2022-2023學年貴州省貴陽市高二上學期第一次摸底數學試題一、單選題1．直線l過和兩點，則直線l的傾斜角是（

）A． B． C． D．B【分析】先求出斜率，再根據斜率與傾斜角的關系求解即可【詳解】因為直線l過和兩點，所以直線l的斜率為，設直線l的傾斜角是，則，因為，所以，故選：B2．直線經過一、三、四象限的充要條件是（

）A．， B．，C．， D．，B【分析】結合直線的知識確定正確選項.【詳解】直線經過一、三、四象限，如圖所示，則，且，則.故選：B3．如圖，在四面體OABC中，M是棱OA上靠近點A的三等分點，N，P分別是BC，MN的中點．設，，，則向量可表示為（

）A． B．C． D．D【分析】根據向量的線性運算，分析即得解【詳解】由題意，向量，故選：D4．已知平面的法向量為，點在平面內，則點到平面的距離為，則＝()A．－1 B．－11C．－1或－11 D．－21C【分析】先求出，由題得，即，解方程即得解.【詳解】，而，即，解得或－11.故選：C本題主要考查點面距的向量求法，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.5．若直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．D【分析】結合直線方程可得，再由，求解即可.【詳解】由題意，，即直線的斜率，不妨記傾斜角為，即，即.故選：D6．若直線與平行，則與之間的距離為（

）A． B． C． D．C【分析】根據兩直線平行求出參數的值，再利用兩平行線之間的距離公式計算可得；【詳解】解：因為直線與平行，所以，解得或，當時，與重合，故舍去；當時與之間的距離故選：C7．如圖，在四棱錐中，平面，，，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．4A【分析】取的中點,連接,,可證得的長即為點到直線的距離，在直角三角形中，由勾股定理求得；也可以用向量法，直接求得.【詳解】解法一：（幾何法）解：如圖，取的中點,連接,因為平面，平面所以,又因為，所以平面,平面所以因為是的中點,所以,又，所以平面,又平面所以,即為點到直線的距離.在等腰直角三角形中，,在直角三角形中，故點到直線的距離為.故選：A.解法二：（向量法）解：如圖，以為坐標原點，射線、、分別為軸、軸、軸的非負半軸，建立空間直角坐標系.則,,,，故,所以故即點到直線的距離為.故選：A.8．瑞士數學家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學》一書中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知的頂點，則歐拉線的方程為（

）A． B．C． D．D【分析】求出重心，求出邊上的高和AC邊上的高的方程，聯立可求出垂心，即可求出歐拉線的方程.【詳解】由題可得的重心為，直線的斜率為，所以邊上的高的斜率為2，則邊上的高的方程為，即，直線AC的斜率為，所以AC邊上的高的斜率為，則AC邊上的高的方程為，即，聯立可得垂心坐標為，則直線GH的斜率為，則直線GH的方程為，所以歐拉線的方程為.故選：D.二、多選題9．下列說法正確的有（

）A．直線的斜率越大，則傾斜角越大B．兩點式適用于不垂直于x軸和y軸的任何直線C．若直線l的一個方向向量為，則直線l的傾斜角為135°D．任何一條直線的一般式方程都能與其他四種形式互化BC【分析】選項A，選取，求解對用傾斜角，可判斷；選項B，由兩點式中，分析可判定；選項C，化簡方向向量得到，故，分析可判定；選項D，分析直線，可判斷.【詳解】選項A，當時，對應傾斜角，當時，對應傾斜角，錯誤；選項B，由于兩點式中，故垂直于x軸和y軸的直線不能用兩點式表示，其他直線都能選取兩個點滿足，可用兩點式表示，正確；選項C，方向向量可化簡為，故斜率，故對應傾斜角，正確；選項D，直線斜率不存在，不能轉化為斜截式，錯誤.故選：BC10．已知正方體的棱長為1，點E，分別為，的中點，P在正方體內部且滿足，則下列說法正確的有（

