明目標(biāo)知重點填要點記疑點探要點究所然內(nèi)容索引010203當(dāng)堂測查疑缺04理解直線與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)；會建立平面直角坐標(biāo)系利用直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系解決一些實際問題；會用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題.明目標(biāo)、知重點填要點·記疑點1.用坐標(biāo)方法解決平面幾何問題的“三步曲”：平面直角坐標(biāo)系幾何元素代數(shù)幾何結(jié)論2.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系應(yīng)遵循的三個原則：(1)若曲線是軸對稱圖形,則可選它的對稱軸為坐標(biāo)軸.(2)常選特殊點作為直角坐標(biāo)系的原點.(3)盡量使已知點位于坐標(biāo)軸上.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,會簡化運算過程.探要點·究所然情境導(dǎo)學(xué)直線與圓的方程的應(yīng)用非常廣泛,對于生產(chǎn)、生活實踐以及平面幾何中與直線和圓有關(guān)的問題,可以建立直角坐標(biāo)系,通過直線與圓的方程,將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.本節(jié)我們通過幾個例子說明直線與圓的方程在實際生活以及平面幾何中的應(yīng)用.探究點一直線與圓的方程的應(yīng)用例1

如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個圓的圓拱跨度AB＝20m,拱高OP＝4m,建造時每間隔4m需要用一根支柱支撐,求支柱A2P2的高度(精確到0.01

m).解

建立

的直角坐標(biāo)系,使圓心在y軸上.設(shè)圓心的坐標(biāo)是(0,b),圓的半徑是r,那么圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2.

下面確定b和r的值.因為P、B都在圓上,所以它們的坐標(biāo)(0,4),(10,0)都滿足方程x2＋(y－b)2＝r2.于是,得到方程組02＋4－b2＝r2，10

＋0－b

＝r2

2

2解得b＝－10.5,r2＝14.52.所以,圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52.把點P2的橫坐標(biāo)x＝－2代入圓的方程,得(－2)2＋(y＋10.5)2＝14.52,即

y＋10.5＝

14.52－－22(P2

的縱坐標(biāo)

y＞0,平方根取正值).所以

y＝

14.52－－22－10.5≈14.36－10.5＝3.86(m).答

支柱A2P2的高度約為3.86

m.與感悟

解決直線與圓的實際應(yīng)用題的步驟為：(1)審題：從題目中抽象出幾何模型,明確已知和未知；

(2)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素；(3)求解：利用直線與圓的有關(guān)知識求出未知；(4)還原：將運算結(jié)果還原到實際問題中去.訓(xùn)練1

某圓拱橋的水面跨度20

m,拱高4

m.現(xiàn)有一船,寬10

m,水面以上高3

m,這條船能否從橋下通過？解

建立

的坐標(biāo)系.依題意,有A(－10,0),B(10,0),P(0,4),D(－5,0),E(5,0).設(shè)所求圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2,a＋102＋b2＝r2，2

2

2于是有a－10

＋b

＝r

，a2＋b－42＝r2.解此方程組,得a＝0,b＝－10.5,r＝14.5.所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2

＋(y

＋10.5)2

＝14.52(0≤y≤4).把點D的橫坐標(biāo)x＝－5代入上式,得y≈3.1.由于船在水面以上高3

m,3＜3.1,所以該船可以從橋下通過.探究點二

坐標(biāo)法證明幾何問題例2

已知內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直,求證：圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半.證明

如圖,以四邊形ABCD互相垂直的對角線CA,DB所在直線分別為x軸,y軸,建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).過四邊形ABCD外接圓的圓心O′分別作AC、BD、AD的垂線,垂足分別為M、N、E,則M、N、E分別是線段AC、BD、AD的中點.O′得

x

＝xM＝

,yO′＝y(tǒng)N＝由線段的中點坐標(biāo)公式,a＋c

b＋d2

2,xE＝a

yE＝d2,

2.所以|O′E|＝a＋c－a2＋b＋d－d2＝12

2

2

2

2

2

2b2＋c2.又|BC|＝

b2＋c2,所以|O′E|＝1

BC|.2|與感悟

用坐標(biāo)方法解決平面幾何問題的步驟：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.訓(xùn)練2

