2.3平面向量的基本定理及坐標表示2.3.1平面向量基本定理2.3平面向量的基本定理及坐標表示【知識提煉】1.平面向量基本定理條件e1，e2是同一平面內的兩個___________結論對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使____________基底_______的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.不共線向量a=λ1e1+λ2e2不共線【知識提煉】條件e1，e2是同一平面內的兩個________2.兩向量的夾角(1)定義：作向量=a，=b，則_________________________叫做向量a與b的夾角.(2)特例：①θ=0°，向量a，b_____.②θ=90°，向量a，b_____.③θ=180°，向量a，b_____.∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)同向垂直反向2.兩向量的夾角∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)同向垂直反【即時小測】1.思考下列問題.(1)任意兩個向量都可以作為基底嗎？提示：不能.若e1∥e2，則e1=λe2，對于任一向量a=a1e1+a2e2=(a1λ+a2)e2，所以a與e2共線，即只能表示與其共線的向量，所以作為基底的向量不能共線.(2)平面向量的基底是唯一的嗎？提示：不是.平面內任何不共線的兩個向量都可以作為基底，當基底一旦確定后，平面內任何一向量都可以用這一基底唯一表示.【即時小測】2.當向量a與b共線時，則這兩個向量的夾角θ為(

)A.0°

B.90°

C.180°

D.0°或180°【解析】選D.當向量a與b共線，即兩向量同向時夾角θ=0°，反向時夾角θ=180°.2.當向量a與b共線時，則這兩個向量的夾角θ為()3.設e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是(

)A.e1與e2B.e1+e2與2e1+2e2C.e1與2e2

D.e1+e2與e2【解析】選B.由于e1與e2不共線，所以e1與2e2不共線，e1+e2與e2不共線，故都可以作為基底，而2e1+2e2=2(e1+e2)，所以e1+e2與2e1+2e2共線，故不能作為基底.3.設e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，以下各組向量中4.若a，b不共線，且la+mb=0(l，m∈R)，則l=________，m=________.【解析】因為0=0·a+0·b且a與b不共線，又0=la+mb，所以根據平面向量基本定理，可知l=m=0.答案：0

04.若a，b不共線，且la+mb=0(l，m∈R)，則l=_【知識探究】知識點1

平面向量基本定理觀察圖形，回答下列問題：問題1：判斷兩個向量能否作為基底的關鍵是什么？問題2：平面向量基本定理與向量的線性運算有何關系？【知識探究】【總結提升】1.對平面向量基本定理的兩點說明(1)作用和意義平面向量基本定理告訴我們，平面內任何一個向量都可以沿著兩個不共線的方向分解成兩個向量的和，并且這種分解是唯一的.【總結提升】(2)基底的性質：①不共線性平面內兩個不共線的向量才可以作為一組基底，基底不同，表示也不同.由于零向量與任何向量共線，所以零向量不可以作為基底.②不唯一性對基底的選取不唯一，平面內任一向量a都可被這個平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的.(2)基底的性質：2.平面向量基本定理與向量共線定理的聯系由平面向量共線定理可知，任意一個向量可以用一個與它共線的非零向量來線性表示，而且這種表示是唯一的，故平面向量基本定理是向量共線定理從一維到二維的推廣.2.平面向量基本定理與向量共線定理的聯系知識點2兩向量的夾角觀察圖形，回答下列問題：知識點2兩向量的夾角問題1：平面中任意兩個向量都可以平移至公共起點，它們存在夾角嗎？問題2：若存在夾角，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？兩向量的夾角與直線的夾角范圍有何不同？問題1：平面中任意兩個向量都可以平移至公共起點，它們存在夾角【總結提升】對向量的夾角的兩點說明(1)向量夾角的幾何表示：依據向量夾角的定義，兩個非零向量的夾角是將兩個向量的起點移到同一點，這樣它們所成的角才是向量的夾角.(2)注意事項：①向量的夾角是針對非零向量定義的.②向量的夾角與直線的夾角范圍是不同的，它們分別是[0，π]和【總結提升】對向量的夾角的兩點說明【題型探究】類型一對平面向量基本定理的理解【典例】1.(2015·黃石高一檢測)已知平行四邊形ABCD，下列各組向量中，是該平面內所有向量基底的是()【題型探究】2.如果e1、e2是平面α內兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是(

