學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE17-學必求其心得，業必貴于專精第三章概率水平測試本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(每小題5分，共60分）1．12本外觀相同的書中，有10本語文書，2本英語書，從中任意抽取3本的必然事件是(）A．3本都是語文書 B．至少有一本是英語書C．3本都是英語書 D．至少有一本是語文書答案D解析由于只有2本英語書，從中任意抽取3本，其中至少有一本是語文書．2．下列敘述隨機事件的頻率與概率的關系中，說法正確的是()A．頻率就是概率B．頻率是客觀存在的，與試驗次數無關C．隨著試驗次數的增多,頻率越來越接近概率D．概率是隨機的，在試驗前不能確定答案C解析頻率不是概率,所以A不正確；頻率不是客觀存在的,具有隨機性，所以B不正確；概率是客觀存在的，不受試驗的限制，不是隨機的，在試驗前已經確定，隨著試驗次數的增多，頻率越來越接近概率,所以D不正確,C正確．3．取一根長為7m的繩子,從任意位置剪成兩段，則兩段繩子的長都不小于2m的概率是(）A.eq\f(4，7） B.eq\f（1，7)C。eq\f(2，7) D.eq\f（3，7）答案D解析此題屬于幾何概型問題易得概率為eq\f(3,7）。4．從存放號碼分別為1,2，…，10的小球的盒子中,有放回的取100次，每次取一個小球并記下號碼，統計結果如下表所示：卡片號碼12345678910取到的次數138576131810119則取到號碼能被2或3整除的頻率是()A．0。63 B．0。5C．0。47 D．0。37答案A解析由題中的表可知有放回的取100次中取到號碼能被2或3整除的次數為8＋5＋7＋13＋10＋11＋9＝63,故取到的號碼能被2或3整除的頻率是eq\f（63，100)＝0。63。答案為A.5．從含有3個元素的集合的所有子集中任取一個，所取的子集是含有2個元素的集合的概率為(）A.eq\f（3,10) B.eq\f（1，12)C。eq\f(45,64) D.eq\f(3，8)答案D解析由題意知所有的基本事件的個數（即所有子集的個數）為23＝8。其中含有2個元素的子集有3個，故所求的概率為eq\f(3，8），答案選D.6．有4條線段，長度分別為1,3,5，7，從這四條線段中任取三條，則所取三條線段能構成一個三角形的概率是()A。eq\f(1，4) B。eq\f（1，2）C.eq\f（1，3) D。eq\f（2，5)答案A解析從這四條線段中任取三條有1,3,5或1，3,7或1，5,7或3,5,7，共4種情況，根據任兩邊之和大于第三邊，則能構成三角形的有3，5，7一種情況,所以能構成一個三角形的概率是eq\f(1，4).7．一批零件共10件，其中有8件合格品，2件次品，要從中任取一個零件裝配機器，若第一次就取到合格品的概率為P1，第二次才取到合格品的概率為P2，則(）A．P1〉P2 B．P1＝P2C．P1<P2 D．P1＝2P2答案A解析P1＝eq\f(8,10)＝eq\f（4,5），記8件合格品分別為1，2,3,4,5，6,7，8，2件次品分別為a，b,由列表法可知從10件零件中任取2件共有90種取法，第二次才取到合格品共有16種取法，所以P2＝eq\f(16，90)＝eq\f（8，45)，P1〉P2，故選A.8．一個游戲轉盤上有四種顏色：紅、黃、藍、黑,并且它們所占面積的比為6∶2∶1∶4，則指針停在紅色或藍色區域的概率為(）A.eq\f（6,13) B。eq\f（7,13）C。eq\f(4，13） D。eq\f（10,13）答案B解析此題屬于幾何概型問題．總共13份，其中紅色或藍色區域占到了7份，所以所求概率P＝eq\f（7,13).9．某人從甲地去乙地共走了500m,途經一條寬為xm的河流，該人不小心把一件物品丟在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，則能找到，已知該物品能被找到的概率為eq\f（4,5），則河寬為（）A．80m B．100mC．40m D．50m答案B解析一件物品丟在途中的結果有無限個,屬于幾何概型．