§10-1正弦電壓和電流√§10-2正弦穩態響應√§10-3基爾霍夫定律相量形式√§10-4RLC元件電壓電流關系相量形式√§10-5正弦穩態相量分析√§10-6普通正弦穩態電路分析√§10-7單口網絡相量模型等效√§10-8正弦穩態響應疊加√§10-9計算機分析電路舉例第10章正弦穩態分析1

正弦穩態響應是正弦電源激勵下完全響應穩態分量，它是電路方程特解。假如激勵電源是正弦交流電源，則對應穩態響應必定是同頻率正弦量。電路中存在正弦交流電源電路簡稱為交流電路，交流電路是一個應用最廣泛電路。電力供電與用電系統大多數電路是交流電路。

+－+NRCLuuS－i設：uS=USMsin(wt+S)i=Imsin(wt+i)u=Umsin(wt+u)則：關于正弦穩態2例,正弦RC電路完全響應,設:uS=USMcos(wt+

S)、uC(0)=U0。求uC(t),(t≥0)。解:由KVLuS=uR+uC設:

u(t)=uch(t)+ucp(t)得:iUS+–uRC+–uCRS+–電路方程為：3tucpucO完全響應=瞬態響應(uch)+穩態響應(ucp)零狀態響應式中：穩態響應:

ucp(t)=UCMcos(wt+u

)4本章重點：☆

正弦量相量表示☆

復阻抗復導納☆

相量圖☆

用相量法分析正弦穩態電路對于RCL電路，瞬態響應是電路過渡過程，普通情況下響應表示式比較復雜。而過渡過程結束后穩態響應是與交流電源同頻率正弦交流電。完全響應=瞬態響應+穩態響應+－+NRCLuuS－i激勵電源完全響應5§10-1正弦電壓和電流一、正弦電壓電流

按照正弦規律隨時間改變電壓(或電流)稱為正弦電壓(或電流)，它是使用最廣泛一個交流電壓(電流)，常稱為交流電，用AC表示。慣用函數式和波形圖表示正弦電壓和電流，正弦電流函數表示式以下式所表示，其波形圖如圖所表示。式中：Im——振幅值；ω——角頻率；i——初相位。ti0iImi(t)=Imsin(wt+i)6交流電路中正弦電壓與電流大小和方向隨時間按正弦規律做周期改變。ti0iImiuS－R+正半周LiuS－R+負半周L應用交流電優越性：1).應用交流電方便于長距離傳輸和變壓；2).交流電很輕易變換為直流電；3).交流電有利于電器設備運行。.......7(1)幅值(amplitude)(振幅)Im：

反應正弦量改變幅度大小。(2)

角頻率(angularfrequency)w：每秒改變角度(弧度)，反應正弦量改變快慢。正弦量三要素：(3)初相位(initialphaseangle)y：反應了正弦量計時起點。普通要求：|y|≤。

單位：rad/s

，弧度/秒i(t)=Imsin(wt+yi)iOTIm2t8因為已知振幅Im，角頻率ω和初相i，就能夠完全確定一個正弦電流，稱它們為正弦電流三要素。與正弦電流類似，正弦電壓三要素為振幅Um，角頻率ω和初相u，其函數表示式為因為正弦電壓電流數值隨時間t改變，它在任一時刻數值稱為瞬時值，所以上兩式又稱為正弦電流和正弦電壓瞬時值表示式。i(t)=Imsin(wt+i)u(t)=Umsin(wt+u)9例,已知正弦電壓振幅為10伏,周期為100ms,初相為

/6。試寫出正弦電壓函數表示式和畫出波形圖。解：先計算正弦電壓角頻率正弦電壓函數表示式為tu030°1010三、同頻率正弦量相位差

(phasedifference)正弦電流電路中，各電壓電流都是頻率相同正弦量，我們分析這些電路時，經常需要將這些正弦量相位進行比較。兩個正弦電壓電流相位之差，稱為相位差，用表示。比如有兩個同頻率正弦電流i1(t)與i2(t)之間相位差為：設：i1(t)=I1msin(wt+1)i2(t)=I2msin(wt+2)j=(wt+1)－(wt+2)＝1－2tii1

i2y1y2jO11同相：j=0，反相：j=±(±180o)

