概率論與數理統計習題及答案習題一.設Z,8為隨機事件，且尸(A)=0.7,尸(4-8)=0.3,求尸(A5).【解】P(AS)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)]=l-[0.7-0.3]=0.6.設4B,C為三事件，且尸(J)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且尸(AB)=P(BC)=0,P(/C)=1/12,求X,B,C至少有一事件發生的概率.【解】P(/4U5UC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)11113=—+—+ =—4431249.對一個五人學習小組考慮生日問題：(1)求五個人的生日都在星期日的概率； (2)求五個人的生日都不在星期日的概率；(3)求五個人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)設/尸｛五個人的生日都在星期日｝,基本事件總數為7$,有利事件僅1個，故P(小)=r=(-)5 (亦可用獨立性求解，下同)7 7(2)設4=｛五個人生日都不在星期日｝,有利事件數為6$,故P(4)=*'=('F

（3）設/3=｛五個人的生日不都在星期日｝P（4）=1-p（^i）=1-（-）513.一個袋內裝有大小相同的7個球，其中4個是白球，3個是黑球，從中一次抽取3個，計算至少有兩個是白球的概率.【解】設4=｛恰有i個白球｝（i=2,3）,顯然卻與4互斥.尸（4）=罟噂尸（4）=罟噂C3尸（4）=胃5435故 故 p（4U4）=p（4）+p（4）=行19.已知一個家庭有3個小孩，且其中一個為女孩，求至少有一個男孩的概率（小孩為男為女足等可能的）.【解】設4=｛其中一個為女孩｝,8=｛至少有一個男孩｝,樣本點總數為23=8,故P(a4)=P(a4)=P(AB)

P(“)6/86T/i-7或在縮減樣本空間中求，此時樣本點總數為7.尸（即）.23.設P(/)=0.3,尸(8)=04,尸(48)=0.5,求尸(B|4U8)【解】P(AB)

P(4U8)P(Z)-P【解】P(AB)

P(4U8)P(A)+P(B)-P(AB)0.7-0.5_1-0.7+0.6-0.5-424.在一個盒中裝有15個乒乓球，其中有9個新球，在第一次比賽中任意取出3個球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個球，求第二次取出的3個球均為新球的概率.【解】設4=｛第一次取出的3個球中有i個新球｝,i=0,1,2,3.8=｛第二次取出的3球均為新球｝由全概率公式，有3p（b）=￡p（8|4）p（4）/=0+ +工A?N+±9?W=0.0895 55 534.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設擊中的概率分別是040.5,0.7,若只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為0.2：若有兩人擊中，則飛機被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機一定被擊落，求：飛機被擊落的概率.【解】設/=｛飛機被擊落｝,8,=｛恰有i人擊中飛機｝，/?=0,l,2,3由全概率公式，得尸(4)=￡P(小片)尸(8,)/=0=(0.4X0.5X0.3+0.6X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7)0.2+(0.4X0.5X03+0.4X0.5X0.7+0.6X0.5X0.7)0.6+0.4X0.5X0.7=0.458習題二2.設在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個數，求:(1)X的分布律；X的分布函數并作圖；1 3 3P[X<-},P{l<X<^},P[l<X<^},P[l<X<2].【解】%=0,1,2.p(x=o)=2||.故X的分布律為X012P22121353535(2)當x<0時，F(x)=P(X<x)=022當0Wx<l時，F(x)=P(XWx)=尸(右0尸一3534當lWx<2時，F(x)=尸(X<x)=尸(六0)+尸(XM尸石當x22時，F(x)=P(X<x)=1故X的分布函數