全部結果構成的區域長度是500，物品被找到的結果構成的區間長度是500－x,則該物品能被找到的概率為eq\f（500－x，500）,所以有eq\f(500－x,500）＝eq\f（4,5)，解得x＝100。10．若以連續兩次擲骰子分別得到的點數m，n作為點P的坐標（m,n)，則點P在圓x2＋y2＝25。5外的概率是（）A.eq\f(5，36） B。eq\f(7,12)C.eq\f(5,12） D。eq\f（1,3）答案B解析連續兩次擲骰子的結果有有限個，屬于古典概型．利用枚舉法計算結果．全部結果有（1,1)，（1,2），（1,3），（1，4），（1,5)，(1,6）,(2，1），(2,2)，(2，3），(2,4），（2，5），（2,6)，（3,1），(3,2），（3,3)，(3，4),（3，5)，(3,6)，(4,1)，（4，2),（4，3），（4,4）,（4,5)，（4,6)，(5，1）,(5，2），（5,3),(5，4)，(5，5),(5,6)，(6，1)，（6,2），(6,3），(6，4)，（6,5），（6,6）,即連續兩次擲骰子共有36種結果．其中在圓x2＋y2＝25。5外即滿足x2＋y2〉25。5的結果有（1,5），(1,6），（2，5），（2，6），(3，5）,（3，6）,（4,4），（4，5），（4，6），（5,1），（5，2),(5，3)，（5，4），(5,5)，(5，6），（6,1)，（6,2），（6，3）,（6,4）,（6，5），(6,6)共有21種結果,則點P在圓x2＋y2＝25。5外的概率是eq\f(21,36）＝eq\f(7，12）。11．在一個單位圓內有一個孔（不規則)，有人想測量其面積,在單位圓內隨機撒豆子1000粒，未從孔中掉出的粒數為300粒,則孔的面積為()A．π B．0.7πC．0。3π D．eq\f（3π,7)答案B解析由幾何概型知eq\f（1000－300，1000)＝eq\f（S,π)，S＝0.7π.12．從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是（）A.eq\f（1,10) B。eq\f(3，10)C.eq\f（3,5) D。eq\f(9，10)答案D解析本題主要考查古典概型的概率求法，同時還要求根據概率的簡單運算,用排除法求概率的問題，從而考查了學生的邏輯思維能力和分析問題以及解決問題的能力．從3個紅球、2個白球中任取3個，根據窮舉法，可以得到10個基本事件，其中沒有白球的取法只有一種,因此所取的3個球中至少有1個白球的概率P＝1－P（沒有白球）＝1－eq\f（1,10)＝eq\f（9，10）。故選D。第Ⅱ卷(非選擇題，共90分）二、填空題（每小題5分,共20分)13．某班委會由4名男生與3名女生組成，現從中選出2人擔任正、副班長，其中至少有1名女生當選的概率是________．答案eq\f（5，7）解析記4名男生分別為A，B，C,D，3名女生分別為a，b，c，從7人中任選2人共有42種選法,分別為（A,B)，(A，C），(A，D),(A，a），（A，b）,（A，c）,（B，A)，（B,C），(B,D），(B，a)，（B，b）,（B，c),(C，A），（C，B）,（C，D），（C，a），（C，b），（C,c),（D,A），（D，B),（D，C），(D，a）,（D，b）,（D，c），（a，A)，(a,B），（a，C），(a，D）,(a,b)，（a，c）,(b,A）,(b，B)，（b，C)，(b,D）,(b，a），(b，c)，（c,A）,（c，B）,(c，C），（c，D)，（c，a),(c，b)．記“至少有1名女生當選”為事件E，“恰有1名女生和恰有1名男生當選"為事件F，“恰有2名女生當選”為事件G，則E＝F＋G.事件F包含的基本事件有(A，a)，(A，b),(A，c），(B，a)，（B，b），（B，c)，(C，a）,（C，b），(C，c)，(D，a）,(D，b），（D,c），(a,A），(a,B)，（a，C)，（a，D)，(b，A）,(b，B)，(b,C），（b，D),（c，A），（c，B）,（c，C)，(c，D）共24種，事件G包含的基本事件有（a，b),（a，c)，（b，a),（b，c），(c,a），(c,b）共6種，根據互斥事件概率加法公式得P（E)＝P(F）＋P(G）＝eq\f(24,42）＋eq\f(6，42)＝eq\f(5,7).