極坐標(biāo)圖是以開環(huán)頻率特性的實部為直角坐標(biāo)橫坐標(biāo)，以其虛部為縱坐標(biāo)，以為參變量表示幅值與相位之間的關(guān)系的圖。極坐標(biāo)圖也稱奈

(Nyquist)圖OPjQG(

j2

)G(

j1

)2,V1(s)RCs

1Example

1:Transfer

function

G(s)

V2

(s)

KThe

Magnitude

characteristics

and

the

phase

characteristics

can

be

shown

inone

figure,

as

varies

from

to

.The

polar

plot

does

not

indicate

the

effect

of

the

individual

poles

or

zeros.The

addition

of

poles

or

zeros

to

an

existing

system

requires

the

recalculationof

the

frequency

response.j(RC)

1

1

jTG(j)

K

K

,

T

RCK,

()

tg

1T1

T

22A()

KT1

T

22K1

T

22,

Q()

P()

V1(s)RV2

(s)3,

()

tg

1T1

T

22A()

K1

T

22K1

T

22,

Q()

P()

KT0ImRe

0T

1At

0:TAt

1

:A(0)

K,(0)

0P(0)

K,Q(0)

0A()

0,()

90oP()

0,

Q()

0At

:A(

1

)

K

,(

1

)

45oT

2

TP(

1

)

K

,

Q(

1

)

K

T

2

T

2?相角：逆時針為“＋”，順時針為“－”4Proof,Q()

TP()K1

T

22PK1

(Q

)2

P

We

get,22K(P

K

)2

Q2

(

)21

T

22

KT1

T

22Q()

P(

)

K

0ImRe

0T

12Nyquist

plot

is

a

circle

with

the25center

at

(

k

,

0)

;

radius:

K根據(jù)頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系，可知：頻率特性曲線是S平面上變量s沿正虛軸變化時在G(s)平面上的

。由于幅頻特性是的偶函數(shù)，而相頻特性是的奇函數(shù)，所以當(dāng)從0→∞

的頻率特性曲線和從－∞→0的頻率特性曲線是對稱于實軸的。極坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn)是可在一張圖上繪出整個頻率域的頻率響應(yīng)特性；缺點(diǎn)是不能明顯地表示出開環(huán)傳遞函數(shù)中每個典型環(huán)節(jié)的作用。0ImRe

0T

1K1

jTG(

j)

6G(s)

G(

j)

Kj(

j

1)s

j

1

(

)2A()

G()

,K()

90o

tg1.Example

2:

Consider

a

transfer

functionthe

magnitude

and

phase

angleandG()

,()

90o()

117G()

4K

5

,oWhen

0

,When

1

2,

When

1

,When

,G()

K

2

,()

135o()

180oG()

0,Im[G]Re[G]

Increasing

1Positive

2

1

07?135Kj

22K

(

j

2

)

4

2G(

j)

Im[G]Re[G]

Increasing

1Positive

12135

0X

()

.R()

K,When

0

,When

,we

havewe

haveR()

0,X

()

0

.When

1

, wehaveR()

K

2

,

X

()

jK2

.K2R()

2

4

2,K8X

()

j24

2

,一、增加零極點(diǎn)對極坐標(biāo)圖形狀的影響設(shè)1T

s

11G

(s)

K2

211

TA()

K2

211

T

P()

K11()

tg

T

2

2

KT11

T

Q()

1當(dāng)

0時，A(

)

K

，

(

)

0，P

(

)

K

，Q

(

)

00ImRe

01T

29當(dāng)

時，A(

)

0，

(

)

，P

(

)

0，Q

(

)

01.

