線性代數(shù)

LinearAlgebra2022/11/4線性代數(shù)

LinearAlgebra2022/11一、研究對(duì)象

線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要處理線性關(guān)系問題，即線性空間、線性變換和有限維的線性方程組。線性關(guān)系意即數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系是以一次形式來表達(dá)的。例如，在解析幾何里，平面上直線的方程是二元一次方程；空間平面的方程是三元一次方程，而空間直線視為兩個(gè)平面相交，由兩個(gè)三元一次方程所組成的方程組來表示。含有n個(gè)未知量的一次方程稱為線性方程。關(guān)于變量是一次的函數(shù)稱為線性函數(shù)。線性關(guān)系問題簡稱線性問題。解線性方程組的問題是最簡單的線性問題。基礎(chǔ)介紹一、研究對(duì)象基礎(chǔ)介紹二、歷史與發(fā)展

線性代數(shù)作為一個(gè)獨(dú)立的分支在20世紀(jì)才形成，而它的歷史卻非常久遠(yuǎn)。“雞兔同籠”問題就是一個(gè)簡單的線性方程組求解的問題。最古老的線性問題是線性方程組的解法，在中國古代東漢年初成書的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·方程》章中，已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法。二、歷史與發(fā)展

由于法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（1601-1665）和笛卡兒（1596-1650）的工作，現(xiàn)代意義的線性代數(shù)基本上出現(xiàn)于十七世紀(jì)。直到十八世紀(jì)末，線性代數(shù)的領(lǐng)域還只限于平面與空間。十九世紀(jì)上半葉才完成了到n維線性空間的過渡。

隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入，在18～19世紀(jì)期間先后產(chǎn)生行列式和矩陣的概念，為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展。由于法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（1601-1665）和笛卡英國數(shù)學(xué)家--西勒維斯特(1814-1897)

——首次提出矩陣的概念(矩型陣式)英國數(shù)學(xué)家--凱萊(1821-1895)

——矩陣論的創(chuàng)立德國數(shù)學(xué)家--高斯（1777-1855）——提出行列式的某些思想和方法?1841年，法國數(shù)學(xué)家-柯西——首先創(chuàng)立了現(xiàn)代的行列式概念和符號(hào)。

英國數(shù)學(xué)家--西勒維斯特(1814-1897)英國數(shù)學(xué)家--

向量概念的引入，形成了向量空間的概念。凡是線性問題都可以用向量空間的觀點(diǎn)加以討論。因此，向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)的矩陣?yán)碚摚瑯?gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容。在十九世紀(jì)下半葉，因若當(dāng)?shù)墓ぷ鞫_(dá)到了它的頂點(diǎn)。1888年，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（1858-1932）以公理的方式定義了有限維或無限維線性空間。托普利茨將線性代數(shù)的主要定理推廣到任意體（domain）上的最一般的向量空間中。向量概念的引入，形成了向量空間的概念。凡是線性

“代數(shù)”這個(gè)詞在中文中出現(xiàn)較晚，在清代時(shí)才傳入中國，當(dāng)時(shí)被人們譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年，清代著名的數(shù)學(xué)家、翻譯家李善蘭（

1811-1882）才將它翻譯成為“代數(shù)學(xué)”，之后一直沿用。

學(xué)術(shù)地位及應(yīng)用

線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位。在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分。線性代數(shù)所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對(duì)于強(qiáng)化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，增益科學(xué)智能是非常有用的。學(xué)術(shù)地位及應(yīng)用

隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線性化了的問題又可以計(jì)算出來，線性代數(shù)正是解決這些問題的有力工具。線性代數(shù)的含義隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷擴(kuò)大。線性代數(shù)的理論和方法已經(jīng)滲透到數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)也是理論物理和理論化學(xué)所不可缺少的代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)。隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)

“以直代曲”是人們處理很多數(shù)學(xué)問題時(shí)一個(gè)很自然的思想。很多實(shí)際問題的處理，通常把非線性模型近似為線性模型，最后往往歸結(jié)為線性問題，它比較容易處理。因此，線性代數(shù)在工程技術(shù)、科學(xué)研究以及經(jīng)濟(jì)、管理等許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，是一門基本的和重要的學(xué)科。線性代數(shù)的計(jì)算方法是計(jì)算數(shù)學(xué)里一個(gè)很重要的內(nèi)容。“以直代曲”是人們處理很多數(shù)學(xué)問題時(shí)一個(gè)很自然

線性（linear）指量與量之間按比例、成直線的關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可以理解為一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的函數(shù)。非線性（non-linear）則指不按比例、不成直線的關(guān)系，一階導(dǎo)數(shù)不為常數(shù)。什么是線性關(guān)系？什么是線性關(guān)系？線性代數(shù)研究對(duì)象：