(3)0, x<022八—(3)0, x<022八—,0<x<l353435,I,l<x<2x>2心養TOC\o"1-5"\h\z3 3 3434-)=F(-)-F(l)=—=02 2 35353 3 12P(l<X<-)=P(X=l)+P(l<%<-)=—341P(1<X<2)=F(2)-F(1)-P(%=2)=1----=0.3.射手向目標獨立地進行了3次射擊，每次擊中率為0.8,求3次射擊中擊中H標的次數的分布律及分布函數，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.【解】設X表示擊中目標的次數.則舁0,1,2,3.P[X=0)=(0.2)3=0.008P(X=1)=C；0.8(02)2=0.096P(X=2)=Cj(0.8)20.2=0.384p(X=3)=(0.8)3=0.512故X的分布律為X0123p0.0080.0960.3840.512分布函數0, x<00.008,0<x<lF(x)h0.104, l<x<20.488, 2<x<31, x>3P(X>2)=P(X=2)+P(X=3)=0.8964.(1)設隨機變量X的分布律為才P{x—k}=ci--,其中20,1,2,…，4>0為常數，試確定常數a(2)設隨機變量X的分布律為P{X=k}=a/N, k=\,2,…，N,試確定常數a.【解】(1)由分布律的性質知_00. [k1=Z「(X=左)=。2——=ae，A=0 k=0k!(2)由分布律的性質知jv Nl=￡p(X=k)=￡^=a*=1 *=1N即 a=\.9.設事件4在每一次試驗中發生的概率為0.3,當/發生不少于3次時，指示燈發出信號，(1)進行了5次獨立試驗，試求指示燈發出信號的概率；(2)進行了7次獨立試驗，試求指示燈發出信號的概率.【解】(1)設X表示5次獨立試驗中4發生的次數，則￥4(5,0.3)5尸(X23)=ZC；(0.3)"(0.7)J=0.16308%=3(2)令y表示7次獨立試驗中才發生的次數，則卜6(7,0.3)7。(丫23)=ZC(。.3)￡(0.7產=0.35293*=3.設隨機變量X在［2,5］上服從均勻分布.現對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率.【解】X~U\2,5］,即/?=3,2</?=3,2<x<5其他戶1 2P(%>3)=f-dx=-故所求概率為.設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X(以分鐘計)服從指數分布E(g).某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次,以y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數，試寫出y的分布律，并求尸{yni}.【解】依題意知X?E(1),即其密度函數為[0, x<0該顧客未等到服務而離開的概率為P(X>10)=?dx=e-2丫?b(5,e-2),即其分布律為p(y=左)=C：(e<)*(1-e-2)5-*，左=0,1,2,3,4,5P(r>l)=l-P(r=0)=l-(l-e-2)5=0.516722.由某機器生產的螺栓長度(cm)X~N(10.05,0.062),規定長度在ioo5±O.12內為合格品，求一螺栓為不合格品的概率.X-10.05

0.06【解】P(|X-10.05|〉012)X-10.05

0.06【解】P(|X-10.05|〉012)=P0.06)=1-0(2)+0(-2)=2[1—0(2)]=0.045626.設隨機變量X的密度函數為(1)外)=ae-叫人>0;bx,0<x<1,(2)Ax)=< 1<x<2,0,其他.試確定常數a,6,并求其分布函數b(x).x>0x<0【解】(1)由/(x)dx=1知1=[,醒-和出=x>0x<0即密度函數為當xWO時F(x)=J/(x)dx=|dx=ge"當x>0時F(x)=￡f(x)dx=￡*dx+￡夕"=l,e*2故其分布函數F(x)=1-21A一e"、2(2)由1=[/(x)dx=j^/>xdx+j—得 b=l即X的密度函數為x，/?=-VX0,當x<0時F(x)=0當0<x<l時F(x)=￡/(x)dx=￡/(x)dx+￡/(x)dxP X2=[xdx=—當1Wx<2時F(x)=jf(x)dx=j0Odx+fxdx+j3dx_3_j_~2~當x22時尸(x)=1故其分布函數為-e-A\x>0r,X<00<x<ll<x<2其他29.設尸收｝=(-)*,1,2，…，令求隨機變量x的函數y的分布律.【解】尸(y=l)=P(X=2)+P(X=4)+-+P(X=2A)+?一30.設A-N(0,1).(1)求Qe*的概率密度；(2)求丫=*+1的概率密度;(3)求斤1X1的概率密度.x<00<x<ll<x<2x>21,當X取偶數時-1,當X取奇數時p(y=-i)=i-p(r=i)=|【解】⑴當y40時，鳥(y)=尸(y?y)=O當yX)時，FY(y)=P(Y<y)=P(e"y)=P(X<Iny)=f：Zr(x)dxfYfY(y)=味3)1xdyy⑵P(y=2X2+lNl)=l當時43)=p(ywy)=o當y>l時耳(y)=P(YWy)=P(2X2+lWy)11-in2y/2 n=--7=e J〉0yv27i⑶p（r>o）=i當yWO時4（y）=p（ywy）=o當戶0時4（y）=P（|X|Wy）=P（-歹4X4y）=［：Zr（x）dx故網）磊尸2 _”2"=W"°習題三2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數，以丫表示取到紅球的只數.求X和丫的聯合分布律.【解】x和丫的聯合分布律如表：X0123000C；C；=3-35Cc；c4J10C；C；C；_6C；一35C；c；C；_12c；—35Cc；c42P(O黑,2紅,2白尸C；C；C；_6C；一35C；C；_3-3504.設隨機變量(x,y)的分布密度Ae-(3x+4y)

