等差數列的前n項和（二）等差數列的前n項和（二）1（一）知識回顧：1.{an}為等差數列.

，an=，更一般的，an=，d=.

an+1-an=d2an+1=an+2+ana1+(n-1)dan=an+ba、b為常數am+(n-m)d2.等差數列前n項和Sn

=

=

.（一）知識回顧：1.{an}為等差數列2說明：{an}為等差數列

，這是一個關于

的缺

的“

”

Sn=an2+bnn常數項二次函數（a可以是0）知識回顧：等差數列前n項和再認識:（二）說明：{an}為等差數列3將公式（2）：變形可得（為常數）那它是不是等差數列呢？

當時，是一個常數項為零的二次式.當時，是一個常數列，

（

為常數）那它又是不是等差數列呢？

將公式（2）：4反之，若數列前n項和為Sn=an2+bn（n為自然數，a、b為常數）反之，若數列前n項和為Sn=an2+bn（n為自然數，a、b5若Sn=n2+3n+1呢？已知數列的前n項和求若Sn=n2+3n+1呢？已知數列的前n項和6記為:公式三當d不為0時,此式是關于n的二次式且無常數項.由于,則數列的圖象是拋物線圖象上的一群孤立的點.那么由二次函數的性質,我們來研究一下的最值.記為:公式三當d不為0時,此式是關于n的二次式且7

有最大值(至于是否在頂點處取得,要看頂點處所對應的橫坐標距離它最近的正整數處取得,一般情況下或一,或兩個最值),如右圖所示:2.當公差d>0即a>0時,3.當公差d=0即a=0時,

xyox=11.當公差d<0即a<0時,有最小值.是常數列若,則它是關于n的一次函數,若,則=0

8由此我們可以根據數列前n項和的公式形式來判斷一個數列是否是等差數列!如:(1)(2)(不是)(是)考慮一下取最值時所對應n的值為多少?由此我們可以根據數列前n項和的公式形式來判斷如:9

（三）例題：1．求集合的元素個數，并求這些元素的和.解：由得∴正整數共有14個即中共有14個元素即：7，14，21，…，98是以為首項，以為末項的等差數列.∴答：略（三）例題：1．求集合102.已知一個等差數列的前10項的和是310,前20項的和是1220,由此可以確定求其前n項和的公式嗎?

與d,從解:由題意知,將它們代入公式得到與d的方程組,得分析:將已知條件代入等差數列前n項和的公式后,可得到兩個關于與d的關系式,然后確定而得到所求前n項和的公式.解這個關于2.已知一個等差數列的前10項的和是310,前20項的11我們再看看這一題,還有其它的方法來求解嗎?不妨利用公式三,用待定系數法即可確定系數,由此可得前項和的公式.解:設代入公式有,解得,對比兩種解法,發現公式的應用是很靈活的,對有些題而言選擇適當的公式可以簡化求解的計算量.將2730我們再看看這一題,還有其它的方法來求解嗎?不妨利用公121.已知等差數列{an}(1)a2+a4+a6+a8+a10=30,(2)S13=65,則a7=_____。(3)前4項和為25,末4項和為63,所有項和為286,則項數為____。則S11=_______。66526(四)整體思想1.已知等差數列{an}(1)a2+a4+13則=_____.前n項和分別為Sn,Tn,且2.已知等差數列{an}和{bn},分析：又而則=_____.前n項和分別為Sn,T14例題例題15等差數列前n項和2李課件163.已知等差數列{an}中,a2=13,S16>0,S17<0,(1)公差d的取值范圍是(2)S1,S2,S3,……,S17中,最大的是_____,為什么?S8_______________;3.已知等差數列{an}中,a2=13,S16>0,17∵Sn=dn2＋(a1－d)n=×(－2)n2＋[21－×(－2)]n=－n2＋22n=－(n－11)2＋121，思考這些條件，能得出什么結論？例1：已知數列{an}是等差數列，且a1=21，公差d=－2，求這個數列的前n項和Sn的最大值。解：分析：利用前ｎ項和公式的函數特征，就可以運用二次函數的性質解題?！遖=－1,∴當n＝11時，(Sn)max=121。例２、等差數列{an}中，首項a1＜０，S3=S11，問：這個數列的前幾項的和最?。繉忣}：由a1＜0,S3=S11可得：d＞0,則等差數列的前n項和Sn=an2+bn是一個開口向上的二次函數，因而存在最小值。由S3=S11可找到系數a與b的關系?！逽n=dn2＋(a1－d)n=18二次項系數ａ在此題中的作用是什么？如果ａ小于0，此數列的前ｎ項和可能存在最大值。如果ａ小于0，此數列的前ｎ項和是否存在最小值？解：依題意可設Sn=an2+bn，∵S3=S11,∴a×32＋b×3=a×112＋b×11,∴8b=－112a，即b=－14a,∴Sn=an2+bn=an2－14an=a(n2－14n)=a(n－7)2－49a．∵a>0,∴當n=7時，(Sn)min=－49a,∴這個數列的前7項的和最小。例２：等差數列{an}中，首項a1＜０，S3=S11，問：這個數列的前幾項的和最??？∵a1<0,S3=S11,∴d>0，即a=d>0，