，要求：|y|≤(180o)。特殊相位關系：tii1

i2Otii1

i2Otii1i2O正交：

=±p/2(±90o

),j=1－2☆

j>0,i1超前i2

j角;☆

j<0,i2超前i1

j角。12例,已知正弦電壓u(t)和電流i1(t)，i2(t)瞬時值表示式為試求電壓u(t)與電流i1(t)和i2(t)相位差。解：電壓u(t)與電流i1(t)相位差為電壓u(t)與電流i2(t)相位差為13四.交流電有效值交流電周期性電流、電壓瞬時值隨時間而變，為了衡量其大小工程上采取有效值來表示。電流有效值定義為：瞬時值平方在一個周期內積分平均值再取平方根。有效值也稱均方根值(root-meen-square，簡記為rms。)1.周期電流、電壓有效值(effectivevalue)定義14W2=I2RTRi(t)RI一樣，可定義電壓有效值：周期性電流i流過電阻R，在一周期T內吸收電能，等于一直流電流I流過R,在時間T內吸收電能，則稱電流I為周期性電流i有效值。2.有效值物理意義令:W1=W2153.正弦電流、電壓有效值設i(t)=Imsin(t+)16同理，可得正弦電壓有效值與最大值關系：若一交流電壓有效值為U=220V，則其最大值為Um311V；電壓有效值為U=380V，最大值為Um537V。工程上說正弦電壓、電流普通指有效值，如設備銘牌額定值、電網電壓等級等。但絕緣水平、耐壓值指是最大值。所以，在考慮電器設備耐壓水平時應按最大值考慮。測量中，電磁式交流電壓、電流表讀數均為有效值。*注意區分電壓、電流瞬時值、最大值、有效值符號。17五.復數及運算1.復數表示法a).復數幾何表示法AbReIma0|A|18b).復數指數表示法2.復數運算則

A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1).加減運算若

A1=a1+jb1，A2=a2+jb2加減法可用圖解法。A1A2ReIm0A1+A219j——復數單位虛部j=190°=ej(p

/2)=cos90o+jsin90o共軛復數：若A=a+jb;A*=a

-jb復數A*稱為A共軛復數，A?A*=a2+b2

例1：Abja0|A|20(2)乘除運算若

A1=|A1|1

，A2=|A2|2除法：模相除，角相減。乘法：模相乘，角相加。若A=a1+jb1;B=a2+jb2則：A?B=(a1+jb1)?(a2+jb2)=(a1a2-b1b2)+j(a1b2+a2b1)21例2.復數運算已知Z1=5+j3W,Z2=1+j3W,Z3=1-j2W,求ZO。解:Z2Z1Z3ZO22正弦量用相量表示實質是正弦量能夠用旋轉有向線段來表示。設正弦量:u(t)=Umsin(t+)

有向線段長度=

Um；有向線段與橫軸夾角=初相位；有向線段以速度按逆時針方向旋轉，該旋轉有向線段每一瞬時在縱軸上投影即表示對應時刻正弦量瞬時值。u0Um2t六.正弦量相量表示23只考慮正弦量振幅值和初相位時：?mju正弦量用相量表示:相量模表示正弦量振幅值相量幅角表示正弦量初相位241)正弦量相量表示25已知：例1.試用相量表示i、u

解：解：w=2πf=314rad/s26i

=

i1+i2=Im1cos(wt+j1)+Im2cos(wt+j2)?m=?m1+?m2=Im1j1

+

Im2j2=Imj

變換反變換i

=

i1+i2=Imcos(wt+j)用相量法求i

:?m2?m1?mj同頻正弦量加、減運算可借助相量圖進行。2)同頻正弦量加減運算27例2,已知：求i=i1+i2。2).把正弦量變換為有效值相量解：1).把i2(t)轉換為正弦函數形式283).相量計算4).反變換i15I29例3,已知：解：作變換求

u=u1+u2302)同頻正弦量微分與積分運算相量表示微分運算:相量微分:設：i=Imcos(wt+qi)?=Imi∵j=ej(p/2)=cos90o+jsin90o對應相量：31積分運算:相量積分:設：i=Imcos(wt+qi)?=Imi32§10-2正弦穩態響應

在正弦激勵下，動態RCL電路穩態響應是對應電路微分方程特解。完全響應=暫態響應(uch)+穩態響應(ucp)特解ucp函數形式與電源函數形式相同，為同一頻率正弦函數。可用相量法進行求解。例.設:uS=16cos(5t+45o)V,