f(x,y)=<

l。，求：(1)常數小(2)隨機變量(X,7)的分布函數；(3)P[Q<X<\,0#2}.【解】⑴由「「/(xj)dr砂=「「A^^dxdy=.=1得A=\2(2)由定義，有廠(x,y)=fff(u,v)dudvJ—XJ-CC235235x>0,y>0,其他.f4.8X2-x)dr=f4.8X2-x)dr=<Jy =<0,0,其他.￡￡12e-(3w+4vldMdv_J(l-e-3x)(l-e^)y>0,x〉0,0,0,其他0,0,(3)P{0<A，<l,0<y<2}=P{0<Jf<l,0<y<2}=￡12e-(3x+4>^irdy=(1-e-3)(l-e-8)?0,9499..設二維隨機變量(x,y)的概率密度為4.8X2一x),0<x<l,0<j^<x,f(x,y)=< 什I0, 其他求邊緣概率密度.【解】fx(x)=pf(x,y)dy_￡4.8X2-x)dy_2.4x2(2-x),0<x<1,=q =lo,其他43)=「/(x/)小2.4y(3-4y+y2),0<j^<1,.設二維隨機變量(x,y)的概率密度為求邊緣概率密度.【解】fx(x)=[y(x,y)dyPe-vdy[e",x>0,=<{=<0Io,其他.XX=

dry-e

rxo,

—^1題8圖題9圖f（X,y）=<e~y,0<x<y,0, 其他.ii.設隨機變量(x,r)的概率密度為/(x,y)求條件概率密度fYix(7|X),Air(XIj).【解】Ax)=「/(3)dyI￡Idy=2x,0<x<1,Io/其他題10圖1,|j^|<x,0<x<1,0, 其他.題11圖ldx=l+y,T<"0,A（y）=r/U,>>）dx=Jfldx=l-y,0<j/<1,J-oo Jy0, 其他所以1i-y'-y<xv1,其他-y<xv1,其他1+y'0,12.袋中有五個號碼1,2,3,4,5,從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X,最大的號碼為匕（1）求x與丫的聯合概率分布：（2）x與y是否相互獨立？【解】（1）x與丫的聯合分布律如下表345P{X=x,}11_1c1-To_2__2_cf-ioc[-106To20cf-io_2__2_cf-To3lo300j__j_cf-io110P{…}1io3To6To⑵因尸吠川P{y=3}=**備4=尸-3}，故x與y不獨立14.設*和y是兩個相互獨立的隨機變量，x在(O,I)上服從均勻分布，丫的概率密度為一、-ey/2,y>0,fy(y)=\2[o,其他.(i)求x和y的聯合概率密度；(2)設含有0的二次方程為d+2Ah+}H),試求a有實根的概率.【解】⑴因力(x)=L晨。*)=『，y>L15分他' b,其他.故〃x,y)x,y獨立/jx)人")=0<x<1,>0,0,其他-(2)方程/+2松+丫=0有實根的條件是△=(2X)；故 於匕從而方程有實根的概率為：P{X2>Y}=/=1Mb?=1-缶i①⑴-①(0)]=0.1445.26.設二維隨機變量(X,丫)的概率分布為題14圖-47>0-101-1a00.200.1b0.2100.1c其中”>,c為常數，且X的數學期望EO-0.2,尸{仁0叱0}=0.5,記Z=RK求:a,h,c的值；Z的概率分布;P[X=Z}.解(1)由概率分布的性質知,a+6+c+0.6=l即a+6+c+0.6=l即a+b+c=0.4.由E(X)=-0.2,可得-a+c=-0.1.再由p{y<o|x<o)=P[X再由p{y<o|x<o)=P[X<0,y<0}a+b+OAP{X<0}a+b=0.3.解以上關于。，h,c的三個方程得a-0.2,b=0.1,c=0.1.Z的可能取值為-2,-1,0,1,2,P{Z=-2}=P{X=-1,y=-l}=0.2,p{z=-i}=p{x=-i,y=0}+P{x=o,r=-i}=o.i,

