2022年高考數學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數fxA． B．C． D．2．甲乙丙丁四人中，甲說：我年紀最大，乙說：我年紀最大，丙說：乙年紀最大，丁說：我不是年紀最大的，若這四人中只有一個人說的是真話，則年紀最大的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內有無數條直線與β平行B．α內有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面4．若數列為等差數列，且滿足，為數列的前項和，則（）A． B． C． D．5．某人造地球衛星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為，設地球半徑為，該衛星近地點離地面的距離為，則該衛星遠地點離地面的距離為（）A． B．C． D．6．設過拋物線上任意一點(異于原點)的直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線的另一個交點為，則（）A． B． C． D．7．已知函數，，若對，且，使得，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知與之間的一組數據：12343.24.87.5若關于的線性回歸方程為，則的值為（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.59．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．10．《九章算術》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦的植物，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（）A． B． C． D．11．已知，則（）A． B． C． D．212．設，，，則、、的大小關系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數若關于的不等式的解集為，則實數的所有可能值之和為_______.14．已知函數是定義在上的奇函數，且周期為，當時，，則的值為___________________．15．已知向量與的夾角為，||＝||＝1，且⊥（λ），則實數_____.16．已知，滿足約束條件，則的最小值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，橢圓的離心率是，的面積是.（1）求橢圓的標準方程.（2）直線與橢圓交于，兩點（異于點），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.18．（12分）在世界讀書日期間，某地區調查組對居民閱讀情況進行了調查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城鎮居民140人，農村居民60人.在這些居民中，經常閱讀的城鎮居民有100人，農村居民有30人.（1）填寫下面列聯表，并判斷能否有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關？城鎮居民農村居民合計經常閱讀10030不經常閱讀合計200（2）從該地區城鎮居民中，隨機抽取5位居民參加一次閱讀交流活動，記這5位居民中經常閱讀的人數為，若用樣本的頻率作為概率，求隨機變量的期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知數列，其前項和為，滿足，，其中，，，.⑴若，，（），求證：數列是等比數列；⑵若數列是等比數列，求，的值；⑶若，且，求證：數列是等差數列.20．（12分）已知拋物線的頂點為原點，其焦點關于直線的對稱點為，且.若點為的準線上的任意一點，過點作的兩條切線，其中為切點.（1）求拋物線的方程；（2）求證：直線恒過定點，并求面積的最小值.21．（12分）心形線是由一個圓上的一個定點，當該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時，這個定點的軌跡，因其形狀像心形而得名，在極坐標系中，方程（）表示的曲線就是一條心形線，如圖，以極軸所在的直線為軸，極點為坐標原點的直角坐標系中.已知曲線的參數方程為（為參數）.（1）求曲線的極坐標方程；（2）若曲線與相交于、、三點，求線段的長.22．（10分）一個工廠在某年里連續10個月每月產品的總成本（萬元）與該月產量（萬件）之間有如下一組數據：1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26（1）通過畫散點圖，發現可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數加以說明；（2）①建立月總成本與月產量之間的回歸方程；②通過建立的關于的回歸方程，估計某月產量為1.98萬件時，產品的總成本為多少萬元？（均精確到0.001）附注：①參考數據：，，，，.②參考公式：相關系數，，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

由f12=e-14>0排除選項D;【詳解】由f12=e-14>0，可排除選項D，f-1=-e【點睛】本題通過對多個圖象的選擇考查函數的圖象與性質，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及x→02．C【解析】

分別假設甲乙丙丁說的是真話，結合其他人的說法，看是否只有一個說的是真話，即可求得年紀最大者，即可求得答案.【詳解】①假設甲說的是真話，則年紀最大的是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故甲說的不是真話，年紀最大的不是甲；②假設乙說的是真話，則年紀最大的是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個人說的是真話，故乙說謊，年紀最大的也不是乙；③假設丙說的是真話，則年紀最大的是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個人說的是真話，故丙在說謊，年紀最大的也不是乙；④假設丁說的是真話，則年紀最大的不是丁，而已知只有一個人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是年紀最大的，同時乙也說謊，說明乙也不是年紀最大的，年紀最大的只有一人，所以只有丙才是年紀最大的，故假設成立，年紀最大的是丙.綜上所述，年紀最大的是丙故選：C.【點睛】本題考查合情推理，解題時可從一種情形出發，推理出矛盾的結論，說明這種情形不會發生，考查了分析能力和推理能力，屬于中檔題.3．B【解析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養，利用面面平行的判定定理與性質定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質定理知，若，則內任意一條直線都與平行，所以內兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B．【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此類的錯誤．4．B【解析】

利用等差數列性質，若，則求出，再利用等差數列前項和公式得【詳解】解：因為，由等差數列性質，若，則得，．為數列的前項和，則．故選：．【點睛】本題考查等差數列性質與等差數列前項和.(1)如果為等差數列，若，則．(2)要注意等差數列前項和公式的靈活應用，如.5．A【解析】

由題意畫出圖形，結合橢圓的定義，結合橢圓的離心率,求出橢圓的長半軸a,半焦距c,即可確定該衛星遠地點離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率：，（c為半焦距;a為長半軸），設衛星近地點，遠地點離地面距離分別為r，n，如圖：則所以,,故選：A【點睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長半軸的求法,是解題的關鍵，屬于中檔題.6．C【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉為線段長度比，進而轉為坐標的表達式。寫出直線方程，再聯立方程組，求得交點坐標，最后代入坐標，求得三角形面積比.【詳解】作圖，設與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，，設，則直線，即，與聯立，解得，從而得到面積比為.故選：【點睛】解決本題主要在于將面積比轉化為線段長的比例關系，進而聯立方程組求解，是一道不錯的綜合題.7．D【解析】

