第4講橢圓一、選擇題1．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三均分，則此橢圓的方程是()．x2y2x2y2A.81＋72＝1B.81＋9＝1x2y2x2y2C.81＋45＝1D.81＋36＝1依題意知：a＝，∴a＝1剖析2189,233222＝－＝，∴橢圓方程為x2y2∴b＝a－c81＋＝1.9728172答案Ax2y22．橢圓a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右極點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F2.若|AF1，12，1成等比數列，則此橢圓的離心率為()．||FF||FB|151A.4B.5C.2D.5－2剖析因為A，B為左、右極點，F1，F2為左、右焦點，因此|AF1＝－，12||ac|FF2c，|F1B|＝a＋c.又因為|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數列，2225因此離心率e＝a＝5，應選B.答案B．已知橢圓2＋my2＝1的離心率e∈1，1，則實數m的取值范圍是()．3x2A.0，344B.3，＋∞，3∪4，＋∞D.3，1∪，4C.0434132y22114剖析橢圓標準方程為x＋1＝1.當m>1時，e＝1－m∈4，1，解得m>3；m1－11，13，故實數m的取值范圍當0<m<1時，e2＝m1＝1－m∈，解得0<m<44m4是0，4∪3，＋∞.答案Cx24．設F1、F2分別是橢圓4＋y2＝1的左、右焦點，P是第一象限內該橢圓上的一點，且PF1⊥PF2，則點P的橫坐標為()．A．1B.8C．22263D.3222x2剖析由題意知，點P即為圓x＋y＝3與橢圓＋y＝1在第一象限的交點，x2＋y2＝，326解方程組x22得點P的橫坐標為.4＋y＝，31答案D22x2y2abAa,0)BbFFAB5．橢圓a＋b＝1(>>0)的兩極點為(，(0，)，且左焦點為，△是以角B為直角的直角三角形，則橢圓的離心率e為()A.3－1B.5－1221＋5D.3＋1C.44剖析依照已知a2＋b2＋a2＝a＋c)2，即c2＋ac－a2＝，即e2＋e－＝，解(010－1±55－1得e＝2，故所求的橢圓的離心率為2.答案B．已知橢圓2y232－y2＝1的漸近線與x226C：a＋b＝1(a＞b＞0)的離心率為2.雙曲線x橢圓C有四個交點，以這四個交點為極點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()．x2y2x2y2A.8＋2＝1B.12＋6＝1x2y2x2y2C.16＋4＝1D.20＋5＝13c323223222剖析因為橢圓的離心率為2，因此e＝a＝2，c＝4a，c＝4a＝a－b，2＝1222＝±，代入橢圓方程得x2因此b4a，即a＝4b雙曲線的漸近線方程為2＋.yxa2222＝1，因此x2＝4b2，x＝±2b，y2＝4b2，y＝±2b，則x2＝1，即x2＋x2＝5x2b4bb4b5555在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點坐標為2b，2b，因此四邊形55×22＋y2的面積為4×2＝162＝16，因此b2＝5，因此橢圓方程為x＝1.520555答案D二、填空題x2y27．設F1、F2分別是橢圓25＋16＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為________．1剖析由題意知|OM|＝2|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4.答案4x2y28．在等差數列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，則橢圓C：＋＝1的離a6a5心率為________．剖析由題意，得a4＝10，設公差為d，則a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝2016－13－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝＝34.答案

342橢圓xy=1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上.若是線段PF1的中點在y軸123上，那么|PF1|是|PF2|的_____倍．剖析不如設F1（－，），F2（，）由條件得P（，±3），即PF23，30303||=22|PF1|=147，因此|PF1|=7|PF2|.2答案7如圖，∠π3，則以OA為OFB10.6長半軸，OB為短半軸，F為一個焦點的橢圓方程為________．x2y2剖析設標準方程為a2＋b2＝1(a>b>0)，由題可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a，πb3∵∠OFB＝6，∴c＝3，a＝2b.△ABF＝11S2·|AF||BO|·＝2(a－c)·b1＝2(2b－3b)b＝2－3，22∴b2＝2，∴b＝2，∴a＝22，∴橢圓的方程為x8＋y2＝1.22答案x8＋y2＝1三、解答題11．如圖，設P是圓x2＋y2＝25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD4上一點，且|MD|＝5|PD|.當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；4求過點(3,0)且斜率為5的直線被C所截線段的長度．