p{z=0}=p{x=-i,y=i}+P{x=o,y=0}+p{x=i,y=-i}=o.3,p[z=1}=P{x=1,y=0}+p{x=o,y=i}=o.3,0{z=2}=p{x=i,y=i}=o.i,即z的概率分布為z-2-1012p0.20.10.30.30.1尸{X=Z}=P{Y=0}=0.1+b+0.2=0.1+0.1+0.2=0.4.習題四.設隨機變量X的分布律為X-1012P1/81/21/81/4求E(X),E(A2),E(2%+3).【解】⑴￡(X)=(-l)xl+0xl+lxl+2xl=l;o2o42⑵￡(X⑵￡(X2)=(-1)2x1+02o5-4

=-4X2+11-8X2+11-2XE(2X+3)=2E(X)+3=2xg+3=4.已知100個產品中有10個次品，求任意取出的5個產品中的次品數的數學期望、方差.【解】設任取出的5個產品中的次品數為X,則X的分布律為

X012345pc5乎=0.583c5~IOOc1c4工^.=0.340c5Jooc2c3-V22-=0-070c5Joo=0.007%c4c'J0V_0c5Jooc5導=0c5Joo故E(X)=0.583x0+0.340x1+0.070x2+0.007x3+0x4+0x5=0.501,5￡>(%)=￡[x,.-￡(X)]2Z>i=0=(0-0.501)2X0.583+(1-0.501)2x0.340+…+(5-0.501)2x0=0.432.5.設隨機變量X的概率密度為x,0<x<1,

