2.圓柱的截線課標解讀1.了解柱面、旋轉面的形成過程．2.了解平面截圓柱面所得交線為圓或橢圓．知識梳理柱面與平面的截面(1)柱面、旋轉面①圓柱面如圖2－3－1①所示，圓柱面可以看成是一個矩形ABCD以一邊CD所在的直線為軸，旋轉一周后AB邊所形成的曲面．圖2－3－1②旋轉面如圖2－3－1②所示，平面上一條曲線C繞著一條直線l旋轉一周后所形成的曲面稱為旋轉面．(2)垂直截面用垂直于軸的平面截圓柱面，所得的交線為一個圓．(3)一般截面當截面與圓柱面的軸不垂直時，所得交線為橢圓．思考探究1．平面β截圓柱面，β與圓柱面的軸的夾角θ變化，所截出的橢圓有什么變化？【提示】θ變化不影響橢圓的短軸，θ越小，長軸越長，橢圓越扁，離心率越大．2．試研究以過拋物線的焦點的弦為直徑的圓與拋物線的準線的位置關系．【提示】如圖，弦AB過焦點F，設其中點為P，A、B、P在拋物線準線l上的射影分別為A′、B′、P′，則PP′為梯形A′ABB′的中位線，∴PP′＝eq\f(1,2)(AA′＋BB′)，又由拋物線定義可知，AA′＋BB′＝AF＋BF＝AB，∴以弦AB為直徑的圓與l相切．3．若平面與圓柱面軸的夾角為θ，圓柱面的半徑為r，則平面截圓柱面所得的橢圓的長軸長2a，短軸長2b，離心率e的值如何用θ、r表示？【提示】由兩焦球球心距離等于截得橢圓的長軸長，故2a＝eq\f(2r,sinθ)，橢圓的短軸長2b＝2r，離心率e＝eq\f(c,a)＝cosθ.課堂互動探究平面與圓柱面交線性質的應用例1圓柱的底面半徑為5，高為5，若一平行于軸的平面截圓柱得一正方形，求軸到截面的距離．【思路探究】將題目中給出的關系轉化為線面關系求解．【自主解答】如圖所示，ABCD為邊長為5的正方形，連接OC、OD，∴△OCD為等邊三角形．設CD的中點為E，連接OE，則OE⊥CD，且OE＝eq\f(5,2)eq\r(3)，又AD⊥上底面，∴AD⊥OE，故OE⊥平面ABCD，故OE為軸到截面的距離，∴軸到截面的距離為eq\f(5,2)eq\r(3).規律方法1．解答本題時，應根據線面關系作出線面距．2．當圓柱面的截面平行于軸或垂直于軸時，利用點、線、面關系可解決．變式訓練圖2－3－2如圖2－3－2所示，圓柱面的母線長為2cm，點O，O′分別是上、下底面的圓心．若OA⊥O′B′，OA＝1cm.求：(1)OO′與AB′所成的角的正切值；(2)過AB′與OO′平行的截面面積；(3)O到截面的距離．【解】(1)設過A的母線為AA′，則OO′∥AA′，OO′A′A是矩形．易知△O′B′A′是等腰直角三角形，∴A′B′＝eq\r(2).又AA′＝2，OO′與AB′所成的角為∠B′AA′，∴tan∠B′AA′＝eq\f(A′B′,AA′)＝eq\f(\r(2),2).(2)所求截面為矩形AA′B′B，面積等于2eq\r(2)cm2.(3)O到截面的距離即OO′到截面的距離，也是O′到截面的距離為eq\f(\r(2),2)cm.真題連接賞析(教材第39頁練習題2－3B組第1題)在教材第38頁圖2－18中，設圓KK′所在的平面為β′，平面β與β′的交線為直線m，試證明：橢圓上任意一點P到F1和直線m的距離之比為一個常數(記為e)，且0＜e＜1.(2022·沈陽質檢)如圖2－3－5，已知兩焦點的距離F1F2＝2c，兩端點G1G2＝2a.求證：l1與l2之間的距離為eq\f(2a2,c).圖2－3－5【命題意圖】本題考查平面與圓柱面的交線及橢圓的定義與離心率．【證明】設橢圓上任意一點P，過P作PQ1⊥l1于Q1，過P作PQ2⊥l2于Q2.∵e＝eq\f(PF1,PQ1)＝eq\f(PF2,PQ2)＝eq\f(c,a)，∴PF1＝eq\f(c,a)PQ1，PF2＝eq\f(c,a)PQ2.由橢圓定義PF1＋PF2＝2a，∴eq\f(c,a)PQ1＋eq\f(c,a)PQ2＝2a.∴PQ1＋PQ2＝eq\f(2a2,c)，即l1與l2之間的距離為eq\f(2a2,c).課后知能檢測一、選擇題1．用一個平面去截一個圓柱面，其交線是()A．圓B．橢圓C．兩條平行線D．以上均可能【解析】當平面垂直于圓柱面的軸時，交線為圓；當平面與圓柱面的軸平行時，交線為兩條平行線，當平面與圓柱面的軸不平行也不垂直時，交線為橢圓，故選D.【答案】D2．一個平面和圓柱面的軸成θ角(0°＜θ＜90°)，則同時與圓柱面和該平面都相切的球的個數為()A．0B．1C．2D．由θ的不同而定【解析】由焦球的定義知，符合定義的球有2個．【答案】C3．已知半徑為2的圓柱面，一平面與圓柱面的軸線成45°角，則截線橢圓的焦距為()A．2eq\r(2)B．2C．4D．4eq\r(2)【解析】由2a＝eq\f(2r,sin45°)＝4eq\r(2)，∴a＝2eq\r(2)，b＝2，∴c＝eq\r(a2－b2)＝2，故焦距為4.【答案】C二、填空題4．一平面截半徑為3的圓柱面得橢圓，若橢圓的Dandelin雙球的球心距離為10，則截面與圓柱面母線夾角的余弦值為________．【解析】Dandelin雙球球心距離即為橢圓的長軸長，∴2a＝10，即a＝5，又橢圓短軸長2b＝6，∴b＝3.∴c＝4.故離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，∴cosθ＝eq\f(4,5)，故截面與母線所成角的余弦值為eq\f(4,5).【答案】eq\f(4,5)三、解答題5．已知圓柱面軸線上一點O到圓柱的同一條母線上兩點A、B的距離分別為2和3eq\r(2)，且∠AOB＝45°.求圓柱面內切球的半徑．【解】右圖所示為圓柱面的軸截面．依題意，OA＝2，OB＝3eq\r(2)，∠AOB＝45°，∴AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos45°＝4＋18－2×2×3eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝10，∴AB＝eq\r(10).設內切球的半徑為r，則S△AOB＝eq\f(1,2)·AB·r＝eq\f(\r(10),2)r.又∵S△OAB＝eq\f(1,2)OA·OBsin∠AOB＝eq\f(1,2)×2×3eq\r(2)sin45°＝3，∴eq\f(\r(10),2)r＝3，∴r＝eq\f(3\r(10),5)，即圓柱面內切球半徑為eq\f(3\r(10),5).6.如圖，圓柱被平面α所截．已知AC是圓柱口在平面α上最長投影線段，BD是最短的投影線段，EG＝FH，EF⊥AB，垂足在圓柱的軸上，EG和FH都是投影線，分別與平面α交于點G，H.(1)比較EF，GH的大小；(2)若圓柱的底面半徑為r，平