證明不等式知識內容1．二項式定理⑴二項式定理nCn1an1bCn2an2b2...CnnbnnNabCn0an這個公式表示的定理叫做二項式定理．⑵二項式系數、二項式的通項Cn0anCn1an1bCn2an2b2...Cnnbn叫做anb的二項張開式，其中的系數Cnrr0,1,2,...,n叫做二項式系數，式中的Cnranrbr叫做二項張開式的通項，用Tr1表示，即通項為張開式的第r1項：Tr1rnrrCnab．⑶二項式張開式的各項冪指數n二項式ab的張開式項數為n1項，各項的冪指數狀況是①各項的次數都等于二項式的冪指數n．②字母a的按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零，字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n．⑷幾點注意①通項Tr1Cnranrbr是an的張開式的第r1項，這里r0,1,2,...,n．b②二項式an1項和banb的r的張開式的第r1項Cnrbnrar是有區其余，應用二項式定理時，其中的a和b是不能夠任意交換的．③注意二項式系數（Cnr）與張開式中對應項的系數不用然相等，二項式系數必然為正，而項的系數有時可為負．④通項公式是ananb這個標準形式下而言的，如b的二項張開式的通項公式是Tr1rb看作b代入二項式定理）這與Tr1Cnranrbr是不同樣的，在這1Cnranrbr（只須把Cnr，但項的系數一個是1r，一個是Cnr，可看出，里對應項的二項式系數是相等的都是Cnr二項式系數與項的系數是不同樣的看法．⑤設a1,bx，則得公式：1xnCn2x2...Cnrxr...xn．1Cn1x⑥通項是Tr1Cnranrbrr0,1,2,...,n中含有Tr1,a,b,n,r五個元素，只要知道其中四個即可求第五個元素．⑦當n不是很大，x比較小時能夠用張開式的前幾項求(1x)n的近似值．2．二項式系數的性質⑴楊輝三角形：對于n是較小的正整數時，能夠直接寫出各項系數而不去套用二項式定理，二項式系數也可以直接用楊輝三角計算．楊輝三角有以下規律：“左、右兩邊斜行各數都是1．其余各數都等于它肩上兩個數字的和．”⑵二項式系數的性質：anCn0,Cn1,Cn2,...,Cnn，從函數的角度看Cnr能夠看作是r為自b張開式的二項式系數是：變量的函數fr，其定義域是：0,1,2,3,...,n．當n6時，fr的圖象為以下圖：這樣我們利用“楊輝三角”和n6時fr的圖象的直觀來幫助我們研究二項式系數的性質．①對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等．事實上，這一性質可直接由公式CnmCnnm獲取．②增減性與最大值若是二項式的冪指數是偶數，中間一項的二項式系數最大；若是二項式的冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等并且最大．由于張開式各項的二項式系數按次是Cn01,Cn1n,Cn2nn1，121Cn3nn1n2，．．．，123Cnk1nn1n2...nk2Cnknn1n2...nk2nk1123....k1，123...k1k，．．．，Cnn1．其中，后一個二項式系數的分子是前一個二項式系數的分子乘以逐次減小1的數（如n,n1,n2,...），分母是乘以逐次增大的數（如1，2，3，,）．由于，一個自然數乘以一個大于1的數則變大，而乘以一個小于1的數則變小，從而當k依次取1，2，3，,等值時，Cnr的值轉變成不遞加而遞減了．又由于與首末兩端“等距離”的兩項的式系數相等，所以二項式系數增大到某一項時就逐漸減小，且二項式系數最大的項必在中間．當n是偶數時，n1是奇數，張開式共有n1項，所以張開式有中間一項，并且這一項的n二項式系數最大，最大為Cn2．當n是奇數時，n1是偶數，張開式共有n1項，所以有中間兩項．n1n1這兩項的二項式系數相等并且最大，最大為Cn2Cn2．③二項式系數的和為2n，即Cn0Cn1Cn2...Cnr...Cnn2n．④奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，即Cn0Cn2Cn4...C1nCn3Cn5...2n1．常有題型有：求張開式的某些特定項、項數、系數，二項式定理的逆用，賦值用，簡單的組合數式問題．典例解析二項式定理的應用2證明不等式【例1】已知：xy1，x，yR，求證：xnyn≥21n1，(nN*)【例2】a、bR，ab≥0，nN*，求證：anbn≥(ab)n22【例3】nN且n≥3，求證：3n2n3n23n8.【例4】求證：2n≥1sinn【例5】求證：2n1≥2n

nn

1sin2n1

nn

N*N*【例6】a，bR，ab≥0，nN*，求證：anan1babn1bn≥(ab)n．n12【例7】求證：2n≥2n2nN，n≥3【例8】對于nN*，(11)n(11)n1．nn1【例9】求證：2≤(11)n3，nN*n【例10】已知i,m,n是正整數，且1i≤mn，⑴證明miAniniAmi；⑵證明(1mn)(1nm．)【例11】已知函數f(x)滿足axf(x)bf(x)（ab0），f)1(2，并且使f(x)2x成立的實數x有且只有一個．⑴求f(x)的解析式；⑵若數列{an}的前n項