2.5

簡單復合函數(shù)的求導法則北師大版高中數(shù)學選修2-2習題課件2.5簡單復合函數(shù)的求導法則北師大版高中數(shù)學選修2-2習題北師大版高中數(shù)學選修22簡單復合函數(shù)的求導法則習題課件復合函數(shù)的導數(shù)(1)定義:對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,給定x的一個值,就得到了u的值,進而確定了y的值,這樣y可以表示成x的函數(shù),我們稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)的復合函數(shù),記作y=f(φ(x)).其中u=φ(x)為中間變量.(2)導數(shù)公式:復合函數(shù)y=f(φ(x))的導數(shù)為yx'=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x).名師點撥求復合函數(shù)的導數(shù)的注意事項(1)分析清楚復合函數(shù)的復合關系是由哪些基本函數(shù)復合而成,適當選定中間變量.(2)盡可能地先將函數(shù)化簡,再求導.(3)要注意復合函數(shù)求導法則與四則運算的綜合運用.(4)復合函數(shù)的求導過程可簡記為分解—求導—回代,熟練以后,可以省略中間過程.復合函數(shù)的導數(shù)【做一做1】

指出下列函數(shù)是怎樣復合而成的:解:(1)令u=g(x)=2x,則y=sin

u,u=2x,y=f(u)=f(g(x))=sin

2x.(3)令u=g(x)=1-2x,則y=logau,u=1-2x,y=f(u)=f(g(x))=loga(1-2x).【做一做1】指出下列函數(shù)是怎樣復合而成的:解:(1)令u【做一做2】

求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=(2x+1)5;解:(1)設u=2x+1,則y=u5,∴y'x=y'u·u'x=(u5)'·(2x+1)'=5u4·2=10u4=10(2x+1)4.(2)設u=1-3x,則y=u-4,∴y'x=y'u·u'x=(u-4)'·(1-3x)'=-4u-5·(-3)思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.×√【做一做2】求下列函數(shù)的導數(shù).解:(1)設u=2x+1,則探究一探究二思維辨析復合函數(shù)求導【例1】

求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y=(2x+1)n(n∈N+);(2)y=sin(4x+3);(3)y=xcos2x.解:(1)y'=[(2x+1)n]'=n(2x+1)n-1·(2x+1)'=2n(2x+1)n-1.(2)y'=[sin(4x+3)]'=cos(4x+3)·(4x+3)'=4cos(4x+3).(3)y'=(xcos

2x)'=x'·cos

2x+(cos

2x)'·x=cos

2x-2xsin

2x.探究一探究二思維辨析復合函數(shù)求導探究一探究二思維辨析反思感悟求復合函數(shù)的導數(shù)要處理好以下環(huán)節(jié):(1)中間變量的選擇應是基本初等函數(shù)結構;(2)關鍵是正確分析函數(shù)和復合層次;(3)一般是從最外層開始,由外及里,一層層的求導;(4)善于把一部分表達式作為一個整體;(5)最后要把中間變量換成自變量的函數(shù);(6)復合函數(shù)求導,中間步驟可以省略,不必寫出函數(shù)復合過程,可以直接應用公式和法則,從最外層開始由外及里逐層求導.探究一探究二思維辨析反思感悟求復合函數(shù)的導數(shù)要處理好以下環(huán)節(jié)探究一探究二思維辨析變式訓練1已知函數(shù)f(x)=ln(2x+1),則f'(0)=(

)A.0 B.1 C.2 D.答案:C探究一探究二思維辨析變式訓練1已知函數(shù)f(x)=ln(2x+探究一探究二思維辨析變式訓練2求下列函數(shù)的導數(shù).探究一探究二思維辨析變式訓練2求下列函數(shù)的導數(shù).探究一探究二思維辨析綜合應用

分析:先利用復合函數(shù)的求導法則求出函數(shù)f(x)的導數(shù),再利用導數(shù)的幾何意義求切線方程.探究一探究二思維辨析綜合應用分析:先利用復合函數(shù)的求導法則探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析反思感悟根據(jù)導數(shù)的運算法則和復合函數(shù)求導法則可以求任何一個初等函數(shù)的導數(shù),從而解決了初等函數(shù)的求導問題,進而可以解決與導數(shù)有關的實際問題.探究一探究二思維辨析反思感悟根據(jù)導數(shù)的運算法則和復合函數(shù)求導探究一探究二思維辨析答案:2變式訓練4設曲線y=eax在點(0,1)處的切線與直線x+2y+1=0垂直,則a=

.