二次項系數ａ在此題中的作用是什么？如果ａ小于0，此數列的前ｎ19這幾處與例2不同?！遖<0,∴當n=7時，(Sn)max=－49a,∴這個數列的前7項的和最大。解：∵a1>0,S3=S11,∴d<0，即a=d<0，依題意可設Sn=an2+bn，∵S3=S11,∴a×32＋b×3=a×112＋b×11,∴8b=－112a，即b=－14a,∴Sn=an2+bn=an2－14an=a(n2－14n)=a(n－7)2－49a．例２的變式題一：等差數列{an}中，首項a1>０，S3=S11，問：這個數列的前幾項的和最大？此兩處用字母替代后，又怎么解呢？這幾處與例2不同?！遖<0,∴當n=7時，(Sn)m20依題意可設Sn=an2+bn，例2的變式題二：等差數列{an}的首項a1>0,前n項和為Sn，當m≠l時，Sm=Sl(其中m∈N+,l∈N+）,問:n為何值時，Sn最大？解：又∵Sm=Sl,∴am2＋bm=al2＋bl,∴am2－al2+bm－bl=0，即a[(m+l)(m－l)]+b(m－l)=0，∴(m－l)[a(m+l)+b]=0，由于m≠l,∴m－l≠0,∴a(m+l)+b=0，即b=－a(m+l)，求出Sn的函數表達式，利用二次函數的性質解題。∴Sn=an2－(m+l)an=a(n－)2－?！遖1>0,m≠l,Sm=Sl,∴d<0，即a=d<0，依題意可設Sn=an2+bn，例2的變式21依題意可設Sn=an2+bn，例2的變式題二：等差數列{an}的首項a1>0,前n項和為Sn，當m≠l時，Sm=Sl(其中m∈N+,l∈N+）,問:n為何值時，Sn最大？解：又∵Sm=Sl,∴am2＋bm=al2＋bl,∴am2－al2+bm－bl=0，即a[(m+l)(m－l)]+b(m－l)=0，∴(m－l)[a(m+l)+b]=0，由于m≠l,∴m－l≠0,∴a(m+l)+b=0，即b=－a(m+l)，求出Sn的函數表達式，利用二次函數的性質解題。∴Sn=an2－(m+l)an=a(n－)2－?！遖1>0,m≠l,Sm=Sl,∴d<0，即a=d<0，依題意可設Sn=an2+bn，例2的變式22設Sn=an2+bn,則有：。解之得：，∴Sn=3n2+n。1、略解：2、略解：是。簡單提示：利用公式：3、略解（1），（2）S6最大。設Sn=an2+bn,則有：231、在等差數列中{an}，若a1=25，且S9=S17，