/(x)=p-x,l<x<2,

0,其他.求E(X),D(X).【解】E(X)=[VXx)dx=fx2dx+fM2-x)dr2X

X2X

X 3=1.1

￡(X2)=1x2/(x)dx=fx3dx+fx2(2-x)dx='故 D(Z)=E(%2)-[E(X)]2=-.6=11x8-4x5=68.7.設隨機變量X,y相互獨立，且E(X)=E(X)=3,D(X)=12,D(X)=16,求E(3%-2D,D(2￥-3Y).【解】⑴E(3X-2Y)=3E(X)-2￡(K)=3x3-2x3=3.(2)D(2X-3K)=220(X)+(-3)2￡>7=4x12+9x16=192.10.設隨機變量X,丫的概率密度分別為fx(x)=<2e-2xfx(x)=<2e-2x0,x>0,x<0;/、4efy=5u，y>0,ywo.求(1)E(A>7);(2)E(2￥-3產).【解】(X)=「xfx(x)dx「'x2e_2xdr=[-xe-2x『e'2vdx=「e-2，dx=L* 2E(y)= 4eV'dy=；.E(X)=%3)?=4e，dy=a='113從而(i)e(x+y)=e(x)+E(y)=-+-=-., ,115(2)E(2X-3y2)=2E(X)~3E(Y2)=2x——3x-=-2 8811.設隨機變量X的概率密度為求(1)系數c;(2)E(X);(3)D(%)【解】⑴由【解】⑴由fV（x）dx=cxe-*vdx=—=1得c=2%2.E(X)=匚4(x)d(x)=『x2k2xe^x2dx=2k2口2e-*%&=正.上 2kE(X2)=￡"x2/(x)d(x)=￡\22k1產土.//\2故D(%)=￡(X2)-[￡(X)]2=—-萼=艱.k12%J4k15.對隨機變量x和y,已知。(X)=2,d(y)=3,cov(%,y)=-i,計算：Cov(3X-2Y+1,X+4Y-3).I解]Cov(3X-2Y+\,X+4Y-3)=30(X)+10Cov(X,Y)-8O(Y)=3x2+10x(-l)-8x3=-28（因常數與任--隨機變量獨立，故Cov（X,3）=Cov（y,3）=0,其余類似）.x>0,17.設隨機變量（x,y）的分布律為X-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8驗證x和丫是不相關的，但x和y不是相互獨立的.【解】聯合分布表中含有零元素，x與y顯然不獨立，由聯合分布律易求得x,y及量的分布律，其分布律如下表X-101p323888YT01p323888XY-101P242888由期望定義易得e(X)=e(y)=e(xn=o.從而￡(Xy)=￡C￥>E(y),再由相關系數性質知pbO,即x與y的相關系數為o,從而x和y是不相關的.331又P{X=_1}P{Y=-1}=-x-^-=P{X=-l,Y=-\}從而x與y不是相互獨立的.從而Zr(x)=匚f(x,y)dy=因此E(X)=f/(x)dx=^2x2dx=-,￡(%2)=^2x 1同理可得￡(y)=-,D(y)=—.E(XY) 1同理可得￡(y)=-,D(y)=—.E(XY)=/2肛dxdy=2fxdxjydy=—,54 1Cov(X,y)=E(")-E(X)E(Y)=---=-—,i4iD(X)=E(H)-[E(X)]2于是概率論與數理統計習題及答案習題一.設4,8為隨機事件，且尸(A)=0.7,尸(1-8)=0.3,求尸(.AB).【解】尸(而)=1-尸(AB)=1-[尸(4)-尸(4-8)]=1-[0.7-0.3]=0.6.設4B,C為三事件，且尸(/)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且尸(AB)=P(BC)=0,P(/C)=1/12,求出B,C至少有一事件發生的概率.【解】P(JU5UC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AQ+P(ABC)11113=—? 1- =——443124.對一個五人學習小組考慮生日問題：(1)求五個人的生日都在星期日的概率； (2)求五個人的生日都不在星期日的概率；(3)求五個人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)設小=｛五個人的生日都在星期日｝,基本事件總數為7$,有利事件僅1個，故P(小)=—=(-)5 (亦可用獨立性求解，下同)75 7(2)設4=｛五個人生日都不在星期日｝,有利事件數為6‘，故,、65 65P(力2)=-^=(-)'T7(3)設4=｛五個人的生日不都在星期日｝

13.一個袋內裝有大小相同的7個球，其中4個是白球，3個是黑球，從中一次抽取3個，計算至少有兩個是白球的概率.【解】設4=｛恰有i個白球｝（，=2,3）,顯然4與43互斥.故 故 p（4U4）=p（4）+p（4）=石19.已知一個家庭有3個小孩，且其中一個為女孩，求至少有一個男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.【解】設/=｛其中一個為女孩｝,8=｛至少有一個男孩｝,樣本點總數為23=8,故P網4)=P網4)=P(AB)