)①a=λe1+μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內的所有向量；②對于平面α內任一向量a，使a=λe1+μe2的實數對(λ，μ)有無窮多個；③若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線，則④若實數λ，μ使得λe1+μe2=0，則λ=μ=0.A.①②

B.②③

C.③④

D.②2.如果e1、e2是平面α內兩個不共線的向量，那么下列說法中3.設向量e1與e2不共線，若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2，則實數x，y的值分別為(

)A.0，0B.1，1

C.3，0

D.3，43.設向量e1與e2不共線，若3xe1+(10-y)e2=(【解題探究】1.典例1中兩個向量可以作為基底的條件是什么？提示：兩個向量可以作為基底的條件是兩向量不共線.2.典例2中，平面向量基本定理應關注哪些要點？提示：(1)只要是同一平面內兩不共線的向量都可以作為一組基底，所以基底不唯一，λ1，λ2唯一.(2)零向量與任意向量都共線，因此零向量不能作為基底.3.典例3中求x，y的依據是什么？提示：向量相等的條件.【解題探究】1.典例1中兩個向量可以作為基底的條件是什么？【解析】1.選D.由于與不共線，所以是一組基底.2.選B.由平面向量基本定理可知，①④是正確的．對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的．對于③，當λ1λ2=0或μ1μ2=0時不一定成立，應為λ1μ2-λ2μ1=0.3.選D.因為向量e1與e2不共線，所以解得【解析】1.選D.由于與不共線，所以是一組基底.【方法技巧】1.對基底的理解(1)兩個向量能否作為一組基底，關鍵是看這兩個向量是否共線．若共線，則不能作基底，反之，則可作基底．(2)一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這組基底唯一線性表示出來．設向量a與b是平面內兩個不共線的向量，若x1a+y1b=x2a+y2b，則【方法技巧】2.重要結論e1，e2是平面內一組基底當λ1e1+λ2e2=0時恒有λ1=λ2=0若a=λ1e1+λ2e2當λ2=0時，a與e1共線當λ1=0時，a與e2共線當λ1=λ2=0時，a=02.重要結論當λ1e1+λ2e2=0時恒有λ1=λ2=0若a【變式訓練】1.設e1，e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：①e1與e1+e2；②e1-2e2與e2-2e1；③e1-2e2與4e2-2e1；④e1+e2與e1-e2.其中能作為平面內所有向量的一組基底的是________.(寫出所有滿足條件的序號)【變式訓練】1.設e1，e2是不共線的兩個向量，給出下列四組【解析】①設e1+e2=λe1，則無解，所以e1+e2與e1不共線，即e1與e1+e2可作為一組基底；②設e1-2e2=λ(e2-2e1)，則(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0，則無解，所以e1-2e2與e2-2e1不共線，即e1-2e2與e2-2e1可作為一組基底；【解析】①設e1+e2=λe1，則無解，③因為e1-2e2=-(4e2-2e1)，所以e1-2e2與4e2-2e1共線，即e1-2e2與4e2-2e1不可作為一組基底；④設e1+e2=λ(e1-e2)，則(1-λ)e1+(1+λ)e2=0，所以無解，所以e1+e2與e1-e2不共線，即e1+e2與e1-e2可作為一組基底.答案：①②④③因為e1-2e2=-(4e2-2e1)，所以e1-2e2.若向量a，b不共線，則c=2a-b，d=3a-2b，試判斷c，d能否作為基底.【解析】設存在實數λ，使c=λd，則2a-b=λ(3a-2b)，即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0.由于向量a，b不共線，所以2-3λ=2λ-1=0，這樣的λ是不存在的，從而c，d不共線，故c，d能作為基底.2.若向量a，b不共線，則c=2a-b，d=3a-2b，試判類型二用基底表示向量【典例】1.已知=a，=b，C為線段AO上距A較近的一個三等分點，D為線段CB上距C較近的一個三等分點，則用a，b表示=____.類型二用基底表示向量2.如圖，?ABCD的對角線AC和BD交于點M，=a，=b，試用基底a，b表示2.如圖，?ABCD的對角線AC和BD交于點M，=a，【解題探究】1.典例1中，與兩個向量有何關系，與與呢？提示：2.典例2中，與的關系是什么？在△ADB中，與的關系如何？提示：與