本題也可采用對立事件求解：“至少1名女生當選”的對立事件H“沒有女生當選"即“兩名男生當選”，其基本事件有（A，B)，(A,C），(A,D），(B，A)，（B，C），(B，D），(C，A)，（C,B)，（C,D）,(D，A)，(D,B），(D，C）共12種，P(H)＝eq\f（12，42)＝eq\f(2,7），∴P（E）＝1－P（H）＝eq\f(5,7)。14．在區間（0,1）中隨機地取出兩位數，則兩數之和小于eq\f(5，6)的概率是________．答案eq\f(25,72）解析設任取的兩數分別為x，y，則要求x＋y〈eq\f(5,6）的概率，即求直線y＝eq\f（5，6）－x與坐標軸圍成的三角形的面積與邊長為1的正方形面積的比,∴P＝eq\f（\f（5，6）×\f(5，6)×\f(1,2)，1)＝eq\f（25，72).15．某車站,每天均有3輛開往南京的分為上、中、下等級的客車，某天袁先生準備在該站乘客車前往南京辦事,但他不知道客車的情況，也不知道發車順序，為了盡可能乘上上等車,他采取如下策略:先放過第一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛，那么他乘上上等車的概率為________．答案eq\f（1,2)解析上、中、下三輛車的發車順序(先后）共有上中下、上下中、中上下、中下上、下中上、下上中6種情況，先放過第一輛,若第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛,能乘上上等車有中上下、中下上及下上中三種情況,則所求概率P＝eq\f（3,6）＝eq\f（1,2)。16．某銀行的一個自動取款機,在某一時刻恰有n（n∈N）個人正在使用或等待使用該取款機的概率為P(n），且P(n)與時刻無關，統計得到P（n）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）))nP0，1≤n≤5，,0,n≥6，））那么在某一時刻，這個取款機沒有一個人正在使用或等待使用該取款機的概率是________．答案eq\f(32，63）解析由題意，得P(0）＋P（1)＋P（2）＋P（3)＋P（4)＋P（5）＝1，則P（0)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2）＋\f（1，22）＋\f（1,23)＋\f（1,24)＋\f(1，25）))＝1，解得P（0）＝eq\f(32，63)。三、解答題(本大題共6小題,共70分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟)17．（10分）由經驗得知，在書店購買天鴻書業編寫的高中數學新課標必修3《同步測控優化設計》叢書時，等候付款的人數及概率如下表：排隊人數012345人及以上概率0。10.160。30。30。1求：（1）5人及以上排隊等候付款的概率是多少？（2）至多有1人排隊的概率是多少?解（1)設5人及以上排隊等候付款為事件A,由于所有概率的和為1，則P（A）＝1－(0。1＋0。16＋0.3＋0.3＋0.1)＝0。04，即5人及以上排隊等候付款的概率是0。04。(2）設至多有1人排隊為事件C，沒有人排隊為事件D，恰有1人排隊為事件E，則事件D與E互斥，C＝D＋E,P(D）＝0.1，P(E)＝0。16，所以P（C)＝P（D)＋P(E)＝0。1＋0.16＝0。26，即至多有1人排隊的概率是0。26。18．(12分）在2008年奧運圣火傳遞階段，從某市的4名男運動員和2名女運動員中，任選2人參加該市的奧運圣火傳遞，每人被選中的機會相同．（1)求所選2人都是男運動員的概率；（2）求所選2人中恰有1名女運動員的概率；(3)求所選2人中都是男運動員或都是女運動員的概率．解記4名男運動員分別為a、b、c、d,2名女運動員分別為x、y,從6人中任選2人共有15種選法，分別為(a,b)、（a，c）、（a,d）、(a，x）、(a，y)、(b,c）、(b，d）、(b,x)、(b,y）、（c,d)、（c，x)、（c，y)、(d,x)、（d,y）、（x，y)．