P(/)6/8677i-7或在縮減樣本空間中求，此時樣本點總數為7.或在縮減樣本空間中求，此時樣本點總數為7.尸（8⑷423.設尸(4)=03,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求尸(8|4U5)【解】【解】0.7-0.5_10.7+0.6-0.5-424.在一個盒中裝有15個乒乓球，其中有9個新球，在第一次比賽中任意取出3個球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個球，求第二次取出的3個球均為新球的概率.【解】設4=｛第一次取出的3個球中有，個新球｝,i=0,1,2,3.8=｛第二次取出的3球均為新球｝由全概率公式，有3p（b）=￡p（b|4）p（4）z=0=、.上2+上史至?二+*止a.*_+*_?、=0089「3 「3 「3 「3 -3 「3 -3 「3^15 ^15 ^15 ^15 V15 ^15 5534.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊，設擊中的概率分別是0.4,0.507,若只有一人擊中，則飛機被擊落的概率為0.2：若有兩人擊中，則飛機被擊落的概率為0.6；若三人都擊中，則飛機一定被擊落，求：飛機被擊落的概率.【解】設4=｛飛機被擊落｝,5=｛恰有i人擊中飛機｝,i=0,1,2,3由全概率公式，得P⑷=巧（幺田）P（耳）r=0=（0.4X0,5X0.3+0.6X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7）0.2+（0.4X0.5X0.3+0.4X0,5X0.7+0.6X0.5X0.7）0.6+0.4X0.5X0.7=0.458習題二2.設在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個數，求:(1)X的分布律；X的分布函數并作圖；1 3 3P{X<^,P{\<X<^},P[l<X<^},P{\<X<2}.【解】%=0,1,2.C322P(X=0)=^=—.C135c'c212

p(%=i)=^hi=2±C*35C11P(%=2)=^.=—.C；535故X的分布律為X012p22121353535(2)當x<0時，F(x)=P(X<x)=022當0Wx<l時，F(x)=P(X<x)=P(Ai=0)=一35當lWx<2時，F(x)=P(X<x)=尸*0)+尸(六1尸|^當x22時，F(x)=P(*<x)=1故X的分布函數(3)SP{\<X<P(1<X<尸(1<X<3.射手向目標獨立地進行了3次射擊，每次擊中率為0.8,【解】設X表示擊中目標的次數.則舁0,1,2,3.0,x<022—,0<x<l35F(x)=4"34—,l<x<2351, x>2=嗎啜3 3 3434-)=F(-)-F(l)=—=02 35353 12-)=P(%=l)+P(l<%<-)=—3412)=2⑵-F(1)-P(X=2)=1----=0.求3次射擊中擊中H標的次數的分布律及分布函數，并求3次射擊中至少擊中2次的概率.P(X=0)=(0.2)3=0.008P(X=1)=C；0.8(0.2)2=0.096P(X=2)=Cj(0.8)20.2=0.384p(X=3)=(0.8)3=0.512故X的分布律為X 0 12 3P 0.008 0.0960.384 0.512分布函數0, x<00.008,0<x<l尸(x)=<0.104, l<x<20.488, 2<x<31, x>3P(X>2)=P(X=2)+P(X=3)=0.8964.(1)設隨機變量X的分布律為P{X=:k}z=ci--1其中20,1,2,…，久＞0為常數，(2)設隨機變量X的分布律為試確定常數aP{X=k}=a/N, k=\,2,…，N,試確定常數a.【解】(1)由分布律的性質知_QO. _ao_1k1=2P(X=k)=a^j——=ae，A=0 k=Gk!故