互為相反向量，【解題探究】1.典例1中，與兩個向量有何關【解析】1.因為答案：【解析】1.因為2.=a+b，=b-a.因為平行四邊形的對角線互相平分，所以=a+b.所以=-a-b.=b-a.所以=a-b.2.=a+b，【延伸探究】1.(變換條件，改變問法)本例2中其他條件不變，添加“”，試表示【延伸探究】【解析】因為，所以所以【解析】因為，所以2.(變換條件，改變問法)本例2中“若E，F分別是邊CD與BC的中點，，其中λ，μ∈R，則λ+μ的值如何？2.(變換條件，改變問法)本例2中“若E，F分別是邊CD與B【解析】因為所以又a，b不共線，所以，解得所以【解析】因為【方法技巧】平面向量基本定理的作用以及注意點(1)根據平面向量基本定理，任何一組基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，實質上是利用三角形法則或平行四邊形法則，進行向量的加減法運算.(2)要注意適當選擇向量所在的三角形或平行四邊形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量與未知向量的關系，用方程的觀點求出未知向量.【方法技巧】平面向量基本定理的作用以及注意點【補償訓練】如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分別是DC和AB的中點，若=a，=b，試用a，b表示【補償訓練】如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD【解析】如圖所示，連接CN，則四邊形ANCD是平行四邊形.則【解析】如圖所示，連接CN，則四邊形ANCD是平行四邊形.類型三向量夾角的簡單求解【典例】1.(2015·韶關高一檢測)已知向量a，b，c滿足|a|=1，|b|=2，c=a+b，c⊥a，則a，b的夾角等于_______.2.已知兩個非零向量a與b的夾角為60°，試求下列向量的夾角：(1)a與-b；(2)2a與3b.類型三向量夾角的簡單求解【解題探究】1.典例1中，以a，b，c作為三角形的三邊，結合c=a+b及c⊥a，判斷三角形的形狀如何？提示：三角形為直角三角形.2.典例2中，-b的幾何意義是什么？a與b的夾角與2a與3b的夾角之間的關系是什么？提示：-b是b的相反向量，a與b的夾角與2a與3b的夾角是相同的.【解題探究】1.典例1中，以a，b，c作為三角形的三邊，結合【解析】1.作=a，=b，則c=a+b=(如圖所示)，則a，b夾角為180°-∠C.因為|a|=1，|b|=2,c⊥a，所以∠C=60°，所以a，b的夾角為120°.答案：120°【解析】1.作=a，=b，2.由向量夾角的定義，作出a與b的夾角，(1)如圖1，向量a與-b的夾角為120°.(2)如圖2，向量2a與3b的夾角為60°.2.由向量夾角的定義，作出a與b的夾角，(1)如圖1，向量a【延伸探究】若題(1)的已知條件中的“|b|=2”改為“|b|=”，其余條件都不變，則a，b的夾角又如何求解呢？【延伸探究】若題(1)的已知條件中的“|b|=2”改為“|b【解析】作=a，=b，則c=a+b=(如圖所示)，則a，b夾角為180°-∠C.因為|a|=1，|b|=c⊥a，所以∠C=45°，所以a，b的夾角為135°.【解析】作=a，=b，則c=a+b=(如圖所【方法技巧】兩向量夾角的實質與求解方法(1)兩向量夾角的實質：從同一起點出發的兩個非零向量構成的不大于平角的角，結合平面幾何知識加以解決.(2)求解方法：利用平移的方法使兩個向量起點重合，作出兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出.【方法技巧】兩向量夾角的實質與求解方法【變式訓練】如圖，已知△ABC是等邊三角形.(1)求向量與向量的夾角.(2)若E為BC的中點，求向量與的夾角．【變式訓練】如圖，已知△ABC是等邊三角形.【解析】(1)因為△ABC為等邊三角形，所以∠ABC=60°.如圖，延長AB至點D，使AB=BD，則