（1）記“所選2人都是男運動員”為事件A，則事件A包含的基本事件數為6，故P（A）＝eq\f(6,15)＝eq\f（2，5).（2)記“所選2人中恰有1名女運動員”為事件B，則事件B包含的基本事件數為8,故P（B）＝eq\f(8，15).（3）記“所選2人中都是男運動員或都是女運動員"為事件C，解法一:事件C的對立事件為事件B，所以P（C)＝1－P（B)＝1－eq\f（8，15）＝eq\f(7，15)；解法二：事件C包含的基本事件數為7，所以P（C)＝eq\f（7,15）。19．（12分)有9件產品分三個等次,其中一等品4件，二等品3件，三等品2件，從9件產品任取2件，求取出的2件產品同等次的概率．解從9件中任取2件，記“兩件都是一等品”為事件A，“兩件都是二等品”為事件B，“兩件都是三等品”為事件C，“兩件為同等次產品”為事件D.則D＝A＋B＋C且A、B、C兩兩互斥，所以P(D)＝P(A)＋P（B）＋P(C）．記4件一等品分別為a1，a2，a3，a4，3件二等品分別為b1,b2，b3，2件三等品分別為c1，c2，從9件產品中任取2件，共有36種取法，分別為（a1,a2)，(a1,a3），（a1，a4)，(a1，b1）,(a1,b2），(a1,b3）,(a1，c1），(a1，c2)，（a2，a3），(a2，a4)，（a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c1），（a2，c2），（a3，a4)，(a3，b1），(a3，b2)，(a3,b3）,（a3,c1），(a3，c2），(a4，b1）,（a4，b2),(a4，b3)，(a4，c1），(a4，c2），（b1，b2)，(b1，b3)，（b1，c1)，（b1，c2)，(b2,b3)，(b2，c1)，（b2，c2）,（b3，c1),(b3，c2),（c1,c2)．事件A有(a1,a2），(a1，a3),（a1,a4），(a2，a3），（a2，a4),（a3，a4)共6種取法，所以P(A)＝eq\f(6，36）.事件B有(b1，b2），(b1，b3)，（b2,b3）共3種取法，所以P(B)＝eq\f(3,36)。事件C有（c1，c2）共1種取法,所以P（C)＝eq\f(1,36）。因此有P（D)＝P（A)＋P（B）＋P（C）＝eq\f（6,36)＋eq\f(3,36)＋eq\f(1,36)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)。兩件產品同等次的概率為eq\f(5，18)。20．（12分)連續拋擲兩顆骰子，設第一顆點數為m，第二顆點數為n,則求:(1)m＋n＝7的概率；（2)m＝n的概率；(3)m·n為偶數的概率；（4）點P(m，n）在圓x2＋y2＝20外的概率．解拋擲兩顆骰子的基本事件總數,即點（m，n)總的個數為36。(1)事件A＝{m＋n＝7｝含基本事件為：（1，6)，(2,5)，(3,4),(4,3），（5,2),(6,1）共6個,則P（A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1，6).（2）事件B＝{m＝n｝含基本事件為：(1,1),(2，2),(3，3）,（4，4），(5，5）,(6，6)共6個，則P（B)＝eq\f(6,36）＝eq\f（1，6)。（3）事件C＝{m·n為偶數｝含基本事件為：(1,2）,（1,4）,（1，6)，（2，1），（2,2)，(2，3），（2,4）,(2，5),（2,6）,（3，2），（3,4)，（3，6)，(4，1),（4,2），（4,3)，（4,4)，(4,5）,（4,6)，(5，2)，(5，4),(5，6），(6,1),(6,2），(6,3），(6,4），（6,5），(6，6)共有27個,所以P（C)＝eq\f（27，36)＝eq\f（3,4）.(4）在圓x2＋y2＝20外的(m，n)為：（1,5)，(1，6)，(2，5)，（2,6）,(3,4），（3,5），（3,6)，（4，3），（4，4)，（4,5）,（4,6），（5，1)，(5,2)，（5,3),(5,4)，（5,5)，(5,6），（6，1），（6,2），（6,3),(6,4)，(6，