(2)(2)由分布律的性質知k=\k=\k=\即 a=\.9.設事件4在每一次試驗中發生的概率為0.3,當/發生不少于3次時，指示燈發出信號，(1)進行了5次獨立試驗，試求指示燈發出信號的概率；(2)進行了7次獨立試驗，試求指示燈發出信號的概率.【解】(1)設X表示5次獨立試驗中4發生的次數，則￥4(5,0.3)5P(X>3)=^C*(0.3/(0.7)5-*=0.16308k=3(2)令y表示7次獨立試驗中A發生的次數，則Y~b(7,0.3)7尸(丫23)=ZG(0.3>(0.7尸=0.35293￡=3.設隨機變量X在［2,5］上服從均勻分布.現對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率.【解】X~U\2,5］,即〃x)="I。，〃x)="I。，2<x<5其他161 2P(X〉3)=f-dx=-故所求概率為.設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X(以分鐘計)服從指數分布E(g).某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次,以y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數，試寫出y的分布律，并求尸{yni}.【解】依題意知X?E(1),即其密度函數為[0, x<0該顧客未等到服務而離開的概率為P(%>10)=?dx=e-2丫?b(5,e-2),即其分布律為p(y=左)=C；(e//(l-e-2)5-*，左=0,1,2,3,4,5P(y>l)=l-P(r=0)=l-(l-e-2)5=0.516722.由某機器生產的螺栓長度(cm)X~N(10.05,0.062),規定長度在ioo5±O.12內為合格品，求一螺栓為不合格品的概率.【解】尸(|X-10.05|〉0.12)= XT。*>處]I006 0.06J=1-0(2)+0(-2)=2[1-0(2)]0.045626,設隨機變量X的密度函數為^x)=qqw,X>0;bx,0<x<1,Ax)=<~9 l?x<2,x0,其他.試確定常數q,"并求其分布函數尸(x).【解】⑴由L/(x)dx=l知1=L故即密度函數為當x〈0時F(x)=J/(x)dr當x>0時F(x)=j/(x)dx二i 1=1-e2ae-A|v!dx=2?j)e^xdx=—Aa=2x>0，/、 2/(x)=J-e2jx4012fA"a%=" 1=—eox=eL2 2二f亨故其分布函數37尸(x)=(2)由1=[/(x)dx=得即X的密度函數為,,b1bxdx+—dr=—+—x222b=l/(x);當xWO時F(x)=0當0cx<1時E(x)=￡f(x)dx=￡/(x)dx+[/(x)dx當1Wx<2時F(x)=Jf(x)dv-￡Odr+[xdr+J—dr_3_j_2x當x22時尸(x)=1故其分布函數為1--e-Ax,x>02-eZv,x<0200<x<1l<x<2其他29.設尸收｝=(-)*,1,2，…，令求隨機變量x的函數y的分布律.【解】P(y=l)=P(X=2)+P(Ar=4)+--+P(X=2jt)+--30.設A-N(0,1).(1)求Qe%的概率密度；(2)求丫=*+1的概率密度;(3)求斤1X1的概率密度.x<00<x<ll<x<2x>21,當X取偶數時-1,當X取奇數時p(y=-i)=i-p(r=i)=|【解】⑴當y40時，耳。0=P(Y4y)=0當yX)時，K")=P(YWy)=P(e'Wy)=尸(X<Iny)=￡："v(x)dxfYfY(y)=味3)1xdyy⑵P(y=2X2+lNl)=l當時43)=P(y4y)=O當y>l時耳(y)=P(YWy)=P(2X2+lWy)1 1 -in2y/2 n=--r=e111 ,J>0yv27i一]I2 1 --(y-l)/4i-56—E />1⑶p(r>o)=i當yWO時4")=尸(丫4歹)=0當戶0時4(y)=P(|X\<y)=P(-y<X<y)=LZJx)dx故人3)=[43)=人(歹)+人(一歹)dy=-4=e-?/2,y>0\J2ti習題三2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數，以丫表示取到紅球的只數.求X和丫的聯合分布律.【解】x和丫的聯合分布律如表：X0123000C；C；=3-35C；C；~cT10C；C；C；_6C；一35c；c；C；」2C； 35c；c；c2尸(0黑,2紅,2白尸c；C/G=5C；C；C；_6C；-35C；C；_3C*-3504.設隨機變量(x,y)的分布密度'Ae~(3x+4y),f(x,y)=<遍求：(1)常數小(2)隨機變量(X,Y)的分布函數；(3)P(O<X<1,0<Y<2}.［解］(1)由'(x,y)dxdy=二工「4=1得4=12(2)由定義，有尸(X,歹)=ff/(w,v)dudv235235x>0,y>0,其他.y>0,x>0,其他y>0,x>0,其他其他.ff12e-0"+4v)d〃du_J(1_-3,)(1_eT'')0, 1 0(3)P{0<^<l,0<y<2}=p{o<^<i,o<r<2}=Ji￡12e-(3l+4,)dxdy=(1-e-3)(l-e-8)?0.9499.8.設二維隨機變量(x,丫)的概率密度為4.8y(2-x),0<x<l,0<^<x,0, 其他.求邊緣概率密度.【解】￡(x)=「>(x,y)4y_￡4.8y(2-x)dy_12.4x2(2-x),0<x<l,=q =|o, 其他.fr(y)=["f(x,y)dxf4.8X2-x)dxf2.4y(3-4y+/),=4Jy ='0,0,0,9.設二維隨機變量(x,r)的概率密度為求邊緣概率密度.x>0,0,其他.【解】人(x>0,0,其他.0,力（歹）=「/（x,y）及ye，y>0,0,其他.Pe-ye，y>0,0,其他.=<A）=<0, .44ii.設隨機變量(x,r)的概率密度為/(x,y)求條件概率密度fY,x(7|X),Air(XIj).【解】人。)=「/(3)如PIdy=2x,0<x<1,