解析:∵y'=a·eax,且y=f(x)=eax在點(0,1)處的切線與直線x+2y+1=0垂直,∴k=2=f'(0)=a,即a=2.答案:2探究一探究二思維辨析答案:2變式訓練4設曲線y=eax在點探究一探究二思維辨析沒有分清復合函數(shù)的復合結構而致誤【典例】

求函數(shù)y=x·e1-2x的導數(shù).易錯分析:對e1-2x的求導應按照復合函數(shù)的求導法則進行,即(e1-2x)'=e1-2x·(1-2x)'=-2·e1-2x.解:y'=e1-2x+x(e1-2x)'=e1-2x+x·e1-2x(1-2x)'=e1-2x-2xe1-2x=(1-2x)e1-2x.糾錯心得1.求導數(shù)一定要弄清楚函數(shù)的結構特征,分清是直接求導函數(shù),還是利用復合函數(shù)的導數(shù)公式求導.2.復合函數(shù)y=f(φ(x))的導數(shù)為y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x).即對自變量的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù),乘中間變量對自變量的導數(shù),分步計算時,每一步都要明確是對哪個變量求導.探究一探究二思維辨析沒有分清復合函數(shù)的復合結構而致誤探究一探究二思維辨析解:令y=ln

u,u=2x+3,探究一探究二思維辨析解:令y=lnu,u=2x+3,123451.函數(shù)y=cos(1+x2)的導數(shù)是(

)A.2xsin(1+x2) B.-sin(1+x2)C.-2xsin(1+x2) D.xsin(1+x2)解析:y'=-sin

(1+x2)·(1+x2)'=-2xsin

(1+x2).答案:C1234123452.函數(shù)y=e2x-4上x=2處的切線方程為(

)A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0解析:∵y'=(e2x-4)'=e2x-4·(2x-4)'=2e2x-4,∴k=2e2×2-4=2.把x=2代入y=e2x-4,得y=1,∴切點為(2,1).∴函數(shù)y=e2x-4上x=2處的切線方程為y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.答案:A1234123453.設函數(shù)f(x)=cos(x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f'(x)是奇函數(shù),則φ=

.

1234123454.求下列函數(shù)的導數(shù).12341234512342.5

簡單復合函數(shù)的求導法則北師大版高中數(shù)學選修2-2習題課件2.5簡單復合函數(shù)的求導法則北師大版高中數(shù)學選修2-2習題北師大版高中數(shù)學選修22簡單復合函數(shù)的求導法則習題課件復合函數(shù)的導數(shù)(1)定義:對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,給定x的一個值,就得到了u的值,進而確定了y的值,這樣y可以表示成x的函數(shù),我們稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=φ(x)的復合函數(shù),記作y=f(φ(x)).其中u=φ(x)為中間變量.(2)導數(shù)公式:復合函數(shù)y=f(φ(x))的導數(shù)為yx'=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x).名師點撥求復合函數(shù)的導數(shù)的注意事項(1)分析清楚復合函數(shù)的復合關系是由哪些基本函數(shù)復合而成,適當選定中間變量.(2)盡可能地先將函數(shù)化簡,再求導.(3)要注意復合函數(shù)求導法則與四則運算的綜合運用.(4)復合函數(shù)的求導過程可簡記為分解—求導—回代,熟練以后,可以省略中間過程.復合函數(shù)的導數(shù)【做一做1】

指出下列函數(shù)是怎樣復合而成的:解:(1)令u=g(x)=2x,則y=sin

u,u=2x,y=f(u)=f(g(x))=sin

2x.(3)令u=g(x)=1-2x,則y=logau,u=1-2x,y=f(u)=f(g(x))=loga(1-2x).【做一做1】指出下列函數(shù)是怎樣復合而成的:解:(1)令u【做一做2】