先求出的值域，再利用導數討論函數在區間上的單調性，結合函數值域，由方程有兩個根求參數范圍即可.【詳解】因為，故，當時，，故在區間上單調遞減；當時，，故在區間上單調遞增；當時，令，解得，故在區間單調遞減，在區間上單調遞增.又，且當趨近于零時，趨近于正無窮；對函數，當時，；根據題意，對，且，使得成立，只需，即可得，解得.故選：D.【點睛】本題考查利用導數研究由方程根的個數求參數范圍的問題，涉及利用導數研究函數單調性以及函數值域的問題，屬綜合困難題.8．D【解析】

利用表格中的數據，可求解得到代入回歸方程，可得，再結合表格數據，即得解.【詳解】利用表格中數據，可得又，．解得故選：D【點睛】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的性質，考查了學生概念理解，數據處理，數學運算的能力，屬于基礎題.9．D【解析】

可求出集合，，然后進行并集的運算即可．【詳解】解：，；．故選．【點睛】考查描述法、區間的定義，對數函數的單調性，以及并集的運算．10．C【解析】

由題意知：，，設，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【詳解】解：由題意知：，，設，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為故選C.【點睛】本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎題.11．B【解析】

結合求得的值，由此化簡所求表達式，求得表達式的值.【詳解】由，以及，解得..故選：B【點睛】本小題主要考查利用同角三角函數的基本關系式化簡求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.12．D【解析】

因為，，所以且在上單調遞減，且所以，所以，又因為，，所以，所以.故選：D.【點睛】本題考查利用指對數函數的單調性比較指對數的大小，難度一般.除了可以直接利用單調性比較大小，還可以根據中間值“”比較大小.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由分段函數可得不滿足題意；時，，可得，即有，解方程可得，4，結合指數函數的圖象和二次函數的圖象即可得到所求和．【詳解】解：由函數，可得的增區間為，，時，，，時，，當關于的不等式的解集為，，可得不成立，時，時，不成立；，即為，可得，即有，顯然，4成立；由和的圖象可得在僅有兩個交點．綜上可得的所有值的和為1．故答案為：1．【點睛】本題考查分段函數的圖象和性質，考查不等式的解法，注意運用分類討論思想方法，考查化簡運算能力，屬于中檔題．14．【解析】

由題意可得：，周期為，可得，可求出，最后再求的值即可.【詳解】解：函數是定義在上的奇函數，.由周期為，可知，，..故答案為：.【點睛】本題主要考查函數的基本性質，屬于基礎題.15．1【解析】

根據條件即可得出，由即可得出，進行數量積的運算即可求出λ．【詳解】∵向量與的夾角為，||＝||＝1，且；∴；∴λ＝1．故答案為：1．【點睛】考查向量數量積的運算及計算公式，以及向量垂直的充要條件．16．2【解析】

作出可行域，平移基準直線到處，求得的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知平移基準直線到處時，取得最小值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查線性規劃求最值，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）證明見解析，.【解析】

（1）根據離心率和的面積是得到方程組，計算得到答案.（2）先排除斜率為0時的情況，設，，聯立方程組利用韋達定理得到，，根據化簡得到，代入直線方程得到答案.【詳解】（1）由題意可得，解得，，則橢圓的標準方程是.（2）當直線的斜率為0時，直線與直線關于軸對稱，則直線與直線的斜率之和為零，與題設條件矛盾，故直線的斜率不為0.設，，直線的方程為聯立，整理得則，.因為直線與直線的斜率之和為1，所以，所以，將，代入上式，整理得.所以，即，則直線的方程為.故直線恒過定點.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程，直線過定點問題，計算出是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力和轉化能力.18．（1）見解析，有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.（2）【解析】

（1）根據題意填寫列聯表，利用公式求出，比較與6.635的大小得結論；（2）由樣本數據可得經常閱讀的人的概率是，則，根據二項分布的期望公式計算可得；【詳解】解：（1）由題意可得：城鎮居民農村居民合計經常閱讀10030130不經常閱讀403070合計14060200則，所以有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.（2）根據樣本估計，從該地區城鎮居民中隨機抽取1人，抽到經常閱讀的人的概率是，且，所以隨機變量的期望為.【點睛】本題考查獨立性檢驗的應用，考查離散型隨機變量的數學期望的計算，考查運算求解能力，屬于基礎題．19．（1）見解析（2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）(),所以，故數列是等比數列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可證數列是等差數列.試題解析：（1）證明：若，則當(),所以，即，所以，又由，，得，，即，所以，故數列是等比數列．（2）若是等比數列，設其公比為（），當時，，即，得，①當時，，即，得，②當時，，即，得，③②①，得，③②，得，解得．代入①式，得．此時()，所以，是公比為１的等比數列，故．（3）證明：若，由，得，又，解得．由，，，，代入得，所以，，成等差數列，由，得，兩式相減得：即所以相減得：所以所以，因為，所以，即數列是等差數列.20．（1）（2）見解析，最小值為4【解析】

（1）根據焦點到直線的距離列方程，求得的值，由此求得拋物線的方程.（2）