，所以∠DBC為向量與的夾角．因為∠DBC=120°，所以向量

與

的夾角為120°.(2)因為E為BC的中點，所以AE⊥BC，所以與的夾角為90°.【解析】(1)因為△ABC為等邊三角形，【補償訓練】設非零向量a，b，c滿足|a|=|b|=|c|，a+b=c，則a與b的夾角θ=_______.【解析】作=a，=b，則=a+b=c，如圖所示，因為|a|=|b|=|c|，所以△OAB是等邊三角形，所以a與b的夾角θ=120°.答案：120°【補償訓練】設非零向量a，b，c滿足|a|=|b|=|c|，易錯案例求向量的夾角【典例】(2015·漳州高一檢測)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，||=，||=1，則與

的夾角θ=______.易錯案例求向量的夾角【失誤案例】【失誤案例】【錯解分析】分析解題過程，你知道錯在哪里嗎？提示：錯誤的根本原因是誤認為∠ACB是與的夾角，其實不然，∠ACB是與

的夾角，與

的起點不同，則∠ACB不是夾角．【錯解分析】分析解題過程，你知道錯在哪里嗎？【自我矯正】如圖所示，延長AC到D，使AC=CD，則，∠BCD是與的夾角，由于∠BCD+∠ACB=180°，∠ACB=60°，則∠BCD=180°-60°=120°，即θ=120°.答案：120°【自我矯正】如圖所示，延長AC到D，使AC=CD，則【防范措施】確定平面向量夾角的兩個關注點(1)明確向量夾角的概念，根據夾角的概念確定夾角，解題時注意向量的方向，利用平移方法使兩個向量的起點相同.(2)解題時注意結合平面圖形知識求解向量夾角，確定夾角后注意結合圖形進行檢驗，看是否符合.【防范措施】確定平面向量夾角的兩個關注點2.3平面向量的基本定理及坐標表示2.3.1平面向量基本定理2.3平面向量的基本定理及坐標表示【知識提煉】1.平面向量基本定理條件e1，e2是同一平面內的兩個___________結論對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使____________基底_______的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.不共線向量a=λ1e1+λ2e2不共線【知識提煉】條件e1，e2是同一平面內的兩個________2.兩向量的夾角(1)定義：作向量=a，=b，則_________________________叫做向量a與b的夾角.(2)特例：①θ=0°，向量a，b_____.②θ=90°，向量a，b_____.③θ=180°，向量a，b_____.∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)同向垂直反向2.兩向量的夾角∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)同向垂直反【即時小測】1.思考下列問題.(1)任意兩個向量都可以作為基底嗎？提示：不能.若e1∥e2，則e1=λe2，對于任一向量a=a1e1+a2e2=(a1λ+a2)e2，所以a與e2共線，即只能表示與其共線的向量，所以作為基底的向量不能共線.(2)平面向量的基底是唯一的嗎？提示：不是.平面內任何不共線的兩個向量都可以作為基底，當基底一旦確定后，平面內任何一向量都可以用這一基底唯一表示.【即時小測】2.當向量a與b共線時，則這兩個向量的夾角θ為(

)A.0°

B.90°

C.180°

D.0°或180°【解析】選D.當向量a與b共線，即兩向量同向時夾角θ=0°，反向時夾角θ=180°.2.當向量a與b共線時，則這兩個向量的夾角θ為()3.設e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，以下各組向量中不能作為基底的是(

)A.e1與e2B.e1+e2與2e1+2e2C.e1與2e2

D.e1+e2與e2【解析】選B.由于e1與e2不共線，所以e1與2e2不共線，e1+e2與e2不共線，故都可以作為基底，而2e1+2e2=2(e1+e2)，所以e1+e2與2e1+2e2共線，故不能作為基底.3.設e1，e2是同一平面內兩個不共線的向量，以下各組向量中4.若a，b不共線，且la+mb=0(l，m∈R)，則l=________，m=________.【解析】因為0=0·a+0·b且a與b不共線，又0=la+mb，所以根據平面向量基本定理，可知l=m=0.答案：0