求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=(2x+1)5;解:(1)設u=2x+1,則y=u5,∴y'x=y'u·u'x=(u5)'·(2x+1)'=5u4·2=10u4=10(2x+1)4.(2)設u=1-3x,則y=u-4,∴y'x=y'u·u'x=(u-4)'·(1-3x)'=-4u-5·(-3)思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內畫“√”,錯誤的畫“×”.×√【做一做2】求下列函數(shù)的導數(shù).解:(1)設u=2x+1,則探究一探究二思維辨析復合函數(shù)求導【例1】

求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y=(2x+1)n(n∈N+);(2)y=sin(4x+3);(3)y=xcos2x.解:(1)y'=[(2x+1)n]'=n(2x+1)n-1·(2x+1)'=2n(2x+1)n-1.(2)y'=[sin(4x+3)]'=cos(4x+3)·(4x+3)'=4cos(4x+3).(3)y'=(xcos

2x)'=x'·cos

2x+(cos

2x)'·x=cos

2x-2xsin

2x.探究一探究二思維辨析復合函數(shù)求導探究一探究二思維辨析反思感悟求復合函數(shù)的導數(shù)要處理好以下環(huán)節(jié):(1)中間變量的選擇應是基本初等函數(shù)結構;(2)關鍵是正確分析函數(shù)和復合層次;(3)一般是從最外層開始,由外及里,一層層的求導;(4)善于把一部分表達式作為一個整體;(5)最后要把中間變量換成自變量的函數(shù);(6)復合函數(shù)求導,中間步驟可以省略,不必寫出函數(shù)復合過程,可以直接應用公式和法則,從最外層開始由外及里逐層求導.探究一探究二思維辨析反思感悟求復合函數(shù)的導數(shù)要處理好以下環(huán)節(jié)探究一探究二思維辨析變式訓練1已知函數(shù)f(x)=ln(2x+1),則f'(0)=(

)A.0 B.1 C.2 D.答案:C探究一探究二思維辨析變式訓練1已知函數(shù)f(x)=ln(2x+探究一探究二思維辨析變式訓練2求下列函數(shù)的導數(shù).探究一探究二思維辨析變式訓練2求下列函數(shù)的導數(shù).探究一探究二思維辨析綜合應用

分析:先利用復合函數(shù)的求導法則求出函數(shù)f(x)的導數(shù),再利用導數(shù)的幾何意義求切線方程.探究一探究二思維辨析綜合應用分析:先利用復合函數(shù)的求導法則探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析反思感悟根據(jù)導數(shù)的運算法則和復合函數(shù)求導法則可以求任何一個初等函數(shù)的導數(shù),從而解決了初等函數(shù)的求導問題,進而可以解決與導數(shù)有關的實際問題.探究一探究二思維辨析反思感悟根據(jù)導數(shù)的運算法則和復合函數(shù)求導探究一探究二思維辨析答案:2變式訓練4設曲線y=eax在點(0,1)處的切線與直線x+2y+1=0垂直,則a=

.

解析:∵y'=a·eax,且y=f(x)=eax在點(0,1)處的切線與直線x+2y+1=0垂直,∴k=2=f'(0)=a,即a=2.答案:2探究一探究二思維辨析答案:2變式訓練4設曲線y=eax在點探究一探究二思維辨析沒有分清復合函數(shù)的復合結構而致誤【典例】

求函數(shù)y=x·e1-2x的導數(shù).易錯分析:對e1-2x的求導應按照復合函數(shù)的求導法則進行,即(e1-2x)'=e1-2x·(1-2x)'=-2·e1-2x.解:y'=e1-2x+x(e1-2x)'=e1-2x+x·e1-2x(1-2x)'=e1-2x-2xe1-2x=(1-2x)e1-2x.糾錯心得1.求導數(shù)一定要弄清楚函數(shù)的結構特征,分清是直接求導函數(shù),還是利用復合函數(shù)的導數(shù)公式求導.2.復合函數(shù)y=f(φ(x))的導數(shù)為y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x).即對自變量的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù),乘中間變量對自變量的導數(shù),分步計算時,每一步都要明確是對哪個變量求導.探究一探究二思維辨析沒有分清復合函數(shù)的復合結構而致誤探究一探究二思維辨析解:令y=ln

u,u=2x+3,探究一探究二思維辨析解:令y=lnu,u=2x+3,123451.函數(shù)y=cos(1+x2)的導數(shù)是(

)A.2xsin(1+x2) B.-sin(1+x2)C.-2xsin(1+x2) D.xsin(1+x2