求

i。0.025F42.4H–+uCLCRi+–uS解:1)列寫電路方程KVL：uS=uR+uC+uL332).作變換0.025F42.4H–+uCLCRi+–uSuS=16cos(5t+45o)V變換3).相量分析340.025F42.4H–+uCLCRi+–uS4).反變換35同頻率正弦量加減能夠用對應相量形式來進行計算。所以，在正弦電流電路中，KCL和KVL可用對應相量形式表示：上式表明：流入某一節點全部正弦電流用相量表示時仍滿足KCL；而任一回路全部支路正弦電壓用相量表示時仍滿足KVL。§10-3

基爾霍夫定律相量形式一.基爾霍夫定律相量形式36時域方程:LCRiCiRiLuS－+相量方程:R－+jwL二.電路方程兩種形式37R－+jwL應用相量形式微分與積分關系：38

§10-4RLC元件電壓電流關系相量形式一.電阻VCR相量形式1).電阻VCR時域形式：有效值關系：UR=RI；相位關系qu=qi(u,i同相)。URquuR(t)i(t)+-RO393).波形圖及相量圖

itOuRu=i2).電阻VCR相量形式相量模型+-RO40二.電感VCR相量形式有效值關系：U=wLI相位關系：q

u=q

i+90°

(u超前i90°)設：則：1).電感VCR時域形式i(t)uL(t)+-L41i2).電感VCR相量關系t

iOuL3).波形圖及相量圖相量模型+-jL42三.電容VCR相量形式有效值關系：IC=wCU相位關系：

i=u+90°

(i超前u90°)1).電容VCR時域形式i(t)uC(t)+-C43相量模型2).電容VCR相量形式：3).波形圖及相量圖ZC+-tiCOuCΨu相量圖44NRCL+–四.阻抗與導納設NRCL為動態無源單口，其端口電流、電壓用相量表示定義阻抗Z=定義導納Y=ZR

=RO

YR=GO

當NRCL為電阻網絡時歐姆定理相量形式：+-RO45當NRCL為單一電感時(ZL稱為感抗）(YL稱為感納）

感抗和頻率成正比ZL=ZL(jw)wZLw0(直流)，|ZL|0(短路)w，|ZC|

(高頻開路)由相量VCR關系：+-jL46當NRCL等效為單一電容時(ZC稱為容抗）(YC稱為容納）w0，|ZC|直流開路(隔直)w，|ZC|0高頻短路(旁路作用)w|ZC|由相量VCR關系：ZC+-頻率和容抗成反比:ZC=ZC(jw)47復數形式歐姆定律Z——復數阻抗實部為阻虛部為抗容抗感抗NRCL+–定義阻抗Z

電感、電容又稱為電抗元件，電路中存在LC,X≠0。電路中存在電阻RO≠0。當NRCL內部存在電阻、電感、電容時：48五.動態無源單口等效阻抗NRCL+–設NRCL為動態無源單口ZO+-1.串聯單口+ZZ1Z2++---49同直流電路相同：+-Y1Y22.并聯單口50例1,設us=2costV,求Zab2W0.5F2HabuS－+解：w=1rad/sZL=jwL=j1×2=j2

W51RL1HC0.25Fi+–uS4例2,求圖示串聯單口w分別為1、2、3rad/s時對應端口等效阻抗Z0。52例3,設w=10rad/s,求以下電路端口ZO、YO。ZORL0.1HC0.025F353YORL0.1HC0.025F32).求YO54例4.設NRCL為動態無源單口，

uab=5cos(10t+15o)V;uR=10cos(10t-15o)V。求：NRCL輸入阻抗Zab

及等效元件參數解：NRCL+–uR+–uSabi10由：

L=2.5,L=0.25H,RO=4.33。4.330.25Hab55一.交流電路相量模型(phasormodel)用相量法分析交流電路時，把電路中正弦電源變換為對應相量；把R、L、C元件變換為復數阻抗或導納；電路各點電壓、電流變換為對應相量；變換后對應電路稱為相量模型電路。時域電路LCRiCiRiLuS－+相量模型電路R－+jwL

§10-5正弦穩態相量分析561).變換:畫出電路相量模型，電壓、電流用相量表示；R、L、C元件用阻抗或導納表示。2).列寫復數形式電路方程:用相量形式KCL，KVL和VCR直接列出電路復系數代數方程。3).復數計算:求解復系數代數方程得到所感興趣各個電壓和電流相量表示式。4).反變換:依據所得到各個相量，寫出對應電壓和電流瞬時值表示式。二.交流電路求解方法和分析步驟57例1,圖示電路處于正弦穩態中,設uS=16cos(5t+45o)V。求i、u。解：1).變換(w=5rad/s)ZL=jwL=j5×2.4=j12iuuS－0.025F4++－2.4H?m－1645oV4++－－j8j122).求

