-.z.函數(shù)=Acos()的圖象如下圖，，則=〔〕〔A〕(B)(C)－(D)【解析】選B.由圖象可得最小正周期為EQ\f(2π,3)，于是f(0)＝f(EQ\f(2π,3)),注意到EQ\f(2π,3)與EQ\f(π,2)關(guān)于EQ\f(7π,12)對稱，所以f(EQ\f(2π,3))＝－f(EQ\f(π,2))＝.如果函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則的最小值為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕(D)【解析】選A.函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱由此易得.函數(shù)y=sin〔*+〕〔>0,-<〕的圖像如下圖，則=________________【解析】由圖可知，函數(shù)的圖像如下圖，則。【解析】由圖象知最小正周期T＝〔〕＝＝，故＝3，又*＝時，f〔*〕＝0，即2〕＝0，可得，所以，2＝0。〕函數(shù)〔其中〕的圖象與*軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個最低點為.(Ⅰ)求的解析式；〔Ⅱ〕當(dāng)，求的值域.【解析】〔1〕由最低點為得A=2.由*軸上相鄰的兩個交點之間的距離為得=，即，由點在圖像上得故又〔2〕當(dāng)=，即時，取得最大值2；當(dāng)即時，取得最小值-1，故的值域為[-1,2]把函數(shù)y＝cos(3*＋)的圖象適當(dāng)變動就可以得到y(tǒng)＝sin(－3*)的圖象，這種變動可以是()A.向右平移B.向左平移C.向右平移D.向左平移分析：三角函數(shù)圖象變換問題的常規(guī)題型是：函數(shù)和變換方法，求變換后的函數(shù)或圖象，此題是變換前后的函數(shù)，求變換方式的逆向型題目，解題的思路是將異名函數(shù)化為同名函數(shù)，且須*的系數(shù)一樣.解：∵y＝cos(3*＋)＝sin(－3*)＝sin［－3(*－)］∴由y＝sin［－3(*-)］向左平移才能得到y(tǒng)＝sin(－3*)的圖象.答案：D4.將函數(shù)y＝f(*)的圖象沿*軸向右平移，再保持圖象上的縱坐標(biāo)不變，而橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的曲線與y＝sin*的圖象一樣，則y＝f(*)是()A.y＝sin(2*＋)B.y＝sin(2*－)C.y＝sin(2*＋)D.y＝sin(2*－)分析：這是三角圖象變換問題的又一類逆向型題，解題的思路是逆推法.解：y＝f(*)可由y＝sin*，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)壓縮為原來的1/2，得y=sin2*;再沿*軸向左平移得y＝sin2(*＋)，即f(*)＝sin(2*＋).假設(shè)函數(shù)f(*)＝sin2*＋acos2*的圖象關(guān)于直線*＝－對稱，則a＝–1.分析：這是函數(shù)圖象的對稱軸方程，求函數(shù)解析式中參數(shù)值的一類逆向型題，解題的關(guān)鍵是如何巧用對稱性.解：∵*1＝0，*2＝－是定義域中關(guān)于*＝－對稱的兩點∴f(0)＝f(－)即0＋a＝sin(－)＋acos(－)∴a＝－1假設(shè)對任意實數(shù)a，函數(shù)y＝5sin(π*－)(k∈Ｎ)在區(qū)間［a，a＋3］上的值出現(xiàn)不少于4次且不多于8次，則k的值是()A.2B.4C.3或4D.2或3分析：這也是求函數(shù)解析式中參數(shù)值的逆向型題，解題的思路是：先求出與k相關(guān)的周期T的取值范圍，再求k.解：∵T＝又因每一周期內(nèi)出現(xiàn)值時有2次，出現(xiàn)4次取2個周期，出現(xiàn)值8次應(yīng)有4個周期.∴有4T≥3且2T≤3即得≤T≤，∴≤≤解得≤k≤，∵k∈Ｎ，∴k＝2或3.巧求初相角求初相角是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個難點，怎樣求初相角"初相角有幾個"下面通過錯解剖析，介紹四種方法.如圖，它是函數(shù)y＝Asin(ω*＋)(A＞0，ω＞0)，｜｜＜π的圖象，由圖中條件，寫出該函數(shù)解析式.錯解：由圖知：A＝5由得T＝3π，∴ω＝＝∴y＝5sin(*＋)將(π，0)代入該式得：5sin(π＋)＝0由sin(＋)＝0，得＋＝kπ＝kπ－(k∈Z)∵｜｜＜π，∴＝－或＝∴y＝5sin(*－)或y＝5sin(*＋)分析：由題意可知，點(，5)在此函數(shù)的圖象上，但在y＝5sin(*－)中，令*＝，則y＝5sin(－)＝5sin(－)＝－5，由此可知：y＝5sin(*－)不合題意.