）A．直線平面B．點O到平面的距離為C．直線OE到平面的距離為D．點P到直線AD的距離為ABD【分析】建立如圖所示的空間直角坐標，利用空間向量垂直的坐標表示可判斷A的正誤，利用直線的方向向量和平面的法向量可求空間距離，故可判斷BC的正誤，利用空間向量的數量積可求點到直線的距離，故可判斷D的正誤.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，故，又，，，，故，，平面，故平面，故A正確.又，設平面的法向量為，故，取，故，又，故點O到平面的距離為，故B正確.而，，設平面的法向量為，故，取，故，又，故點O到平面的距離為，而，，因此平面，故平面，故直線OE到平面的距離為，故C錯誤.，而，故，故，因為，故，故點P到直線AD的距離為，故D正確.故選：ABD.11．方程表示圓的充分不必要條件可以是（

）A． B．或C． D．CD【分析】先求方程表示圓的充要條件，再根據集合的包含關系可得正確的選項.【詳解】可化為：，因為該方程表示圓，故即或，即方程表示圓的充要條件為或.因為，均為的真子集，不是的真子集，故，均為方程表示圓的充分不必要條件，故選：CD.12．已知點在圓上，點、，則（

）A．點到直線的距離小于B．點到直線的距離大于C．當最小時，D．當最大時，ACD【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.故選：ACD.結論點睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點到直線的距離的取值范圍是.三、填空題13．若直線和直線互相垂直，則實數k的值為_____________．1或【分析】根據兩直線垂直的條件列方程求解．【詳解】由題意，解得或，故1或．14．已知實數，滿足，則的最大值為______．36【分析】先求出的圓心和半徑，從幾何意義求解的最大值，即圓心與點距離加上半徑，從而求出最終結果.【詳解】整理為：，圓心為，半徑為1，故可以看做圓上一點與點距離的平方，則最大值為圓心與點距離加上半徑后的平方，故最大值為故3615．當直線：（）被圓：截得的弦最短時，實數的值為______．【分析】先求得直線l過的定點坐標，再由定點與圓心連線與直線l垂直時弦最短求解.【詳解】直線：，即，圓：的圓心，半徑為5．由解得故直線經過定點．要使直線被圓截得的弦長最短，需和直線垂直，故，即，解得．故．16．當曲線與直線有兩個相異交點時，實數的取值范圍是________．【分析】由解析式可知曲線為半圓，直線恒過；畫出半圓的圖象，找到直線與半圓有兩個交點的臨界狀態，利用圓的切線的求解方法和兩點連線斜率公式求得斜率的取值范圍.【詳解】

為恒過的直線則曲線圖象如下圖所示：由圖象可知，當直線斜率時，曲線與直線有兩個相異交點與半圓相切，可得：解得：又

本題正確結果：本題考查利用曲線與直線的交點個數求解參數范圍的問題，關鍵是能夠通過數形結合的方式找到臨界狀態，易錯點是忽略曲線的范圍，誤認為曲線為圓.四、解答題17．在下列兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．①與直線平行；②與直線垂直．問題：已知直線l經過兩條直線：和：的交點，且．(1)求直線l的一般方程；(2)若直線l與圓相交于P，Q兩點，求弦長．(1)答案見解析；(2)答案見解析.【分析】（1）無論選①還是選②，均可以先求出交點坐標，再求出直線l的斜率，從而可求直線方程；（2）利用弦長公式可求弦長.【詳解】（1）由可得，故，的交點為，如果選①，則直線l的斜率為，故其方程為：，整理得到：；如果選②，則直線l的斜率為，故其方程為：，整理得到：；（2）如果選①，由圓的方程可得圓心坐標為，半徑為2，則圓心到直線的距離為，故；如果選②，則圓心到直線的距離為，故.18．已知圓經過和兩點，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)從點向圓C作切線，求切線方程．(1)(2)或【分析】(1)根據弦的中垂線過圓心,聯立過圓心的兩條直線方程可確定圓心坐標，即可求解;(2)根據直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【詳解】（1）由題可知,所以線段的中垂線的斜率等于1，又因為的中點為，所以線段的中垂線的直線方程為，即，聯立解得，所以圓心又因為半徑等于,所以圓的方程為.（2）設圓的半徑為，則，若直線的斜率不存在，因為直線過點，所以直線方程為，此時圓心到直線的距離，滿足題意;若直線的斜率存在，設斜率為，則切線方程為，即，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以切線方程為，即.所以切線方程為或.19．在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內，過作，交