?m相量模型電路58?m－1645oV4++－－j8j123).求4).反變換iuuS－0.025F4++－2.4H59解:1).變換(w=103rad/s)例2:設uS=100cos103tV，求i。2).求?ZL=jwL=j103×20m=j20iuS－10mF10+20mH50?－－j10010+j20501000oVR1R260ZO=50W?－－j10010+j20501000oVR1R23).反變換iuS－10mF10+20mH5061iuS－10mF10+20mH50注意：62例3.圖示電路處于正弦穩態中求:i和

u解：1.畫相量模型電路（變換）=3000rad/sZL=jL=j1KZC=1/jC=‐j2K+-1.5KW1KWuSiu+_+-1.5KW1KW400°+_632.向量分析+-1.5KW1KW400°+_64或3.反變換+-1.5KW1KW400°+_65例4.日光燈在220伏交流電作用下，燈管相當于300電阻與燈管串聯鎮流器感抗為500，試求燈管兩端電壓和電流有效值。?j500300++－－解:日光燈等效電路為：燈管電流有效值為：燈管電壓有效值：66例5.

設U為220伏交流電，求Uab、I。解:(1)求UabUab=211.2V?++－－R2CaR1Lb6W6W-j8Wj8W67(2)求I?++－－R2CaR1Lb∴I=26.4A68§10-6

普通正弦穩態電路分析引入阻抗以后，直流電阻電路分析方法可推廣應用于正弦穩態相量分析中，全部電阻電路網絡定理和方法都可應用于交流電路，直流(f=0)是一個特例。正弦穩態電路分析中應用得較多分析方法：1).網孔分析法和節點分析法;2).疊加原理;3).戴維寧定理和諾頓定理。69解：

?2=

?'2+?"2例2.用疊加定理計算電流

?2。Z1+-Z2Z3?2Z1Z2Z3?'2Z1+-Z2Z3?"2701)求?'2(?S單獨作用)Z1Z2Z3?'2Z1+-Z2Z3?"271解法2:應用網孔分析法?2Z1+-Z2Z3?272+-+-5W5W5mH200mF200mFiuS2uS1例4.

已知

uS1=10cos103tV,uS2=30cos(103t-90)V。

求

i=?解:1).作電路相量模型ZL=jL=j5WZC=1/jC=-j5W?1?2j5W-j5W-j5W+-+-5W5W?2).網孔方程73?1?2j5W-j5W-j5W+-+-5W5W?743).反變換j5W-j5W-j5W+-+-5W5W?得：i=4cos103tV該題也可用節點分析法+-Z1Z2Z3+-?Z1Z2Z3?75例5.

已知uS=4cos3000tV，試用網孔分析法求i1、i2。解:1).作相量模型2).相量分析網孔方程:(1+j1)?1-(j1)?2=4-(j1)?1+(j1-j2)?2=-2?1+_+_i11k2i1uSi2+_+_1k?12?140o?2j1k-j2k763).反變換uS=4cos3000tV+_+_i11k2i1uSi277例6.試題（10分）已知：uS1=10+5cos5tV，uS2=20V。求:i。ZLC1解：依據疊加原理

i=iAC+iDC穩態時iDC=0,i=iAC,激勵源中直流分量對i無貢獻可置零。

ZL=jL=j1ZC=1/jC=-j1ZLC1=ZL+ZC=0i(t)=5cos(5t+90°)V+_uS1+_uS2i0.2F0.2F10100.2HC1C2+_50°V?m10-j178NRCL+–則：Z==RO+jX=|Z|jz§10-7單口網絡相量模型等效一.動態RCL無源單口設NRCL為動態無源單口

Y==GO+jB=|Y|jYX稱為電抗,B稱為電納。jz——阻抗角jz=ju

–

ji|Z|RXj阻抗三角形79二.動態RCL無源單口等效電路1.RCL串聯電路RLCZZ=R+jL+1/jC=R+jXX=L-1/C電抗X是角頻率函數，在不一樣角頻率下阻抗Z有不一樣特征。a)當X>0時,L>1/C,端口電壓初相角超前電流,Z展現電感性阻抗。上電路等效為電阻與電感串聯電路。即：RLCR80b)當X<0時,L<1/C,端口電流初相角超前電壓,Z展現

電容性阻抗。上電路等效為電阻與電容串聯電路。即：RC'