則，問題出在哪里呢"我們知道，三角函數(shù)值求角，在一個周期內(nèi)一般總有兩個解，只有在限定的范圍內(nèi)才能得出惟一解.正解一：(單調(diào)性法)∵點(π，0)在遞減的那段曲線上∴＋∈［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)由sin(＋)＝0得＋＝2kπ＋π∴＝2kπ＋(k∈Z)∵｜｜＜π，∴＝正解二：(最值點法)將最高點坐標(biāo)(，5)代入y＝5sin(*＋)得5sin(＋)＝5∴＋＝2kπ＋∴＝2kπ＋(k∈Z)取＝正解三：(起始點法)函數(shù)y＝Asin(ω*＋)的圖象一般由"五點法〞作出，而起始點的橫坐標(biāo)*正是由ω*+=0解得的，故只要找出起始點橫坐標(biāo)*0,就可以迅速求得角.由圖象求得*0=-,∴=-ω*0=-(-)=.正解四：(平移法)由圖象知，將y=5sin(*)的圖象沿*軸向左平移個單位，就得到此題圖象，故所求函數(shù)為y＝5sin(*＋)，即y＝5sin(*＋).【根底知識精講】1.用五點法作y=Asin(ω*+φ)(ω＞0)的圖像時，我們采用換元法，將ω*+φ看成y=sin*中的*，模仿y=sin*的五點法來作.ω*1+φ=0*1=-,ω*2+φ=*2=ω*3=π*3=,ω*4+φ=*4=,ω*5+φ=2π*5=.即五點(-,0),(,A),(,0).(,-A).(,0)2.函數(shù)y=Asin(ω*+φ)的圖像與y=sin*的圖像關(guān)系.(1)振幅變換函數(shù)y=Asin*(A＞0,且A≠1)的圖像，可以看作是y=sin*圖像上所有點的縱坐標(biāo)伸長(A＞1)或縮短(0＜A＜1)到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到的.這種變換叫振幅變換，它實質(zhì)上是縱向的伸縮.(2)周期變換函數(shù)y=sinω*(ω＞0,且ω≠1)的圖像，可以看作是把y=sin*的圖像上各點的橫坐標(biāo)都縮短(ω＞1)或伸長(0＜ω＜1到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到的，由y=sin*的圖像變換為y=sinω*的圖像，其周期由2π變.這種變換叫做周期變換.它實質(zhì)上是橫向的伸縮.(3)相位變換函數(shù)y=sin(*+φ)(φ≠0)的圖像，可以看作是把y=sin*的圖像上各點向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜個單位而得到的.這種由y=sin*的圖像變換為y=sin(*+φ)的圖像的變換，使相位*變?yōu)?+φ,我們稱它為相位變換.它實質(zhì)上是一種左右平移變換.應(yīng)用振幅變換、周期變換、相位變換(左右平移變移)和上下平移變換可由y=sin*的圖像得到y(tǒng)=Asin(ω*+φ)+k的圖像.事實上，設(shè)f、t、h分別表示相位變換，周期變換，振幅變換，則變換作圖法共有以下不同的程序.(1)f→t→h;(2)f→g→t(3)t→h→f;(4)t→f→h;(5)h→f→t;(6)h→t→f3.y=Asin(ω*+φ)(A＞0，ω＞0)與振動在物理學(xué)中，y=Asin(ωt+φ)(A＞0,ω＞0),其中t∈［0，+∞)，表示簡諧振動的運動方程.這時參數(shù)A，ω，φ有如下物理意義.A稱為振幅，它表示振動時物體離開平衡位置的最大距離.T=稱為周期，它表示振動一次所需的時間(亦即函數(shù)y的最小正周期).f==稱為振動的頻率，它表示單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)，ωt+φ叫做相位，當(dāng)t=0時的相位，即φ稱為初相.4.函數(shù)圖像的對稱變換一個函數(shù)的圖像經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q(例如對稱、平移、伸縮等)得到與其圖像有關(guān)函數(shù)的圖像，叫做函數(shù)的初等變換.前面的平移、伸縮變換均屬初等變換.對稱變換主要指下面幾種：(1)函數(shù)y=-f(*)的圖像與y=f(*)的圖像關(guān)于*軸對稱.(2)函數(shù)y=f(-*)的圖像與y=f(*)的圖像關(guān)于y軸對稱.(3)函數(shù)y=f(-*)的圖像與y=-f(*)的圖像關(guān)于原點對稱.