04.若a，b不共線，且la+mb=0(l，m∈R)，則l=_【知識探究】知識點1

平面向量基本定理觀察圖形，回答下列問題：問題1：判斷兩個向量能否作為基底的關鍵是什么？問題2：平面向量基本定理與向量的線性運算有何關系？【知識探究】【總結提升】1.對平面向量基本定理的兩點說明(1)作用和意義平面向量基本定理告訴我們，平面內任何一個向量都可以沿著兩個不共線的方向分解成兩個向量的和，并且這種分解是唯一的.【總結提升】(2)基底的性質：①不共線性平面內兩個不共線的向量才可以作為一組基底，基底不同，表示也不同.由于零向量與任何向量共線，所以零向量不可以作為基底.②不唯一性對基底的選取不唯一，平面內任一向量a都可被這個平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的.(2)基底的性質：2.平面向量基本定理與向量共線定理的聯系由平面向量共線定理可知，任意一個向量可以用一個與它共線的非零向量來線性表示，而且這種表示是唯一的，故平面向量基本定理是向量共線定理從一維到二維的推廣.2.平面向量基本定理與向量共線定理的聯系知識點2兩向量的夾角觀察圖形，回答下列問題：知識點2兩向量的夾角問題1：平面中任意兩個向量都可以平移至公共起點，它們存在夾角嗎？問題2：若存在夾角，向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？兩向量的夾角與直線的夾角范圍有何不同？問題1：平面中任意兩個向量都可以平移至公共起點，它們存在夾角【總結提升】對向量的夾角的兩點說明(1)向量夾角的幾何表示：依據向量夾角的定義，兩個非零向量的夾角是將兩個向量的起點移到同一點，這樣它們所成的角才是向量的夾角.(2)注意事項：①向量的夾角是針對非零向量定義的.②向量的夾角與直線的夾角范圍是不同的，它們分別是[0，π]和【總結提升】對向量的夾角的兩點說明【題型探究】類型一對平面向量基本定理的理解【典例】1.(2015·黃石高一檢測)已知平行四邊形ABCD，下列各組向量中，是該平面內所有向量基底的是()【題型探究】2.如果e1、e2是平面α內兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是(

)①a=λe1+μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內的所有向量；②對于平面α內任一向量a，使a=λe1+μe2的實數對(λ，μ)有無窮多個；③若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線，則④若實數λ，μ使得λe1+μe2=0，則λ=μ=0.A.①②

B.②③

C.③④

D.②2.如果e1、e2是平面α內兩個不共線的向量，那么下列說法中3.設向量e1與e2不共線，若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2，則實數x，y的值分別為(

)A.0，0B.1，1

C.3，0

D.3，43.設向量e1與e2不共線，若3xe1+(10-y)e2=(【解題探究】1.典例1中兩個向量可以作為基底的條件是什么？提示：兩個向量可以作為基底的條件是兩向量不共線.2.典例2中，平面向量基本定理應關注哪些要點？提示：(1)只要是同一平面內兩不共線的向量都可以作為一組基底，所以基底不唯一，λ1，λ2唯一.(2)零向量與任意向量都共線，因此零向量不能作為基底.3.典例3中求x，y的依據是什么？提示：向量相等的條件.【解題探究】1.典例1中兩個向量可以作為基底的條件是什么？【解析】1.選D.由于與不共線，所以是一組基底.2.選B.由平面向量基本定理可知，①④是正確的．對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的．對于③，當λ1λ2=0或μ1μ2=0時不一定成立，應為λ1μ2-λ2μ1=0.3.選D.因為向量e1與e2不共線，所以解得【解析】1.選D.由于與不共線，所以是一組基底.【方法技巧】1.對基底的理解(1)兩個向量能否作為一組基底，關鍵是看這兩個向量是否共線．若共線，則不能作基底，反之，則可作基底．(2)一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這組基底唯一線性表示出來．設向量a與b是平面內兩個不共線的向量，若x1a+y1b=x2a+y2b，則【方法技巧】2.重要結論e1，e2是平面內一組基底當λ1e1+λ2e2=0時恒有λ1=λ2=0若a=λ1e1+λ2e2當λ2=0時，a與e1共線當λ1=0時，a與e2共線當λ1=λ2=0時，a=02.重要結論當λ1e1+λ2e2=0時恒有λ1=λ2=0若a【變式訓練】1.設e1，e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：①e1與e1+e2；②e1-2e2與e2-2e1；③e1-2e2與4e2-2e1；④e1+e2與e1-e2.其中能作為平面內所有向量的一組基底的是________.(寫出所有滿足條件的序號)【變式訓練】1.設e1，e2是不共線的兩個向量，給出下列四組【解析】①設e1+e2=λe1，則無解，所以e1+e2與e1不共線，即e1與e1+e2可作為一組基底；②設e1-2e2=λ(e2-2e1)，則(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0，則無解，所以e1-2e2與e2-2e1不共線，即e1-2e2與e2-2e1可作為一組基底；【解析】①設e1+e2=λe1，則無解，③因為e1-2e2=-(4e2-2e1)，所以e1-2e2與4e2-2e1共線，即e1-2e2與4e2-2e1不可作為一組基底；④設e1+e2=λ(e1-e2)，則(1-λ)e1+(1+λ)e2=0，所以無解，所以e1+e2與e1-e2不共線，即e1+e2與e1-e2可作為一組基底.答案：①②④③因為e1-2e2=-(4e2-2e1)，所以e1-2e2.若向量a，b不共線，則c=2a-b，d=3a-2b，試判斷c，d能否作為基底.【解析】設存在實數λ，使c=λd，則2a-b=λ(3a-2b)，即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0.由于向量a，b不共線，所以2-3λ=2λ-1=0，這樣的λ是不存在的，從而c，d不共線，故c，d能作為基底.2.若向量a，b不共線，則c=2a-b，d=3a-2b，試判類型二用基底表示向量【典例】1.已知=a，=b，C為線段AO上距A較近的一個三等分點，D為線段CB上距C較近的一個三等分點，則用a，b表示=____.類型二用基底表示向量2.如圖，?ABCD的對角線AC和BD交于點M，=a，=b，試用基底a，b表示2.如圖，?ABCD的對角線AC和BD交于點M，=a，【解題探究】1.典例1中，與兩個向量有何關系，與與呢？提示：2.典例2中，與的關系是什么？在△ADB中，與的關系如何？提示：與

