目錄TOC\o"1-5"\h\z摘要3\o"CurrentDocument"關(guān)鍵詞3一、概述3\o"CurrentDocument"二、優(yōu)化方法介紹3（一）、一維搜索方法3（二）無約束優(yōu)化方法5\o"CurrentDocument"1）共軛方向的生成6\o"CurrentDocument"2）基本算法6\o"CurrentDocument"3）改進(jìn)算法的基本步驟如下7\o"CurrentDocument"三、優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例101）模型102）變量10\o"CurrentDocument"3）優(yōu)化設(shè)計(jì)源程序10\o"CurrentDocument"4）分析結(jié)果20\o"CurrentDocument"四、課程總結(jié)20《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》課程設(shè)計(jì)論文摘要：一，一，……——一,?隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)作為一門為工程設(shè)計(jì)提供手段的學(xué)科，在這樣的時(shí)代背景下應(yīng)運(yùn)而生。針對(duì)具體的課題，通過一些設(shè)計(jì)變量而建立起目標(biāo)函數(shù)的過程，稱為數(shù)學(xué)建模；應(yīng)用優(yōu)化方法為工程設(shè)計(jì)尋找出最優(yōu)解是現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計(jì)所研究的主要課題與方向。關(guān)鍵詞：概述機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)；設(shè)計(jì)變量；目標(biāo)函數(shù)；數(shù)學(xué)模型；優(yōu)化方法概述優(yōu)化設(shè)計(jì)是20世紀(jì)60年代初發(fā)展起來的一門新學(xué)科，它是將最優(yōu)化原理與計(jì)算技術(shù)應(yīng)用于設(shè)計(jì)領(lǐng)域，為工程設(shè)計(jì)提供一種重要的科學(xué)設(shè)計(jì)方法的手段。利用這種新的設(shè)計(jì)方法，人們就可以從眾多的設(shè)計(jì)方案中尋找出最佳設(shè)計(jì)方案，從而大大提高設(shè)計(jì)效率和設(shè)計(jì)質(zhì)量。因此優(yōu)化設(shè)計(jì)是現(xiàn)代設(shè)計(jì)理論和方法的一個(gè)重要領(lǐng)域，它已廣泛應(yīng)用于各個(gè)工業(yè)部門，成為現(xiàn)代工程設(shè)計(jì)的一個(gè)重要手段！二、優(yōu)化方法介紹(一)、一維搜索方法一維搜索方法可分為兩類，一類稱為試探法，這類方法是按某種給定的規(guī)律來確定區(qū)間內(nèi)插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)位置的確定僅僅按照區(qū)間縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，例如黃金分割法，裴波那契法等。另一類一維搜索法稱作插值法或函數(shù)逼近法。這類方法是根據(jù)某些點(diǎn)處的某些信息，如函數(shù)值，一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)等，構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù)來逼近原來的函數(shù)，用插值函數(shù)的極小點(diǎn)作為區(qū)間的插入點(diǎn)，這類方法主要有二次插值法，三次插值法等。在此重點(diǎn)討論黃金分割法。黃金分割法適用于［a,b］區(qū)間上的任何單谷函數(shù)求極小值問題，對(duì)函數(shù)除要求“單谷”外不作其他要求，甚至可以不連續(xù)。因此，這種方法的適應(yīng)面相當(dāng)廣。黃金分割法也是建立在區(qū)間消去法原理基礎(chǔ)上的試探方法，即在搜索區(qū)間［a,b］內(nèi)適當(dāng)插入兩點(diǎn)。1，。2,并計(jì)算其函數(shù)值。\，。2將區(qū)間分為三段，應(yīng)用函數(shù)的單谷性質(zhì)，通過函數(shù)值大小的比較，刪去其中一段，，使搜索區(qū)間得以縮短。然后再在保留下來的區(qū)間上作同樣的處置，如此迭代下去，使搜索區(qū)間無限縮小，從而得到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。黃金分割法要求插入點(diǎn)。1、。2的位置相對(duì)于區(qū)間［a,b］兩端點(diǎn)具有對(duì)稱性，即a1=b—A(b—a)a=a+X(b—a)2其中，入為待定常數(shù)。圖3-6除對(duì)稱要求外，黃金分割法還要求在保留下來的區(qū)間內(nèi)再插入一點(diǎn)所形成的區(qū)間新三段，與原來區(qū)間的三段具有相同的比例分布。