增加有限極點(diǎn)設(shè)(T1s

1)(T2s

1)2G

(s)

K2

22

21

21

T

1

T

A()

K2

22

21

2(1

T

)(1

T

)K(1

TT

2

)P(

)

1

2

1

21

1()

tg T

tg T

K(T1

T2

)Q()

2

2

2

21

2(1

T

)(1

T

)0K

ReIm

0

K

T1T2T1

T21

21T

T

當(dāng)

0時，A(

)

K

，

(

)

0，P

(

)

K

，Q

(

)

0當(dāng)

時，A(

)

0，

(

)

，P

(

)

0，Q

(

)

0令

P

(

)

0，解得

21011

21TT1T2

T

KQ

(

)

T

T，此時31設(shè)

3(

T

s

1

)

(

T

s

1

)

(

T

s

1)G

(

s

)

K

2K2

232

222

211

1

T

T

1

T

A

(

)

2

2

2

2

2

21

2

3(1

T

)(1

T

)(1

T

)P

(

)

K

[1

（2

T1T

2

T1T

3

T2

T3）]1T

2

31T

tg11T

tg

(

)

tg2

2

2

2

2

21

2

3(1

T

)(1

T

)(1

T

)Q

(

)

K

(

2

T1T

2

T

3

T1

T

2

T

3

)0K

ReIm

0

1

2

3T

T

TT1

T2

T3

1T1T2

T1T3

T2T3

當(dāng)

0時，A(

)

K

，

(

)

0，P

(

)

K

，Q

(

)

0當(dāng)

時，A(

)

0，

(

)

3

，P(

)

0，Q(

)

0T1T2

T1T3

T2T3令P

(

)

0，解得

1

，此時與虛軸相交；2T1T2T3

T3

，此時與實軸相交；T1

T2令Q

(

)

0，解得

0和

11012K

Re

0Im

結(jié)論：假如G(s)增加n個有限負(fù)極點(diǎn)(時間常數(shù)形式)，則G(j)的極坐標(biāo)圖在=0時幅值不變；在→∞時順時針轉(zhuǎn)過n/2(弧度)。2.

增加在原點(diǎn)處的極點(diǎn)1s(T

s

1)4G

(s)

K1

1

T

2

2A()

K2

21

KT11

T

P()

11()

90

tg

TQ()

2

21(1

T

)

KIm

Re

KT1

0當(dāng)

0時，A()

，

()

90°，P()

KT1，Q()

當(dāng)

時，A()

0，()

，P(

)

0，Q(

)

00ImRe

0T

1在取有限值時與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)。13設(shè)1(T

s

1)s25G

(s)

K121

T

2

2A()

KP()

12

2

2

(1

T

)

K11

tg

T()

180Q()

2

21(1

T

)KT10Im

0Re在取有限值時與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)。14當(dāng)

0時，A()

，

()

180°，P()

，Q(

)

2當(dāng)

時，A()

0，()

3

，P(

)

0，Q(

)

0的極坐標(biāo)圖sn

(s

1)KReIm

0

0

0n=1n=3

0n=4n=0

0

n=2-11結(jié)論：假如G(s)乘上因子1/sn，則G(j)的極坐標(biāo)圖順時針轉(zhuǎn)過n/2(弧度)。并且只要在原點(diǎn)處存在極點(diǎn)，極坐標(biāo)圖在=0的幅值為無窮大。的極坐標(biāo)圖sn

(s

1)2KIm

0

0n=3n=2

0n=1n=4

0n=0Re15

03.增加有限零點(diǎn)設(shè)1

2s(T

s

1)(T

s

1)5G

(s)

K2

2

2

212

1

T

1

T

A()

K

2

22

21

2(1

T

)(1

T

)

K(1

TT

2

)Q()

1

2

1211()

90

tg

T

tg T

2

222

21(1

T

)(1

T

)

K(T

T

)P(

)

1

2

1T1T2T1

T2令Q()

0，解得與實軸交點(diǎn)

，交點(diǎn)P()

KT1T2ImRe

0161

2TT1

1

2T1

T2

KTT

當(dāng)

0時，A()

，

()

90°，P()

K

(T1

T2

)，Q(

)

當(dāng)

時，A()

0，()

270°，P()

0，Q(

)

0s(T1s

1)(T2s

1)K(Td

s

1)5設(shè)

G

(s)

2

222

211

T

1

T

K

1

T

22A()

d

2

22

21

2(1

T

)(1

T

)2

K[1

(TT

TT

T

T

)]Q()