求數列前多少項和為最大？例題1、在等差數列中{an}，若a1=25，且S9=S17，例題24例題例2、一個等差數列的前12項之和為354，前12項中偶數項與奇數項之比為32：27，求公差。設首項為a1，公差為d,則解1：例題例2、一個等差數列的前12項之和為354，設首項為a125例題例2、一個等差數列的前12項之和為354，前12項中偶數項與奇數項之比為32：27，求公差。解2、由：例題例2、一個等差數列的前12項之和為354，解2、由：26例題例4、已知數列前n項和，（1）求證：為等差數列；（2）求的最大值及相應n（3）記數列的前項和為，求的表達式例題例4、已知數列前n項和271、等差數列{an}中，a5+a16=30,則S20等于2、在項數為2n的等差數列中，各奇數項的和為75，各偶數項的和為90，末項與首項的差為27，則項數2n的值為多少？

3、設等差數列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn,S’n,且，求練習1、等差數列{an}中，a5+a16=30,則S20等于練習28等差數列的前n項和（二）等差數列的前n項和（二）29（一）知識回顧：1.{an}為等差數列.

，an=，更一般的，an=，d=.

an+1-an=d2an+1=an+2+ana1+(n-1)dan=an+ba、b為常數am+(n-m)d2.等差數列前n項和Sn

=

=

.（一）知識回顧：1.{an}為等差數列30說明：{an}為等差數列

，這是一個關于

的缺

的“

”

Sn=an2+bnn常數項二次函數（a可以是0）知識回顧：等差數列前n項和再認識:（二）說明：{an}為等差數列31將公式（2）：變形可得（為常數）那它是不是等差數列呢？

當時，是一個常數項為零的二次式.當時，是一個常數列，

（

為常數）那它又是不是等差數列呢？

將公式（2）：32反之，若數列前n項和為Sn=an2+bn（n為自然數，a、b為常數）反之，若數列前n項和為Sn=an2+bn（n為自然數，a、b33若Sn=n2+3n+1呢？已知數列的前n項和求若Sn=n2+3n+1呢？已知數列的前n項和34記為:公式三當d不為0時,此式是關于n的二次式且無常數項.由于,則數列的圖象是拋物線圖象上的一群孤立的點.那么由二次函數的性質,我們來研究一下的最值.記為:公式三當d不為0時,此式是關于n的二次式且35

有最大值(至于是否在頂點處取得,要看頂點處所對應的橫坐標距離它最近的正整數處取得,一般情況下或一,或兩個最值),如右圖所示:2.當公差d>0即a>0時,3.當公差d=0即a=0時,

xyox=11.當公差d<0即a<0時,有最小值.是常數列若,則它是關于n的一次函數,若,則=0

36由此我們可以根據數列前n項和的公式形式來判斷一個數列是否是等差數列!如:(1)(2)(不是)(是)考慮一下取最值時所對應n的值為多少?由此我們可以根據數列前n項和的公式形式來判斷如:37

（三）例題：1．求集合的元素個數，并求這些元素的和.解：由得∴正整數共有14個即中共有14個元素即：7，14，21，…，98是以為首項，以為末項的等差數列.∴答：略（三）例題：1．求集合382.已知一個等差數列的前10項的和是310,前20項的和是1220,由此可以確定求其前n項和的公式嗎?