"|o/其他.題11圖fldx=l+y,J-Vfr(y)=￡/(X,j)dx=^|'ldx=l-y,0<j/<1,

0, 其他所以4x(y|x)=〃M"人(x)1 , , 1五’3c<1，0,其他.i【-y'

1其他\+y'0,其他12.袋中有五個號碼1,2,3,4,5,從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X,最大的號碼為匕（1）求x與丫的聯合概率分布：（2）x與y是否相互獨立？【解】（1）x與丫的聯合分布律如下表345P{X=x,}11_1c1-To2_2cf-Ioc[-106To2011■二歷2 2a=歷3lo300J__J_cf-io1101io3To6To⑵因尸{X=]}P{y=3}*x尋焉*=尸{"，丫=3},故x與y不獨立14.設*和y是兩個相互獨立的隨機變量，x在(0,1)上服從均勻分布，丫的概率密度為.(、-e-y,2,y>0,力■(y)=12[o,其他.(i)求x和y的聯合概率密度；(2)設含有0的二次方程為d+2Ah+}H),試求a有實根的概率.【解】⑴因川)=(‘晨<'fAy)=\ie1'…15只仙’ b,其他.y… -e-y/20<x<l,y〉0,故/(x,y)X,Y獨立力■(工)人(歹)=2 "0,其他y1(2)方程/+2法+丫=0有實根的條件是△=(2X)故從而方程有實根的概率為:P{X2>/}==1-瘍[①⑴-①(0)]=0.1445.26.設二維隨機變量(X,7)的概率分布為IX題14圖-4r>o-101-1a00.200.1b0.2100.1c其中”>,c為常數，且X的數學期望EO-0.2,尸{仁0叱0}=0.5,記Z=RK求:a,h,c的值；Z的概率分布;P[X=Z}.解(1)由概率分布的性質知,a+6+c+0.6=l即a+6+c+0.6=l即a+b+c=0.4.由E(X)=-0.2,可得-a+c=-0.1.再由P{y<0|%<0)=P{X<0,Y<0}a+再由P{y<0|%<0)=P{X<0,Y<0}a+b+OAP{%<0}a+b+0.5a+b=0.3.解以上關于a,b,c的三個方程得a—0.2,=0.1,c=0.1.(2)Z的可能取值為-2,-1,0,1,2,P{Z=-2}=P{X=-l,y=-l}=0.2,p{z=-i}=p{^=-i,y=o}+P{x=o,r=-i}=o.i,

p{z=0}=p{x=-i,y=i}+P{x=o,y=0}+p{x=i,y=-i}=o.3,p[z=1}=P{x=1,y=0}+p{x=o,y=i}=o.3,0{z=2}=p{x=i,y=i}=o.i,即z的概率分布為z-2-1012p0.20.10.30.30.1(3) 尸{X=Z}=P{Y=0}=0.1+b+0.2=0.1+0.1+0.2=0.4.習題四.設隨機變量X的分布律為X-1012P1/81/21/81/4求E(X),E(A2),E(2%+3).【解】⑴￡(X)=(-l)xl+0xl+lxl+2xl=l;o2o42⑵￡(X⑵￡(X2)=(-1)2x1+02o5-4

=-4X2+11-8X2+11-2XE(2X+3)=2E(X)+3=2xg+3=4.已知100個產品中有10個次品，求任意取出的5個產品中的次品數的數學期望、方差.【解】設任取出的5個產品中的次品數為X,則X的分布律為

X012345pr5乎=0.583c5Jooc1c4-1^=。-340c5Jooc2c3-V22-=0.070c5~100=0.007%c4c'J0vz90_0c5Jooc5導=0c5Joo故E(X)