輔助模型求解推導實際求解過程實際應用時：只要確定初始的投資限額并估計出未來各期的收益率分布，就可以通過順推的方式直接求出各期的資產配置額，而不需要進行動態規劃的逆推迭代運算。2.1.2模型求解原模型求解推導輔助模型求解推導實際求解過2.1.3套頭比及套保有效性最優套頭比=套保有效性=其中，JtS

和JtF是現貨和期貨在第t期初的價格，c是保證金比例，Ct,μ,υ都是設定的中間變量。其中，a,b,c,

μ,υ都是設定的中間變量。2.1.3套頭比及套保有效性最優套頭比=套保有效性=其中2.2多階段多品種套期保值現實中，很多現貨沒有對應的期貨品種，只能使用其他價格相關性較大的品種來替代，為了增加套保的有效性，往往需要采用多種期貨工具與現貨進行組合對沖。由于期貨的品種增加，在模型中套保比率和期貨收益率就不單是一個變量，而是向量形式。但與上一節不同，本節的資金約束是考慮了如下情形：即現貨頭寸長期固定，而用來套保的費用有資金預算，整個期貨組合的資金占用要低于投資者預算資金的約束，這種資金約束情形其實更為普遍的。2.2多階段多品種套期保值現實中，很多現貨沒有對應的期貨品2.2多階段多品種套期保值（續）假設有數量為Q的現貨資產需要保值，用n個期貨品種進行對沖，hti是第i種期貨在第t期初的投資額,Xt是第t期初所有期貨資產總額，則t期初和t+1期初持有的期貨資產總額：令Zt是第t期初整個套保組合資產總額，P0s為投資初期現貨的價格，rTs為整個投資期內現貨的總收益。則投資者在整個套期保值期間的資產變動為：

套期保值的目標是使投資末期整個套保組合資產變動的風險最小，則模型為：其中，，2.2多階段多品種套期保值（續）假設有數量為Q的現貨資產需2.2.1多品種套保模型建立表達式與模型M的解相同：建立資金約束下的多品種多階段套保組合模型：，新模型解的將模型M的目標函數轉化為與XT無關，不影響求解2.2.1多品種套保模型建立表達式與模型M的解相同：建立2.2.2模型求解以此為輔助模型的目標函數，得到輔助模型表示如下：AM(λ)的最優解轉化為問題

M1的最優解的必要條件是λ*=2E(XT)-2QP0sE（rTs）。2.2.2模型求解以此為輔助模型的目標函數，得到輔助模型表2.2.2模型求解（續）輔助模型求解，將求得的必要條件代入輔助模型的解中。得到原模型的推導結果：其中，，，2.2.2模型求解（續）輔助模型求解，將求得的必要條件其2.2.3套頭比及套保有效性最優套頭比=套保有效性=其中，JtF期貨在第t期初的價格，c是保證金比例。2.2.3套頭比及套保有效性最優套頭比=其中，JtF2.3模型進一步的探討模型中資金約束條件的放寬：表面上看模型約束條件里的“等于”條件，即每期各種資產之和等于總資產的限制，過于嚴格，它只是所有投資情況的一種，更一般的是所需投入資金之和小于或者等于投資預算的約束。其實只要在資產組合中增加一種無風險資產，就可以達到放寬約束的效果，這樣做也與現實中將多出的資金存入銀行相符。實際上，加入緩沖資金后，與沒有緩沖資金的情形相比，只要我們確定無風險資產在各階段收益率的數值，就可以將原來的投資約束條件放寬至更自由的資金配置情形。2.3模型進一步的探討模型中資金約束條件的放寬：2.4黃金套期保值實例(以單品種為例)表2.1：模型的輸入變量：收益期望、方差和協方差期數t=0t=1t=2t=30.003291.07701.06191.05750.95200.003250.92260.90460.95771.0523-0.00305假設投資者有100萬元準備用于黃金的實物投資和套期保值，為期4期，假設保證金率為10%。需要計算得到每個投資階段的最優投資額和最佳套頭比。選取2008年1月到2008年4月間國際黃金現貨和黃金期貨價格的數據進行分析，計算出各期黃金現貨和期貨月市場收益率的均值、方差和協方差，各期的方差、協方差為整個樣本的統計值，故4期都相同。2.4黃金套期保值實例(以單品種為例)表2.1：模型的輸入表2.2：各期資產配置結果和期末財富值（百萬元）期數t=0t=1t=2t=3t=4S分配的資產0.90270.90450.90940.9120F分配的資產0.09730.08960.08750.0867最優套頭比1.0760.9910.9630.951t期財富值10.99410.99690.99870.9963未套保的末期風險0.0164套保后的末期風險7.15*10-4套保有效性95.64%2.4黃金套期保值實例(以單品種為例)表2.2：各期資產配置結果和期末財富值（百萬元）期數t=0t2.4實證分析（續）本模型與傳統模型套保有效性比較：

當兩者相關程度較高時，兩種方法的套保有效性都很高，效果相差不明顯；當相關程度降低時，兩種方法的套保有效性也降低，但是本文方法相對傳統方法的優越性越來越明顯。所以，我們認為本文的方法能有效提高套保組合的套保有效性。相關系數本模型的套保有效性傳統模型的套保有效性套保有效性提高比例0.99499.63%99.14%0.50%0.93395.64%89.72%6.59%0.87291.82%80.66%13.83%0.81188.17%71.97%22.51%0.75084.69%63.66%33.04%0.62778.25%48.26%62.13%表2.3：在相關系數變化時，套保有效性的對比2.4實證分析（續）本模型與傳統模型套保有效性比較：本模型3.多階段收益不相關復合期貨組合

問題的提出：某現貨有多個風險來源，而這些風險來源分別來自不同方面，波動的相關性很小。由多種材料加工而成的合成品其原材料時常是來自不同行業和不同領域的，這些原料由于影響因素完全不同，所以期貨價格波動基本不相關性。由于收益不相關的期貨價格之間的協方差為0，使其能夠簡化模型參數的估計量，簡化模型的推導過程以及最終的推導結果。3.多階段收益不相關復合期貨組合問題的提出：問題的提出：Step1：多階段多品種套保模型：將多種期貨直接與現貨進行套期保值，確定最優套頭比和套保有效性。Step1：收益不相關復合期貨組合模型：將多種期貨打包為一個復合期貨，確定各階段各種期貨在復合期貨組合中的投資比例。Step2：多階段單品種套保模型：

將打包的復合期貨視為單品種期貨與現貨進行套期保值，確定最優套頭比和套保有效性。收益不相關復合期貨套期保值方法：多階段多品種套保模型：與前面多品種套保組合的構建方法不同：問題的提出：Step1：多階段多品種套保模型：Step1：收3.1模型的建立

假設需要n+1種期貨進行套期保值，Xt是第t期初所有期貨資產的總額，eti（i=0,1,…,n）是第t期初第i種資產的收益率，uti（i=0,1,…,n）分別是第t期初第i種資產的投資額。第t期初和第t+1期初持的期貨組合資產總額為：令投資者的目標函數是如下的效用函數形式：

資金約束條件狀態轉移方程其中：3.1模型的建立假設需要n+1種期貨進行套期保值，3.2模型推導由于協方差矩陣為對角矩陣，導致目標函數變成為一個光滑而且可分的函數，所以模型可以直接用動態規劃方法求解，而不需要嵌套輔助模型。目標函數中XT用XT-1來替代，由于期貨資產收益率互不相關，故可以得到投資末期總資產的期望和方差為:3.2模型推導由于協方差矩陣為對角矩陣，導致目標函數變成為3.2模型推導通過同樣的動