解(1)設M的坐標為(x，y)，P的坐標為(xP，yP)，P＝x，由已知得yP＝5y，4P在圓上，∴x2＋5y2＝25，4x2y2即C的方程為25＋16＝1.44過點(3,0)且斜率為5的直線方程為y＝5(x－3)，設直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，4將直線方程y＝5(x－3)代入C的方程，得x2x－3225＋25＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝3－413＋412，x2＝2.∴線段AB的長度為|AB|＝22x1－x2y1－y2162＝1＋25x1－x2414125×41＝5.x2y212．設F1，F2分別為橢圓C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C訂交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60°，F1到直線l的距離為23.(1)求橢圓C的焦距；→→(2)若是AF2＝2F2B，求橢圓C的方程．解(1)設橢圓C的焦距為2c，由已知可得F1到直線l的距離3c＝23，故c＝2.因此橢圓C的焦距為4.→→<0，y2>0，(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AF2＝2F2B及l的傾斜角為60°，知y1直線l的方程為y＝3(x－2)．y＝3x－2，由x2y2消去x，a2＋b2＝1整理得(3a2＋b2)y2＋43b2y－3b4＝0.－3b2＋2a，y2＝－3b2－2a.解得y1＝2222223a＋b3a＋b→→，因此－y1＝2y2，因為AF2＝2F2B3b22＋2a－3b22－2a即3a2＋b2＝2·3a2＋b2，解得a＝3.而a2－b2＝4，因此b2＝5.x2y2故橢圓C的方程為9＋5＝1.13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：x2y2a2＋b2＝1(a>b>0)的離心率為

3，以原點為2圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．(1)求橢圓C的方程；(2)已知點P(0,1)，Q(0,2)．設M，N是橢圓C上關于y軸對稱的不同樣兩點，直線PM與QN訂交于點T.求證：點T在橢圓C上．(1)解由題意知，＝2＝2.b2c3bc21因為離心率e＝a＝2，因此a＝1－a＝2.因此a＝22.x2y2因此橢圓C的方程為8＋2＝1.(2)證明由題意可設M，N的坐標分別為(x0，y0)，－0，y0，(x)則直線PM的方程為y＝y0－1＋，①x0x10－2y直線QN的方程為y＝－x0x＋2.②x03y0－4法一聯立①②解得x＝0－3，y＝0－3，2y2y2即Tx0，3y0－4.由x0＋y0＝1，可得x20＝8－4y20.2y0－32y0－382x00－420－420＋因為113y2＝x43y－32＋0－30－3282y022y82y8－4y02＋43y0－4232y02－96y0＋7282y0－32＝0－32＝0－32＝0－32＝1，82y82y82y因此點T的坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．x3y－4法二設T(x，y)，聯立①②解得x0＝2y－3，y0＝2y－3.221x213y－42x0y0因為8＋2＝1，因此82y－3＋22y－3＝1.x23y－42整理得8＋2＝(2y－3)2，x29y22x2y2因此8＋2－12y＋8＝4y－12y＋9，即8＋2＝1.因此點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．14．如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上極點為A，左、右焦點分別為F1，F2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．(1)求該橢圓的離心率和標準方程；(2)過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程．2xy2＋b2＝1(a＞b＞0)，右焦點為F2(c,0)．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2為直角，c因此|OA|＝|OB2|，得b＝2.結合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，因此離心率e＝ca＝255.在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB＝1··＝c2＝4得1B22|B1B2||OA||OB2||OA|·＝2·b＝b.由題設條件S△AB1B2b2＝4，從而a2＝5b2＝20.因此所求橢圓的標準方程為：22x＋y＝1.204(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設直線l的方程為x＝my－2.代入橢圓方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.設P(x1，y1，Q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，)因此y1＋y2＝4m2，y1·2＝－216，m＋5ym＋5→→又B2＝(x1－2，y1