與d,從解:由題意知,將它們代入公式得到與d的方程組,得分析:將已知條件代入等差數列前n項和的公式后,可得到兩個關于與d的關系式,然后確定而得到所求前n項和的公式.解這個關于2.已知一個等差數列的前10項的和是310,前20項的39我們再看看這一題,還有其它的方法來求解嗎?不妨利用公式三,用待定系數法即可確定系數,由此可得前項和的公式.解:設代入公式有,解得,對比兩種解法,發現公式的應用是很靈活的,對有些題而言選擇適當的公式可以簡化求解的計算量.將2730我們再看看這一題,還有其它的方法來求解嗎?不妨利用公401.已知等差數列{an}(1)a2+a4+a6+a8+a10=30,(2)S13=65,則a7=_____。(3)前4項和為25,末4項和為63,所有項和為286,則項數為____。則S11=_______。66526(四)整體思想1.已知等差數列{an}(1)a2+a4+41則=_____.前n項和分別為Sn,Tn,且2.已知等差數列{an}和{bn},分析：又而則=_____.前n項和分別為Sn,T42例題例題43等差數列前n項和2李課件443.已知等差數列{an}中,a2=13,S16>0,S17<0,(1)公差d的取值范圍是(2)S1,S2,S3,……,S17中,最大的是_____,為什么?S8_______________;3.已知等差數列{an}中,a2=13,S16>0,45∵Sn=dn2＋(a1－d)n=×(－2)n2＋[21－×(－2)]n=－n2＋22n=－(n－11)2＋121，思考這些條件，能得出什么結論？例1：已知數列{an}是等差數列，且a1=21，公差d=－2，求這個數列的前n項和Sn的最大值。解：分析：利用前ｎ項和公式的函數特征，就可以運用二次函數的性質解題。∵a=－1,∴當n＝11時，(Sn)max=121。例２、等差數列{an}中，首項a1＜０，S3=S11，問：這個數列的前幾項的和最小？審題：由a1＜0,S3=S11可得：d＞0,則等差數列的前n項和Sn=an2+bn是一個開口向上的二次函數，因而存在最小值。由S3=S11可找到系數a與b的關系?！逽n=dn2＋(a1－d)n=46二次項系數ａ在此題中的作用是什么？如果ａ小于0，此數列的前ｎ項和可能存在最大值。如果ａ小于0，此數列的前ｎ項和是否存在最小值？解：依題意可設Sn=an2+bn，∵S3=S11,∴a×32＋b×3=a×112＋b×11,∴8b=－112a，即b=－14a,∴Sn=an2+bn=an2－14an=a(n2－14n)=a(n－7)2－49a．∵a>0,∴當n=7時，(Sn)min=－49a,∴這個數列的前7項的和最小。例２：等差數列{an}中，首項a1＜０，S3=S11，問：這個數列的前幾項的和最??？∵a1<0,S3=S11,∴d>0，即a=d>0，

二次項系數ａ在此題中的作用是什么？如果ａ小于0，此數列的前ｎ47這幾處與例2不同?！遖<0,∴當n=7時，(Sn)max=－49a,∴這個數列的前7項的和最大。解：∵a1>0,S3=S11,∴d<0，即a=d<0，依題意可設Sn=an2+bn，∵S3=S11,∴a×32＋b×3=a×112＋b×11,∴8b=－112a，即b=－14a,∴Sn=an2+bn=an2－14an=a(n2－14n)=a(n－7)2－49a．例２的變式題一：等差數列{an}中，首項a1>０，S3=S11，問：這個數列的前幾項的和最大？此兩處用字母替代后，又怎么解呢？這幾處與例2不同?！遖<0,∴當n=7時，(Sn)m48依題意可設Sn=an2+bn，例2的變式題二：等差數列{an}的首項a1>0,前n項和為Sn，當m≠l時，Sm=Sl(其中m∈N+,l∈N+）,問:n為何值時，Sn最大？解：又∵Sm=Sl,∴am2＋bm=al2＋bl,∴am2－al2+bm－bl=0，即a[(m+l)(m－l)]+b(m－l)=0，∴(m－l)[a(m+l)+b]=0，由于m≠l,∴m－l≠0,∴a(m+l)+b=0，即b=－a(m+l)，求出Sn的函數表達式，利用二次函數的性質解題。∴Sn=an2－(m+l)an=a(n－)2－。∵a1>0,m≠l,Sm=Sl,∴d<0，即a=d<0，依題意可設Sn=an2+bn，例2的變式49依題意可設Sn=an2+bn，例2的變式題二：等差數列{an}的首項a1>0,前n項和為Sn，當m≠l時，Sm=Sl(其中m∈N+,l∈N+）,問:n為何值時，Sn最大？解：又∵Sm=Sl,∴am2＋bm=al2＋bl,∴am2－al2+bm－bl=0，即a[(m