4.2一元二次不等式及其解法4.3一元二次不等式的應用第一章課標要求1.了解一元二次不等式的現實意義.2.能夠借助一元二次函數求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助一元二次函數的圖象,了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系.內容索引0102基礎落實?必備知識全過關重難探究?能力素養全提升03學以致用?隨堂檢測全達標基礎落實?必備知識全過關知識點1

一元二次不等式的概念1.定義:一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x為未知數,a,b,c均為常數,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式.2.使一元二次不等式成立的所有未知數的值組成的集合叫作這個一元二次不等式的解集.名師點睛1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知數,并且這個未知數是唯一的,但這并不是說不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,則把其他字母看成常數.2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知數的最高次數必須是2,且最高次項的系數不為0.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)mx2-5x>0是一元二次不等式.(

)(2)若m為不為0的實數,則mx2+5>0是一元二次不等式.(

)×√2.一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略嗎?提示不能,必須保證a≠0.知識點2

一元二次不等式的解法一元二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系如下表:y=ax2+bx+c(a>0)方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0方程ax2+bx+c=0的實數根有兩相異實數根x1,2=(x1<x2)有兩相等實數根x1=x2=-沒有實數根y=ax2+bx+c(a>0)函數y=ax2+bx+c的圖象方程ax2+bx+c=0的判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0不等式ax2+bx+c>0的解集(-∞,x1)∪(x2,+∞)xx≠-R不等式ax2+bx+c<0的解集(x1,x2)??名師點睛一元二次不等式ax2+bx-c>0(a>0)的求解方法,如圖.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若a>0,則一元二次不等式ax2+1>0無解.(

)(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1,x2(x1<x2),則一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集為{x|x1<x<x2}.(

)××2.不等式4x2-9<0的解集是

.

重難探究?能力素養全提升探究點一一元二次不等式的求解【例1】

解下列不等式:(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.(4)因為x2-2x+2=0的判別式Δ=4-4×1×2=-4<0,所以方程x2-2x+2=0無實數解.又因為函數y=x2-2x+2的圖象是開口向上的拋物線,所以原不等式的解集為R.規律方法

解不含參數的一元二次不等式的一般步驟(1)化標準.通過對不等式的變形,使不等式的右側為0,使二次項系數為正.(2)判別式.對不等式的左側進行因式分解,若不能分解,則計算對應方程的判別式.(3)求實根.求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程無實根.(4)畫圖象.根據一元二次方程根的情況畫出對應的一元二次函數的圖象.(5)寫解集.根據圖象寫出不等式的解集.變式訓練1解下列不等式:(1)4x2-20x<-25;(2)(x-3)(x-7)<0;(3)-3x2+5x-4<0;(4)x(1-x)≥x(2x-3)+1.解(1)不等式可化為4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且對應的二次函數的圖象是開口向上的拋物線,所以不等式的解集是?.(2)不等式對應方程的兩個根是3和7,且對應的二次函數的圖象是開口向上的拋物線,故不等式的解集是{x|3<x<7}.(3)不等式-3x2+5x-4<0可化為3x2-5x+4>0,由于判別式Δ=25-48=-23<0,函數y=3x2-5x+4的圖象開口向上,所以不等式的解集是R.(4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化為3x2-4x+1≤0.因為方程3x2-4x+1=0的兩探究點二分式不等式的求解【例2】

解下列不等式:∴x+2<0,∴x<-2.故原不等式的解集為{x|x<-2}.規律方法

1.分式的分子、分母同號時,分式為正;異號時為負.轉化為整式后分子、分母作為兩因式之積,同樣是同號時為正,異號時為負.2.分式不等式的解法:先通過移項、通分整理成標準型

>0(<0)或≥0(≤0),再化成整式不等式來解.如果能判斷出分母的正負,直接去分母也可.變式訓練2解下列不等式:探究點三不等式中的含參類問題角度1已知不等式的解集求參數值【例3】

求實數a,b的值,使得關于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分別為:(1)[-1,2];(2)(-∞,-1]∪[2,+∞);(3)[-1,+∞).規律方法

1.一元二次不等式的解集的端點就是對應的一元二次方程的根,要充分利用這個關系解題.2.不等式解集的形式與二次項系數有直接的關系,對于關于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),當a>0時,其解集是{x|x<x1,或x>x2},當a<0時,其解集是{x|x1<x<x2}.變式訓練3已知關于x的不等式x2+ax+b<0的解集為(1,2),求關于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.解∵關于x的不等式x2+ax+b<0的解集為(1,2),∴1,2是關于x的方程x2+ax+b=0的兩個根.角度2含參數的一元二次不等式的解法【例4】