設(shè)原區(qū)間［a,b］長度為1如圖3-6所示，保留下來的區(qū)間［a,a』長度為入，區(qū)間縮短率為入。為了保持相同的比例分布，新插入點(diǎn)。應(yīng)在入（1—入）位置上，a在原區(qū)間的1—入位置應(yīng)相當(dāng)于在保留區(qū)間的招位置。故31有1—入=入2入2+入一1=0取方程正數(shù)解，得入=（"5—1）/2F618若保留下來的區(qū)間為［a】，b］,根據(jù)插入點(diǎn)的對(duì)稱性，也能推得同樣的入值。所謂的黃金分割是指將一線段劃分為兩段的方法，使整段長與較長段的長度比值等于較長段與較短段的比值，即1：入=入：（1—入）同樣算的入^0.618。可見黃金分割法能使得相鄰兩次搜索區(qū)間都具有相同的縮短率0.618，所以黃金分割法又稱為0.618法。1）黃金分割法的搜索過程是：給出初始搜索區(qū)間［a,b］及收斂精度￡，將入賦以0.618。2）按坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算公式計(jì)算。］和。廣并計(jì)算其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（a1）,f（a「。根據(jù)消去法原理縮短搜索區(qū)間。為了能用原來的坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算公式，，需進(jìn)行區(qū)間名稱的代換，并在保留區(qū)間中計(jì)算一個(gè)新的試驗(yàn)點(diǎn)及其函數(shù)值。4）檢查區(qū)間是否縮短到足夠小和函數(shù)值收斂到足夠近，如果條件不滿足則返回到步驟2。5）如果條件滿足，則取最后2試驗(yàn)點(diǎn)的平均值作為極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。

黃金分割法的程序框圖如圖3-7所示圖3-7（二）無約束優(yōu)化方法前面所舉的機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題都是在一定的限制條件下追求某一指標(biāo)為最小，所以它們都屬于約束優(yōu)化問題。但是有些實(shí)際問題，其數(shù)學(xué)模型本身就是一個(gè)無約束優(yōu)化問題，或者除了在非常接近最終極小值的情況下，都可以按無約束優(yōu)化問題來解決。研究約束優(yōu)化問題的另一個(gè)原因是，通過熟悉它的解法可以為研究無約束優(yōu)化問題打下良好的基礎(chǔ)。第三個(gè)原因，約束優(yōu)化問題的求解可以通過一系列無約束優(yōu)化方法來達(dá)到。由此可見，無約束優(yōu)化問題的解法是優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的基本組成，也是優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。屬于無約束優(yōu)化方法的主要有：1、最速下降法2、牛頓型法3、共軛方向及共軛方向法4、共軛梯度法5、變尺度法6、坐標(biāo)輪換法7、鮑威爾法8、單形替換法下面主要介紹鮑威爾法的原理及應(yīng)用。鮑威爾法是直接利用函數(shù)值來構(gòu)造共軛方向的一種共軛方向法。這種方法是在研究具有正定矩陣G的二次函數(shù)f(x)=1/2XTGx+bTx+c的極小化問題時(shí)形成的。其基本思想是在不用導(dǎo)數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)造G的共軛方向。共軛方向的生成設(shè)Xk、Xk+1為從不同點(diǎn)出發(fā)，沿著同一方向dj進(jìn)行一維搜索而得到的兩個(gè)極小點(diǎn)，如圖所示。根據(jù)梯度和等值面相互垂直的特性，dj和xk、xk+1兩點(diǎn)處的梯度g、g+i之間存在關(guān)系ggH(dj)Tgk=0(dj)Tgk+1=0另一方面，對(duì)于上述二次函數(shù)，其xk、xk+1兩點(diǎn)處的梯度可表示為gk=Gxk+bg=Gxk+1+b兩式相減得國g—g=G(xk+1—xk)因而有k+1k(dj)T(g—g)=(dj)TG(xk+1—xk)=0若取方向dk=xk+1—xk，如圖4-15所示'，則dk和dj對(duì)G共軛。這說明只要沿著dj方向分別對(duì)函數(shù)作兩次一維搜索，得到兩個(gè)極小值xk和xk+1。那么這兩點(diǎn)的連線所給出的方向就是與一起對(duì)G共軛的方向。對(duì)于二維問題，f(x)的等值線為一簇橢圓，A、B為沿氣軸方向上的兩個(gè)極小值點(diǎn)，分別處于等值線與氣軸方向的切點(diǎn)上，如圖4-16所示。根據(jù)上述分析，則A、B兩點(diǎn)的連線AB就是與氣軸一起對(duì)G共軛的方向。沿此共軛方向進(jìn)行一維搜索就可以找到函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)x*?；舅惴ìF(xiàn)在針對(duì)二維情況來描述鮑威爾的基本算法，如圖4-17所示。