§7.6帶圓孔平板的均勻拉伸學習思路:

平板受均勻拉力q作用，平板內有半徑為a的小圓孔。圓孔的存在，必然對應力分布產生影響。孔口附近的應力將遠大于無孔時的應力，也遠大于距孔口稍遠處的應力。這種現象稱為應力集中。

孔口的應力集中，根據局部性原理，影響主要限于孔口附近區域。根據上述分析，在與小圓孔同心的厚壁圓筒上，應力可以分為兩部分：一部分是沿外圓周作用的不變的正應力，另一部分是以三角函數變化的法向力和切向力。對于前者是軸對稱問題；或者根據問題性質可以確定應力函數后求解。

孔口應力分析表明，孔口應力集中因子為3。學習要點：

1.帶圓孔平板拉伸問題；

2.厚壁圓筒應力函數；

3.應力與邊界條件；

4.孔口應力。設平板在x方向受均勻拉力q作用，板內有一個半徑為a的小圓孔。圓孔的存在，必然對應力分布產生影響。如圖所示。孔口附近的應力將遠大于無孔時的應力，也遠大于距孔口稍遠處的應力。這種現象稱為應力集中。

孔口的應力集中，根據局部性原理，影響主要限于孔口附近區域。隨著距離增加，在離孔口較遠處，這種影響也就顯著的減小。

根據上述分析，假如b與圓孔中心有足夠的距離，則其應力與無圓孔平板的分布應該是相同的。因此

上述公式表明在與小圓孔同心的，半徑為b的圓周上，應力可以分為兩部分：一部分是沿外圓周作用的不變的正應力，其數值為；另一部分是隨變化的法向力cos2和切向力sin2。

對于沿厚壁圓筒外圓周作用的不變的正應力，其數值為。由此產生的應力可用軸對稱應力計算公式計算。則

這里，將均勻法向應力作為外加載荷作用于內徑為a，外徑為b的厚壁圓筒的外圓周處。使得問題成為一個典型的軸對稱應力。對于厚壁圓筒的外徑作用隨2變化的法向外力cos2和切向外力sin2，如圖所示。根據面力邊界條件，厚壁圓筒的應力分量也應該是2的函數。由應力函數與應力分量的關系可以看出，由此產生的應力可以由以下形式的應力函數求解，即

將上述應力函數表達式代入變形協調方程，可得f（）所要滿足的方程即

上述方程是歐拉(Euler)方程，通過變換可成為常系數常微分方程，其通解為

因此，將其代入公式,可得應力函數為因此，應力分量為

應力分量表達式中的待定常數A，B，C，D可用邊界條件確定，本問題的面力邊界條件為

將應力分量代入上述邊界條件，則

聯立求解上述方程，并且注意到對于本問題，a/b≈0,可得將計算所得到系數代入應力分量公式，則

將隨變化的法向力cos2和切向力sin2的計算所得結果與沿外圓周作用的不變的正應力結果相疊加，則

上述應力分量表達式表明，如果相當大時，上述應力分量與均勻拉伸的應力狀態相同。

對于孔口應力，即=a時，有

最大環向應力發生在小圓孔的邊界上的=/2和=3/2處，其值為max=3q

這表明，當板很大而孔很小時，則圓孔的孔口將有應力集中現象。通常把最大應力與平均應力的比值用于描述應力集中的程度。即

K稱為應力集中因子。對于平板受均勻拉伸問題，K=3。§7.7楔形體頂端受集中力或集中力偶學習思路:

本節將推導有關楔形體的幾個有實用價值的解答。

對于彈性力學問題的求解，重要的問題是確定應力函數的形式。由于楔形體幾何形狀的特殊性，本身沒有任何描述長度的幾何參數，借助于幾何特性，可以找到應力函數的基本形式，然后根據變形協調方程得到應力函數。