1

2 1

d

2

dd

1

21

11

tg T

tg T

()

tg T

902

2

2

21

2(1

T

)(1

T

)P()

K(T1

T2

Td

2T1T2Td

)17當(dāng)

0時，A()

，()

90，P()

K(T1

T2

Td

)，Q()

當(dāng)

時，A()

0，()

180，P()

0，Q()

01T1T2

T1Td

T2Td令Q()

0，解得與實軸交點(diǎn)

2

與實軸交點(diǎn)有交點(diǎn)的條件為：T1T2

T1Td

T2Td

0T1T2T1

T2Td

(T1

T2

)

T1T2

Td

T1

T2dP()

K(T1T2

T

)與沒有零點(diǎn)的極坐標(biāo)圖比較知：交點(diǎn)更靠近原點(diǎn)，且當(dāng)→∞時，極坐標(biāo)圖趨于原點(diǎn)時的相角為-180°。T1

T2P()

KT1T2（沒有零點(diǎn)時）dT1T2T1

T2若T

，則極坐標(biāo)圖與實軸無交點(diǎn)。18T1T2Td另外令P()

0，解得與虛軸交點(diǎn)2

Td

(T1

T2

)即當(dāng)Td

(T1

T2

)時極坐標(biāo)圖將與虛軸相交。-2.5-2

-1.5-5-4-3-20-1s(s

1)(2s

1)K

(0.1s

1)s(s

1)(2s

1)-6K

(1.5s

1)K

(4s

1)Im-1

-0.5Re

s(s

1)(2s

1)

0ImRe

0T1T2191

1

2T1

T2

KTT

沒有零點(diǎn)時極坐標(biāo)圖有零點(diǎn)時極坐標(biāo)圖20n頻率特性可表示為：G(j)(

j)m

i1

j(1

T

j)j

1

K

(1

ij)其相角為：n

jmitg T

()

tg

1i1

j

11

220(

j)當(dāng)

0

時，(0)

，G(0)

K

|當(dāng)

時，()

m

(n

)

(n

m)

,2

2

2

2G(j)|

0,(若n

m)顯然，低頻段的頻率特性與系統(tǒng)型數(shù)有關(guān)，高頻段的頻率特性與n-m有關(guān)。二、最小相位系統(tǒng)頻率特性的特點(diǎn)下圖為0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)在低頻和高頻段頻率特性示意圖：至于中頻部分，可計算一些特殊點(diǎn)的來確定。如與坐標(biāo)的交點(diǎn)等。2Ⅱ型：(0)

，|G(0)|

Ⅰ型：(0)

，|

G(0)

|

低頻段頻率特性0型：

(0)

0,|

G(0)

|

K∞∞

型系統(tǒng)Ⅰ型系統(tǒng)Ⅱ型系統(tǒng)ReIm∞

n

m

3時，()

322n

m

2時，()

高頻段頻率特性n

m

1時，()

∞ReImn-m=3n-m=1n-m=221三、非最小相位系統(tǒng)的頻率特性nj1

i1

(1

Tjs)N

(s)

(1

is)傳遞函數(shù)可表示為：mlG(

j)

D(s)ReIm

0s

1的極坐標(biāo)圖

1s的極坐標(biāo)圖1s的極坐標(biāo)圖⒈

G(s)

1sG(

j)

1

jP()

1，Q()

A()

1

2

2，()

tg

122G(s)

1⒉1

2T

2，()

tg

1TA()

T1

2T

2，Q()

1

Ts1P()

1

2T

2111

jTG(

j)

0ImK

Re

0

01

Ts11

Ts1123Ts

1，畫極坐標(biāo)圖。例：已知開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)1

T2ss(1

T1s)12

21(1

T

)j(1

jT

)1

jT

(T

T

)

j(2TT

1)解：G(

j)

2

1

2

1

2

12

21

TP()

(T1

T2

)12

2(1

T

)2TT

1Q()

1

212

2

1

T1

2T

2A()

2

1

21

1()

90

tg T

tg T

當(dāng)

0時，A()

，()

90°，P()

(T1

T2)，Q()

當(dāng)

時，A()

0，()