任選一初始點(diǎn)xo，再選兩個(gè)線性無關(guān)的向量，如坐標(biāo)軸單位向量e「[10]t和e2=[01]t作為初始搜索方向。從x。出發(fā)，順次沿e、e作一維搜索得點(diǎn)x。、x0，兩點(diǎn)連線得一新方向di=x0—x。121221用di代替e1形成兩個(gè)線性無關(guān)向量e2、di，作為下一輪迭代的搜索方向。再從x20出發(fā)，沿di作一維搜索得點(diǎn)x,作為下一輪迭代的初始點(diǎn)。2從x1出發(fā)，順次沿e2、擊作一維搜索，得到點(diǎn)x「、x21，兩點(diǎn)連線得一新方向d2=x1—x1x,x21兩點(diǎn)是從不同點(diǎn)x0、x「出發(fā)，分別沿d1方向進(jìn)行一維搜索而得的極小點(diǎn)，所以xj、x21兩點(diǎn)連線的方向d2同d1—同對(duì)G共軛。再從x21出發(fā)，沿d2作一維搜索得點(diǎn)x2。因?yàn)閤2相當(dāng)于從x0出發(fā)分別沿G的兩個(gè)共軛方向d1、&2進(jìn)行兩次一維搜索而得到的點(diǎn)，所以x2點(diǎn)即是二維問題的極小值點(diǎn)x*

3)改進(jìn)算法的基本步驟如下:給定初始點(diǎn)xo(記作x00),選取初始方向組，它由n個(gè)線性無關(guān)的向量d10,d2o,…，即(如n個(gè)坐標(biāo)軸單位向量e1,e2，…,e)所組成，置k—0。從xk出發(fā)，順次沿dk,dk,…，dk作一維搜索得xk,xk,???xk，接著以xk為起點(diǎn)，沿012n12nn方向dk=xk-xk移動(dòng)一個(gè)xk-x0k的距離，得到xk=xk+(xk-xk)=2xk-xkx0k、xnk、xn+ik分別稱為一輪迭代的始點(diǎn)、終點(diǎn)和反射點(diǎn)』始點(diǎn)、終點(diǎn)和反射點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別表示為F0=f(x0k)F2=f(xk)F3=f(xp同時(shí)計(jì)算各中間點(diǎn)處的函數(shù)值，并記為fi=f(xik)(i=0,1,2,…,n)因此有F0=f0，F(xiàn)2=fn。11計(jì)算n個(gè)函數(shù)值之差f-f,f-f,…，f-f。0112n-1n記作^i=f-f.(i=1,2，…，n)其中最大者記為△=maxAi=f「f根據(jù)是否滿足判定條件m「'mFVF和(F-2F+F)CF-F-A)2<0.5A(F-F)2來確定是否要對(duì)原方向組進(jìn)行替換。3002302mm03若不滿足判別條件，則下輪迭代仍用原方向組，并以xk、x+1k中函數(shù)值小者作為下輪迭代的始點(diǎn)。nn若滿足上述判別條件，則下輪迭代應(yīng)對(duì)原方向組進(jìn)行替換，將dn+1k補(bǔ)充到原方向組的最后位置，而除掉dk。即新方向組為dk，dk，…,dk,dk,…,dk，d』作為下輪迭代的搜索m12m-1m+1nn+1方向。下輪迭代的始點(diǎn)取為沿d+1k方向進(jìn)行一維搜索的極小點(diǎn)x0k+1。判斷是否滿足收斂準(zhǔn)則。若滿足則取x0k+1為極小點(diǎn)，否則應(yīng)置k二k+1，返回2,繼續(xù)進(jìn)行下一輪迭代。這樣重復(fù)迭代的結(jié)果，后面加進(jìn)去的向量都彼此對(duì)G共軛，經(jīng)n輪迭代即可得到一個(gè)由n個(gè)共軛方向所組成的方向組。對(duì)于2次函數(shù)，最多不超過n次就可以找到極小點(diǎn)，而對(duì)于一般函數(shù)，往往要超過n次才能找到極小點(diǎn)(這里的“n”表示設(shè)計(jì)空間的維數(shù))。改進(jìn)后的鮑威爾法程序框圖如下開始給定X0、￡K—0是否否F2<F3llXnk^X0kH<￡結(jié)束可修改可編輯X*是否否F2<F3llXnk^X0kH<￡結(jié)束可修改可編輯X*—X0k+1否是Fnjf(xj<)F,jf(xk)F)jf(xk)002n3n+17△廣maxA.即+1—di+1k(i=m,m+1,...,n)d.k+i—di+1k(i=12...,m—1)an+1k：minf(xnk+adn+1k)x0k+1—xnk+an+1kdn+1kXn+Lnk—x0kxn+1k^2xnk~x0k判別條件是否滿足?X0k+1f1kX°k+1—Xnkk—k+1三、優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例1)模型用鮑威爾法解決二維問題1)模型f(x)=4(x—5)2+(x—6)2122)變量x、x