解關于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.規律方法

解含參數的一元二次不等式與解不含參數的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要特別注意分類討論思想的運用.尤其要注意以下三種類型:類型一若二次項系數含有參數,需對二次項系數等于0與不等于0進行討論,對于不等于0的情況再按大于0或小于0進行討論類型二若不等式對應的一元二次方程根的情況不確定,需對其判別式Δ進行討論類型三若求出的根中含有參數,則應對兩根的大小關系進行討論變式訓練4解關于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R).解由于x2+3ax-4a2<0可化為(x-a)(x+4a)<0,且方程(x-a)(x+4a)=0的兩個根分別是a和-4a.當a=-4a,即a=0時,不等式的解集為?;當a>-4a,即a>0時,解不等式為-4a<x<a;當a<-4a,即a<0時,解不等式為a<x<-4a.綜上所述,當a=0時,不等式的解集為?;當a>0時,不等式的解集為{x|-4a<x<a};當a<0時,不等式的解集為{x|a<x<-4a}.角度3不等式的恒成立問題【例5】

(1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求實數k的取值范圍.(2)當x∈[1,2]時,不等式x2+mx+4<0恒成立,求實數m的取值范圍.解(1)當k=0時,原不等式化為-2<0,顯然符合題意.當k≠0時,令y=kx2+2kx-(k+2),由y<0恒成立,∴其圖象都在x軸的下方,即開口向下,且與x軸無交點.綜上,實數k的取值范圍是(-1,0].(2)令y=x2+mx+4.∵y<0在[1,2]上恒成立,∴y=0的根一個在(-∞,1)上,另一個在(2,+∞)上.規律方法

1.如圖①,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集為R?一元二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象恒在x軸上方?ymin>0?圖①

圖②

2.如圖②,一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立?一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集為R?一元二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象恒在x軸下方?ymax<0?3.含參數的一元二次不等式在某一區間上恒成立問題,求解時主要有兩種方法:一種是將參數分離,轉化為恒成立問題;另一種是利用一元二次不等式根的分布及數形結合思想求解.變式訓練5若不等式-x2+2x+3≤a2-3a對任意實數x恒成立,求實數a的取值范圍.解∵-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4,-x2+2x+3≤a2-3a對任意x恒成立,∴a2-3a≥4,即a2-3a-4≥0.解得a≤-1或a≥4.∴實數a的取值范圍是(-∞,-1]∪[4,+∞).探究點四一元二次不等式的實際應用【例6】

行駛中的汽車,在剎車時由于慣性作用,要繼續往前滑行一段距離才能停下,這段距離叫作剎車距離.在某種路面上,某種型號汽車的剎車距離s(單位:m)與汽車的車速v(單位:km/h)滿足下列關系:(1)求n的值;(2)要使剎車距離不超過12.6m,則行駛的最大速度是多少?規律方法

用一元二次不等式解決實際問題的操作步驟(1)理解題意,搞清量與量之間的關系.(2)建立相應的不等關系,把實際問題抽象為數學中的一元二次不等式問題.(3)解一元二次不等式,得到實際問題的解.變式探究本例中,條件不變,若該型號的汽車在某一限速為80km/h的路段發生了交通事故,交警進行現場勘查,測得該車的剎車距離超過了25.65m,試問該車是否超速行駛?解由題意知s>25.65,即

>25.65,即v2+24v-10

260>0,解得v>90或v<-114.由于v≥0,所以該車當時的速度v>90>80,因此該車超速行駛.本節要點歸納1.知識清單:(1)解一元二次不等式的常見方法;(2)與一元二次不等式有關的恒成立問題;(3)利用不等式解決實際問題.2.方法歸納:數形結合、分類討論、轉化、恒等變形.3.常見誤區:忽略二次項系數的符號;利用一元二次不等式解決實際問題時,應注意實際意義.學以致用?隨堂檢測全達標1.不等式x2-9<0的解集為(

)A.{x|x<-3} B.{x|x<3}C.{x|x<-3,或x>3} D.{x|-3<x<3}答案D

解析

由x2-9<0,可得x2<9,解得-3<x<3.2.若不等式4x2+ax+4>0的解集為R,則實數a的取值范圍是(

)A.(-16,0) B.(-16,0]C.(-∞,0) D.(-8,8)答案D

解析

∵不等式4x2+ax+4>0的解集為R,∴Δ=a2-4×4×4<0,解得-8<a<8,∴實數a的取值范圍是(-8,8),故選D.3.(2022云南麗江第一高級中學期末)已知a,b為實數,若關于x的