互為相反向量，【解題探究】1.典例1中，與兩個向量有何關【解析】1.因為答案：【解析】1.因為2.=a+b，=b-a.因為平行四邊形的對角線互相平分，所以=a+b.所以=-a-b.=b-a.所以=a-b.2.=a+b，【延伸探究】1.(變換條件，改變問法)本例2中其他條件不變，添加“”，試表示【延伸探究】【解析】因為，所以所以【解析】因為，所以2.(變換條件，改變問法)本例2中“若E，F分別是邊CD與BC的中點，，其中λ，μ∈R，則λ+μ的值如何？2.(變換條件，改變問法)本例2中“若E，F分別是邊CD與B【解析】因為所以又a，b不共線，所以，解得所以【解析】因為【方法技巧】平面向量基本定理的作用以及注意點(1)根據平面向量基本定理，任何一組基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，實質上是利用三角形法則或平行四邊形法則，進行向量的加減法運算.(2)要注意適當選擇向量所在的三角形或平行四邊形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量與未知向量的關系，用方程的觀點求出未知向量.【方法技巧】平面向量基本定理的作用以及注意點【補償訓練】如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分別是DC和AB的中點，若=a，=b，試用a，b表示【補償訓練】如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD【解析】如圖所示，連接CN，則四邊形ANCD是平行四邊形.則【解析】如圖所示，連接CN，則四邊形ANCD是平行四邊形.類型三向量夾角的簡單求解【典例】1.(2015·韶關高一檢測)已知向量a，b，c滿足|a|=1，|b|=2，c=a+b，c⊥a，則a，b的夾角等于_______.2.已知兩個非零向量a與b的夾角為60°，試求下列向量的夾角：(1)a與-b；(2)2a與3b.類型三向量夾角的簡單求解【解題探究】1.典例1中，以a，b，c作為三角形的三邊，結合c=a+b及c⊥a，判斷三角形的形狀如何？提示：三角形為直角三角形.2.典例2中，-b的幾何意義是什么？a與b的夾角與2a與3b的夾角之間的關系是什么？提示：-b是b的相反向量，a與b的夾角與2a與3b的夾角是相同的.【解題探究】1.典例1中，以a，b，c作為三角形的三邊，結合【解析】1.作=a，=b，則c=a+b=(如圖所示)，則a，b夾角為180°-∠C.因為|a|=1，|b|=2,c⊥a，所以∠C=60°，所以a，b的夾角為120°.答案：120°【解析】1.作=a，=b，2.由向量夾角的定義，作出a與b的夾角，(1)如圖1