線性代數(shù)與概率統(tǒng)計廣州大學(xué)華軟軟件學(xué)院基本內(nèi)容◆第一章行列式◆第二章矩陣◆第三章線性方程組與向量組◆第四章矩陣的特征值、特征向量與二次型◆第五章隨機(jī)事件與概率◆第六章隨機(jī)變量◆第七章隨機(jī)變量的數(shù)字特征與極限分布◆第八章數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)第一部分

線性代數(shù)包含內(nèi)容：第一至四章。線性代數(shù)發(fā)展：數(shù)學(xué)的一個分支，主要處理線性關(guān)系問題。線性關(guān)系即數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系是以一次形式來表達(dá)的。

線性代數(shù)作為獨(dú)立的分支直到20世紀(jì)才形成，然而它的歷史卻非常久遠(yuǎn)。最古老的線性問題是線性方程組的解法，在中國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·方程》章中，已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法。

隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入，行列式和矩陣在18～19世紀(jì)期間先后產(chǎn)生，為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動了線性代數(shù)的發(fā)展。

向量概念的引入，形成了向量空間的概念。凡是線性問題都可以用向量空間的觀點(diǎn)加以討論。因此，向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系的矩陣?yán)碚摚瑯?gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容。線性代數(shù)的含義隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴(kuò)大。線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支。比如，“以直代曲”是人們處理很多數(shù)學(xué)問題時一個很自然的思想。很多實(shí)際問題的處理，最后往往歸結(jié)為線性問題，它比較容易處理。同時也是理論物理和理論化學(xué)所不可缺少的代數(shù)基礎(chǔ)知識。線性代數(shù)的應(yīng)用：①線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位；②在計算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計算機(jī)圖形學(xué)、計算機(jī)輔助設(shè)計、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分；③該學(xué)科所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對于強(qiáng)化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，增益科學(xué)智能是非常有用的；④隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計算機(jī)的發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。第一章行列式▼n階行列式的定義▼行列式的性質(zhì)▼行列式按行（列）展開▼克萊姆法則用消元法解二元線性方程組類似可以消去得，二階行列式的定義定義1：由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表如下即主對角線副對角線例1主對角線副對角線對角線法則二階行列式的計算若記對于二元線性方程組系數(shù)行列式二元線性方程組的解為注意

分母都為原方程組的系數(shù)行列式.并且可以看到，二元線性方程組的求解問題其實(shí)就是二階行列式的計算問題.例求方程組的解。解：所以，若記或記即得得

稱為三階行列式.主對角線法

從三階行列式的計算結(jié)果可以看出，行標(biāo)列標(biāo)它的每一項(xiàng)都是由來自不同行不同列的元素相乘而得到的，如：三階行列式定義：問題：為什么紅線位置元素乘積時都是“+”號，而藍(lán)線位置元素相乘時都是“-”號，正負(fù)號由什么來確定呢？由來自第1行第2列的元素第2行第3列的元素

第3行第1列的元素相乘得到。三階行列式有3！項(xiàng)，其中三項(xiàng)為正，三項(xiàng)為負(fù)。

解：按主對角線法，有例1計算三階行列式例3解方程左端三、排列及其逆序數(shù)1排列

由1,2,3組成的所有3級排列有：123132213231312321注：n級排列中的n個數(shù)字必須都出現(xiàn)，n個數(shù)字不能重復(fù)。共6個。可理解為：6=3*2*1=3！.即3級排列共6個.n級排列共

個.例如3254183251467321514是一個5級排列是一個8級排列.不是一個6級排列.第一位第二位第三位三種二種一種由自然數(shù)

組成的一個有序數(shù)組

稱為一個n級排列。

在所有的3級排列中，123是按由小到大的順序排列的，

其他的，如321，132等都不再是自然序，即有些大的數(shù)2排列的逆序

定義：在一個n

級排列i1i2…in中，若某兩數(shù)的前后位置與大小順序相反,即is>it(s<t),則稱這兩數(shù)構(gòu)成一個逆序.

排列中逆序的總數(shù),稱為它的逆序數(shù)，記為(i1i2…in).例如排列32514中

32514逆序逆序3231逆序215154都是逆序稱為3級自然序排列。字排在了小的數(shù)字的前面，于是就產(chǎn)生了逆序的概念。32514逆序數(shù)為20故此排列的逆序數(shù)為2+1+2+0+0=5.所以τ(32514)=5計算排列的逆序數(shù)的方法1：分別計算出排列中每個元素后面比它小的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，將每個元素的逆序數(shù)求和即得所求排列的逆序數(shù).計算排列的逆序數(shù)的方法2：分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，32514即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，將每個元素的逆序數(shù)求和即得所求排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為31001于是，例計算下列排列的逆序數(shù)，并判斷奇偶性。3排列的奇偶性若排列i1i2…in的逆序數(shù)為奇（偶）數(shù)，稱它為奇（偶）排列.3124365124

12…(n-1)nn(n-1)…321

解：312423651242偶排列奇排列00

04300

0n(n-1)(n-2)…321n-1n-2n-3210當(dāng)時為偶排列；當(dāng)時為奇排列.即，隨著n的不同奇偶性會發(fā)生變化。4對換

在一個排列i1…is…it

…in中，若將is和it位置互換,

而其余各數(shù)位置不變得到另一排列i1…it…is

…in,

這個變換稱為一個對換,記為(is，it).即結(jié)論：1).對換改變排列的奇偶性.2).任意一個n級排列與標(biāo)準(zhǔn)排列12…n都可以經(jīng)過一系列對換互變.3).在所有n級排列中，奇排列與偶排列的個數(shù)相同。思考練習(xí)（排列的逆序數(shù)）(542163)9四、n階行列式定義共6=3！項(xiàng)；每項(xiàng)都是由來自不同行不同列的元素乘積而得到；每項(xiàng)的符號由什么來確定呢？的逆序數(shù)依次為全為偶排列，于是符號為正。答案：行排列為自然序時，符號由該項(xiàng)列排列的逆序數(shù)決定。同理：全為奇排列，為負(fù)號。三階行列式的另一種表示方法-----列排列為自然序定義：n階行列式其中，1.每項(xiàng)是由來自不同行不同列的n個元素的乘積構(gòu)成。2.該項(xiàng)的符號由列排列的逆序數(shù)決定。3.下標(biāo)取遍所有的n級排列就構(gòu)成了n階行列式的所有項(xiàng)。

階行列式也可定義為其中

為行排列的逆序數(shù).更一般的我們有:該項(xiàng)的符號由行排列和列排列的逆序數(shù)之和決定。是兩個n級排列。其中，例

的符號。解：說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方2、階行列式是項(xiàng)的代數(shù)和;3、階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同5、一階行列式不要與絕對值記號相混淆;4、的符號為程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;列個元素的乘積;

的符號