如圖,直角△ABC的斜邊長為定值2m,以斜邊的中點O為圓心作半徑為n的圓,直線BC交圓于P,Q兩點,求證：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2為定值.證明

如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點,以直線BC為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,于是有B(－m,0),C(m,0),P(－n,0),Q(n,0).設(shè)A(x,y),由已知,點A在圓x2＋y2＝m2上.|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).探究點三直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用例3

一艘輪船在沿直線返回港口的途中,接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報：臺風(fēng)中心位于輪船正西60km處,受影響的范圍是半徑長為20

km的圓形區(qū)域.已知港口位于臺風(fēng)中心正北30km處,如果這艘輪船不改變航線,那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？解

建立

的直角坐標(biāo)系,取10km為單位長度,由題意知輪船的起點和終點坐標(biāo)分別為(6,0),(0,3),6

3所以輪船航線所在直線方程為x＋y＝1,即x＋2y－6＝0,臺風(fēng)區(qū)域邊界所在圓的方程為x2＋y2＝4.由點到直線的距離公式,得圓心到直線的距離|－6|12＋22d＝

＝65>2.所以直線x＋2y－6＝0與圓x2＋y2＝4相離,因此這艘輪船即使不改變航線,那么它也不會受到臺風(fēng)的影響.與感悟針對這種類型的題目,即直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實踐中的應(yīng)用問題,關(guān)鍵是用坐標(biāo)法將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,最后再還原為實際問題.訓(xùn)練3

設(shè)半徑為3

km的圓形村落,A、B兩人同時從村落中心出發(fā),A向東,B向北,A出村后改變前進方向,斜著沿切于村落圓周的方向前進,后來恰好與B相遇,設(shè)A、B兩人的速度一定,其比為3∶1,問A、B兩人在何處相遇？解由題意以村中心為原點,正東方向為x軸的正方向,正北方向為y軸的正方向,建立直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)A、B兩人的速度分別為3v

km/h,v

km/h,設(shè)A出發(fā)a

h,在P處改變方向,又經(jīng)過b

h到達(dá)相遇點Q,則P(3av,0),Q(0,(a＋b)v),則|PQ|＝3bv,|OP|＝3av,|OQ|＝(a＋b)v.在Rt△OPQ中,|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4b.0－va＋b3av－03kPQ＝

,∴kPQ＝－4.4設(shè)直線

PQ

的方程為

y＝－3

＋m,x由PQ與圓x2＋y2＝9相切,42＋324|－4m|得 ＝3,解得

m＝15,4故

A、B兩人相遇在正北方離村落中心15

km

處.當(dāng)堂測·查疑缺1

2

3

41.在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi),過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為(

)A.5

2B.10

2D.20

2C.15

2解析

圓的方程化為(x－1)2＋(y－3)2＝10,設(shè)圓心為G,

G(1,3),最長弦AC為過E的直徑,1

2

3

4則|AC|＝2

10,最短弦BD為與GE垂直的弦,

,易得|BG|＝

10,|EG|＝

0－12＋1－32＝

5,|BD|＝2|BE|＝2

|BG|2－|EG|2＝2

5.所以四邊形ABCD

的面積答案

B22.若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B兩點,且兩圓在點A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是

.1

2

3

4解析

,在

Rt△OO1A

中,OA＝

5,O1A＝2

5,∴OO1＝5,1

2

3

4∴AC＝

5×2

5＝2,5∴AB＝4.答案

41

2

3

43.已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0.設(shè)該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC,BD,則四邊形ABCD

的面積為20

6

.1

2

3

44.已知集合A＝{(x,y)|x－y＋m≥0},集合B＝{(x,y)|x2＋y2≤1}.若A∩B＝?,則實數(shù)m的取值范圍是

.解析

如圖,A＝{(x,y)|x－y＋m≥0}表示直線x－y＋m＝0及其右下方區(qū)域,B＝{(x,y)|x2＋y2≤1}表示圓x2＋y2＝1及其,即1

2

3

4要使A∩B＝?,則直線x－y＋m＝0在圓x2＋y2＝1的下方,|0－0＋m|2>1,故

m<－

2.答案

m<－

2呈重點、現(xiàn)規(guī)律