楔形體彈性力學解答可以推廣為半無限平面應力的解答，這對于工程問題的求解具有指導意義。學習要點：

1.楔形體作用集中力問題的應力函數；

2.楔形體邊界條件；

3.楔形體應力；

4.半無限平面作用集中力；

5.楔形體受集中力偶作用；

6.楔形體受集中力偶作用的應力。討論題：楔形體頂端應力和無窮遠應力分析設有一楔形體，其中心角為，下端可以認為是伸向無窮遠處。

首先討論楔形體在其頂端受集中力作用，集中力與楔形體的中心線成角。設楔形體為單位厚度，單位厚度所受的力為F，極坐標系選取如圖所示。

通過量綱分析可以確定本問題應力函數的形式。由于楔形體內任一點的應力分量將與F成正比，并與，，和有關。由于F的量綱為MT-2，的量綱為L-1，而，和是無量綱的，因此各個應力分量的表達式只能取的負一次冪。

而根據應力函數表達式，其的冪次應比各應力分量的冪次高兩次。因此可以假設應力函數為的某個函數乘以的一次冪。有

將上述應力函數表達式代入變形協調方程，可得f()所要滿足的方程

。即

求解上式，可得其中A，B，C和D為待定常數，將上式代入應力函數表達式可得，

由于為線性項，不影響應力分量的計算，因此可以刪去。因此應力函數為由應力分量表達式，可得楔形體的應力分量

現在的問題是利用面力邊界條件確定待定常數。楔形體左右兩邊的面力邊界條件為

已經自然滿足。此外還有一個應力邊界條件：在楔形體頂端附近的一小部分邊界上有一組面力，它的分布沒有給出，但已知它在單位寬度上的合力為F。如果取任意一個截面，例如圓柱面ab，如圖所示。則該截面的應力分量必然和上述面力合成為平衡力系，因此也就必然和力F形成平衡力系。

于是得出由應力邊界條件轉換而來的平衡條件將應力分量表達式代入上式，則

積分可得即

將常數C和D代入應力分量表達式，則本問題的解答為

上述楔形體應力在等于0時，將趨于無限大。即在載荷作用點的應力無限大，解答是不適用的。但是如果外力不是作用于一點，而是按照上述應力分布作用于一個小圓弧區域，上述解答則為精確解。

根據圣維南原理，除了力的作用點附近，解答是有足夠精度的。在上述楔形體問題中，如果令＝，＝0，則轉化為彈性半無限平面作用集中力問題。

將＝，＝0代入楔形體應力表達式，則彈性半無限平面作用集中力作用的應力表達式為

彈性半無限平面作用集中力作用的應力場具有以下特點:

1.為主應力,其余主應力為0。

2.在直徑為d，圓心在x軸并且與y軸相切于原點O的圓上，由于該圓上任意一點滿足=dcos，所以，圓上任意一點應力為=-2F/d。這就是說，圓上任意一點應力，除載荷作用點以外，各點應力和相同。

此圓為等徑向應力的軌跡線，稱為壓力泡。

3.由于此圓最大切應力max=/2=const，因此在光彈性實驗中，又稱為等色線。

4.主應力軌跡為一組以坐標原點為中心的放射線。

5.最大切應力軌跡為一組與主應力軌跡夾45度角的曲線，其軌跡為對數螺線。以下討論楔形體的頂端受有集中力偶作用問題，如圖所示。設單位寬度的力偶矩為M。

根據和楔形體受集中力相同的量綱分析，可見在各應力分量的表達式中，只能是以負二次冪出現，因此應力函數表達式應該與無關。也就是

將上式代入變形協調方程，可得所要滿足的方程求解這一關于的常微分方程，可得

其中A，B，C和D為待定常數。

求解前，首先作結構分析。由于楔形體頂端作用集中力偶，因此為反對稱結構。其正應力應為的奇函數，而切應力分量應為的偶函數。

由此可見，A=D=0，則應力函數簡化為

則由極坐標應力分量表達式，楔形體的應力分量為對于楔形體問題，邊界條件要求

由應力分量表達式可見，前一條件總能滿足，而后一條件要求C=-2Bcos

同樣考慮ab以上部分的平衡條件，則

積分后可得

將計算所得的系數回代應力分量表達式，可得

大家可以自己證明上述應力分量也可滿足以上部分的另外兩個平衡條件，即

在楔形體問題中，我們曾假定楔形體頂端所受的力或力偶是集中作用的，因此計算所得的應力分量