(4)函數(shù)y=f-1(*)(或*=f(y))的圖像與y=f(*)的圖像關(guān)于直線y=*對稱.【重點難點解析】重點：用"五點法〞畫函數(shù)y=Asin(ω*+φ)的簡圖及三角函數(shù)的圖像變換.難點：三角函數(shù)的圖像變換.即由y=sin*的圖像變換到y(tǒng)=Asin(ω*+φ)的過程.關(guān)鍵：理解A、ω、φ的對圖像變化所起的作用.例1函數(shù)y=3cos(-)的圖像可以由y=sin*的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到"解：y=3cos(-)=3sin［+(-)］=3sin(+).先將y=sin*的圖像向右平移個單位，得到y(tǒng)1=sin(*+)的圖像.再將y1的圖像上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到y(tǒng)2=sin(+)的圖像.再將y2的圖像上各點的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍，就得到所求函數(shù)的圖像.評析：這種圖像變換的順序通常是先作相位變換，再作周期變換，最后作振幅變換.此題中假設(shè)將相位變換與周期變換的順序交換，得到的結(jié)果將是y=3sin(+)而不是y=3sin(+).例2用五點法作出函數(shù)y=4sin(+)在一個周期內(nèi)的簡圖.解：函數(shù)y=4sin(+)的振幅A=4，周期T=4π,令+=0,得初始值*0=-(初始值指圖像由*軸下方向上經(jīng)過*軸時的橫截距).列表：+0π2π*-y040-40評注：注意到五點的橫坐標(biāo)是從*0開場，每次增加周期的，即*i=*i-1+(i=1,2,3,4)可簡化*的五個值的運算.例3設(shè)三角函數(shù)f(*)=sin(*+)(k≠0).(1)寫出f(*)的最大值M，最小值m和最小正周期T；(2)試求最小正整數(shù)k，使得當(dāng)自變量*在任意兩個整數(shù)間(包括整數(shù)本身)變化時，函數(shù)f(*)至少有一個值是M，一個值是m.解：(1)M=1,m=-1,T==.(2)f(*)在它的每一個周期中都恰好有一個值是M與一個值是m，而任意兩個整數(shù)間的距離都≥1，因此要使任意兩個整數(shù)間函數(shù)f(*)至少有一個值是M與一個值m，必須且只須f(*)的周期≤1，即≤1,｜k｜≥10π=31.4,可見，k=32就是這樣的最小整數(shù).例4正弦數(shù)y=Asin(ω*+φ)(其中A＞0，ω＞0)的一個周期的圖像如下圖，試求函數(shù)的解析式.分析：求函數(shù)的解析式，就是確定解析式中A，ω，φ的值.由圖像中三個點的坐標(biāo)列出A，ω，φ的方程組求解.假設(shè)令*=ω*+φ,要注意*0=-是初始值，對應(yīng)于*=0,*=-π時對應(yīng)于*=π.∴函數(shù)解析式為y=2sin(*+).【難題巧解點拔】例1指出將y=sin*的圖像變換為y=sin(2*+)的圖像的兩種方法.思路1*→2*→2(*+)=2*+.解法1y=sin*y=sin2*y=sin［2(*+)］=sin(2*+).思路2*→*+→2*+.解法2y=sin*y=sin(*+)y=sin(2*+).說明：在解法1中，先伸縮，后平移.在解法2中，先平移，后伸縮.外表上看來，兩種變換方法中的平移是不同的(即和)，但由于伸縮變換的影響，所以實質(zhì)上都是一致的.例2函數(shù)f(*)的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍，再向左平移個單位，所得到的曲線是y=sin*的圖像，試求函數(shù)y=f(*)的解析式.分析：這個問題有兩種解法，一是考慮以上變換的"逆變換〞(所謂"逆變換〞，即將以上變換倒過來，由y=sin*變換到y(tǒng)=f(*);二是代換法，即設(shè)y=Asin(ω*+φ),然后按題設(shè)中的變換分兩步得：y=Asin［(*+)+φ］,它就是y=sin*，即可求得A、ω、φ的值.解法1：問題即是將y=sin*的圖像先向右平移個單位，得y=sin(*-);再將橫坐標(biāo)壓縮到原來的，得y=sin(2*-),即y=-cos2*.這就是所求函數(shù)f(*)的解析式.例2正弦函數(shù)y=Asin(ω*+φ)的一段曲線(如下列圖)，試求解析式.解：(1)因為A=3，T=π,ω=2,φ=-ω*0=-2(-)=,所以y=3sin(2*+).(2)A=,當(dāng)*=0時，y=1,所以sinφ=1,又｜φ｜＜，所以φ=,當(dāng)*=π時，y=0，即sin(ω·+)=0,所以ω=,所以y=sin(*+).