123)優(yōu)化設(shè)計(jì)源程序#include"stdio.h”#include"stdlib.h”#include"math.h”doubleobjf(doublex[]){doubleff;ff=4*x[0]*x[0]+x[1]*x[1]-40*x[0]-12*x[1]+136;return(ff);voidjtf(doublex0[],doubleh0,doubles[],intn,doublea[],doubleb[]){inti；double*x[3],h,f1,f2,f3；for(i=0；i<3；i++)x[i]=(double*)malloc(n*sizeof(double))；h=h0；for(i=0；i<n；i++)*(x[0]+i)=x0[i]；f1=objf(x[0])；for(i=0；i<n；i++)*(x[1]+i)=*(x[0]+i)+h*s[i]；f2=objf(x[1])；if(f2>=f1){h=-h0；for(i=0；i<n；i++)*(x[2]+i)=*(x[0]+i)；f3=f1；for(i=0；i<n；i++){*(x[0]+i)=*(x[1]+i)；*(x[1]+i)=*(x[2]+i)；}f1=f2；f2=f3；}for(；；){h=2*h；for(i=0；i<n；i++)*(x[2]+i)=*(x[1]+i)+h*s[i]；f3=objf(x[2])；if(f2<f3)break；else{for(i=0；i<n；i++){*(x[0]+i)=*(x[l]+i)；*(x[l]+i)=*(x[2]+i)；}fl=f2；f2=f3；}}if(h<0)for(i=0；i<n；i++){a[i]=*(x[2]+i);b[i]=*(x[0]+i)；}elsefor(i=0；i<n；i++){a[i]=*(x[0]+i)；b[i]=*(x[2]+i)；for(i=0；i<3；i++)free(x[i])；doublegold(doublea[],doubleb[],doubleeps,intn,doublexx[]){inti；doublef1,f2,*x[2],ff,q,w；for(i=0；i<2；i++)x[i]=(double*)malloc(n*sizeof(double));for(i=0;i<n;i++){*(x[0]+i)=a[i]+0.618*(b[i]-a[i]);*(x[1]+i)=a[i]+0.382*(b[i]-a[i]);}f1=objf(x[0]);f2=objf(x[1]);do{if(f1>f2){for(i=0;i<n;i++){b[i]=*(x[0]+i);*(x[0]+i)=*(x[1]+i);}f1=f2;for(i=0;i<n;i++)*(x[1]+i)=a[i]+0.382*(b[i]-a[i]);f2=objf(x[1]);else{for(i=0；i<n；i++){a[i]=*(x[1]+i)；*(x[1]+i)=*(x[0]+i)；}f2=f1；for(i=0；i<n；i++)*(x[0]+i)=a[i]+0.618*(b[i]-a[i])；f1=objf(x[0])；}q=0;for(i=0；i<n；i++)q=q+(b[i]-a[i])*(b[i]-a[i]);w二sqrt(q)；}while(w>eps)；for(i=0；i<n；i++)xx[i]=0.5*(a[i]+b[i])；ff=objf(xx)；for(i=0；i<2；i++)free(x[i])；return(ff)；}doubleoneoptim(doublex0[],doubles[],doubleh0,doubleepsg,intn,doublex[]){double*a,*b,ff；a=(double*)malloc(n*sizeof(double))；b=(double*)malloc(n*sizeof(double));jtf(x0,h0,s,n,a,b);ff=gold(a,b,epsg,n,x);free(a);free(b);return(ff);}doublepowell(doublep[],doubleh0,doubleeps,doubleepsg,intn,doublex口){inti,j,m;double*xx[4],*ss,*s;doublef,f0,f1,f2,f3,fx,dlt,df,sdx,q,d;ss=(double*)malloc(n*(n+1)*sizeof(double));s=(double*)malloc(n*sizeof(double));for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<=n;j++)*(ss+i*(n+1)+j)=0;*(ss+i*(n+1)+i)=1；}for(i=0；i<4；i++)xx[i]=(double*)malloc(n*sizeof(double))；for(i=0；i<n；i++)*(xx[0]+i)=p[i];for(；；){for(i=0；i<n；i++){*(xx[1]+i)=*(xx[0]+i)；x[i]=*(xx[1]+i)；}f0=f1=objf(x)；dlt=-1；for(j=0；j<n；j++){for(i=0；i<n；i++){*(xx[0]+i)=x[i]；*(s+i)=*(ss+i*(n+1)+j)；}f=oneoptim(xx[0],s,h0,epsg,n,x)；df二f0-f；if(df>dlt){dlt=2)變量x、x

123)優(yōu)化設(shè)計(jì)源程序sdx=O；for(i=0；i<n；i++)sdx=sdx+fabs(x[i]-(*(xx[1]+i)))；if(sdx<eps){free(ss)；free(s)；for(i=0；i<4；i++)free(xx[i])；return(f)；}for(i=0；i<