評析：假設(shè)曲線與*軸的交點的坐標(biāo)，先確定ω=；假設(shè)曲線與y軸的交點的坐標(biāo)，先確定φ；假設(shè)先確定ω則有φ=-ω*0,其中*0是離y軸最近的遞增區(qū)間的中心點的橫坐標(biāo).1.如圖，是正弦函數(shù)f(*)=Asin(ω*+φ)(A＞0,ω＞0)的一個周期的圖像.(1)寫出f(*)的解析式；(2)假設(shè)g(*)與f(*)的圖像關(guān)于直線*=2對稱，寫出g(*)的解析式.2.試說明y=cos*的圖像經(jīng)怎樣的變換可得到y(tǒng)=3cos(3*+)+1的圖像"3.y=Asin(ω*+φ)(A＞0,ω＞0,0＜φ＜π的最小正周期為，最小值為-2，且過點(π，0)，求它的表達(dá)式.1.f(*)=Asin(ω*+φ)(A＞0,ω＞0,｜φ｜＜)的圖像在y軸上的截距為1，它在y軸右側(cè)的第一個最大值點和最小值點分別為(*0，2)和(*0+3π，-2).(Ⅰ)求f(*)的解析式；(Ⅱ)y=f(*)的圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)，然后再將所得圖像向*軸正方向平移個單位，得到函數(shù)y=g(*)的圖像.寫出函數(shù)y=g(*)的解析式并用列表作圖的方法畫出y=g(*)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的圖像.*yeq\f(13π*yeq\f(13π,3)ππeq\f(π,3)3－3O〔1〕試用y=Asin〔ω*+φ)型函數(shù)表示其解析式；〔2〕求這個函數(shù)關(guān)于直線*=2π對稱的函數(shù)解析式．解：〔1〕T=eq\f(13π,3)－eq\f(π,3)=4π．∴ω=eq\f(2π,T)=eq\f(1,2)．又A=3，由圖象可知所給曲線是由y=3sineq\f(*,2)沿*軸向右平移eq\f(π,3)而得到的．∴解析式為y=3sineq\f(1,2)(*－eq\f(π,3))．(2)設(shè)〔*，y)為y=3sin(eq\f(1,2)*－eq\f(π,6)〕關(guān)于直線*=2π對稱的圖像上的任意一點，則該點關(guān)于直線*=2π的對稱點應(yīng)為〔4π－*，y)，故與y=3sin(eq\f(1,2)*－eq\f(π,6)〕關(guān)于直線*=2π對稱的函數(shù)解析式是y=3sin［eq\f(1,2)〔4π－*)－eq\f(π,6)］=－3sin(eq\f(1,2)*＋eq\f(π,6)〕．點評y=sin(ω*+φ)(ω＞0)的圖象由y=sinω*的圖象向左平移〔φ＞0〕或向右平移〔φ＜0〕eq\f(|φ|,ω)個單位．特別要注意不能搞錯平移的方向和平移的單位數(shù)量．求一個函數(shù)的圖象關(guān)于一條直線對稱圖象的函數(shù)解析式時，要注意解幾知識的運用．例1求函數(shù)f(*)=sin2*+2sin*cos*+3cos2*的最大值，并求出此時*的值．分析由于f〔*〕的表達(dá)式較復(fù)雜，需進(jìn)展化簡．解y=sin2*+cos2*+sin2*+1+cos2*=sin2*+cos2*+2=eq\r(2)sin(2*+eq\f(π,4))+2當(dāng)2*+eq\f(π,4)=2kπ+eq\f(π,2)，即*=kπ+eq\f(π,8)(k∈Z)時，yma*=eq\r(2)+2．點評要熟練掌握y=asin*+bcos*類型的三角函數(shù)最值的求法，asin*+bcos*=eq\r(a2+b2)sin〔*+φ〕．例2假設(shè)θ∈［－eq\f(π,12),eq\f(π,12)］，求函數(shù)y=cos(eq\f(π,4)+θ〕+sin2θ的最小值．分析在函數(shù)表達(dá)式中，含有兩個角和兩個三角函數(shù)名稱，假設(shè)能化成含有一個角和一個三角函數(shù)名稱的式子，則問題可得到簡化．解y=cos(eq\f(π,4)+θ)－cos［2(θ+eq\f(π,4))］=cos(eq\f(π,4)+θ)－［2cos2(θ+eq\f(π,4))－1］=－2cos2(θ+eq\f(π,4))+cos(eq\f(π,4)+θ)+1=－2［cos2(θ+eq\f(π,4))－eq\f(1,2)cos(θ+eq\f(π,4))］+1=－2［cos(θ+eq\f(π,4))－eq\f(1,4)］2+eq\f(9,8)．∵θ∈［－eq\f(π,12),eq\f(π,12)］，∴θ＋eq\f(π,4)∈［eq\f(π,6)，eq\f(π,3)］．∴eq\f(1,2)≤cos(θ+eq\f(π,4))≤eq\f(eq\r(3),2)，