線性空間、線性變換和有限維的線性方程組。研究工具：

行列式、矩陣與向量。線性代數(shù)研究對(duì)象：研究工具：線性代數(shù)（第六版）線性代數(shù)（第六版）第一章行列式

第二章矩陣及其運(yùn)算第三章矩陣的初等變換與線性方程組

第四章向量組的線性相關(guān)性第五章相似矩陣及二次型

第六章線性空間與線性變換(選學(xué))

第四章向量組的線性相關(guān)在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過二元、三元等簡單的線性方程組.但是，從許多實(shí)踐或理論問題里導(dǎo)出的線性方程組常常含有相當(dāng)多的未知量，并且未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)也不一定相等.在以往的學(xué)習(xí)中，我們接觸過二元、三元等簡單的線性方程組.我們先討論未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相等的特殊情形.在討論這一類線性方程組時(shí)，我們引入行列式這個(gè)計(jì)算工具.我們先討論未知量的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)相等的特殊情形.行列式是線性代數(shù)的一種工具！學(xué)習(xí)行列式主要就是要能計(jì)算行列式的值.第一章行列式（Determinant）內(nèi)容提要

§1二階與三階行列式

§2全排列與對(duì)換

§3n

階行列式的定義

§4行列式的性質(zhì)

§5行列式按行（列）展開

行列式的概念.行列式的性質(zhì)及計(jì)算.行列式是線性代數(shù)的一種工具！第一章行列式（Determi§1

二階與三階行列式

(Determinentofordertwoorthree)我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式.§1二階與三階行列式

(Determinento一、二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組由消元法，得當(dāng)時(shí)，該方程組有唯一解1.二階行列式的定義一、二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組由消元法，得當(dāng)求解公式為二元線性方程組

請(qǐng)觀察，此公式有何特點(diǎn)？分母相同，由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.分子、分母都是四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再相減而得.求解公式為二元線性方程組請(qǐng)觀察，此公式有何特點(diǎn)？二元線性方程組我們引進(jìn)新的符號(hào)來表示“四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再相減”.記號(hào)數(shù)表定義1表達(dá)式稱為由該數(shù)表所確定的二階行列式(determinantofordertwo)，即其中，稱為元素（element）.i為行標(biāo)，表明元素位于第i行；j為列標(biāo)，表明元素位于第j

列.原則：橫行豎列二元線性方程組我們引進(jìn)新的符號(hào)來表示“四個(gè)數(shù)分成兩對(duì)相乘再2.二階行列式的計(jì)算主對(duì)角線副對(duì)角線即：主對(duì)角線上兩元素之積－副對(duì)角線上兩元素之積——對(duì)角線法則根據(jù)定義x1,x2

的分子也可以寫成行列式形式如下：2.二階行列式的計(jì)算主對(duì)角線副對(duì)角線即：主對(duì)角線二元線性方程組若令(方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方程組的解可表示為二元線性方程組若令(方程組的系數(shù)行列式)則上述二元線性方例1求解二元線性方程組解因?yàn)樗岳?求解二元線性方程組解因?yàn)樗远⑷A行列式1.定義

設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表原則：橫行豎列引進(jìn)記號(hào)稱為三階行列式.主對(duì)角線副對(duì)角線二階行列式的對(duì)角線法則并不適用！二、三階行列式1.定義設(shè)有9個(gè)數(shù)排成3行3列的數(shù)表原2.三階行列式的計(jì)算——對(duì)角線法則/三角形法則注意：對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式.實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積冠正號(hào)，虛線上的三個(gè)元素的乘積冠負(fù)號(hào).2.三階行列式的計(jì)算——對(duì)角線法則/三角形法則注意：對(duì)三角形法三角形法例2

計(jì)算行列式解按對(duì)角線法則，有例2計(jì)算行列式解按對(duì)角線法則，有解：例3計(jì)算三階行列式解：例3計(jì)算三階行列式方程左端解由得例4

求解方程方程左端解由例5

求解方程組解：

令例5求解方程組解：令某大學(xué)線代(第六版)新課件某大學(xué)線代(第六版)新課件課堂練習(xí)計(jì)算下列行列式課堂練習(xí)計(jì)算下列行列式小結(jié)

一、二階、三階行列式的概念

二、二階、三階行列式的計(jì)算方法1.二階行列式——對(duì)角線法則/三角形法則小結(jié)一、二階、三階行列式的2.三階行列式——對(duì)角線法則/三角形法則注意：對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式.實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積冠正號(hào)，虛線上的三個(gè)元素的乘積冠負(fù)號(hào).2.三階行列式——對(duì)角線法則/三角形法則注意：對(duì)角線法三角形法三角形法

作業(yè)P21：1(1)(4)、2(2)(6)作業(yè)P21：1(1)(4)、2(2)(6)§2

全排列與對(duì)換

(PermutationandTransposition)§2全排列與對(duì)換

(PermutationandT引例用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解123123百位3種放法十位1231個(gè)位1232種放法1種放法種放法.共有所求六個(gè)三位數(shù)為123，132，213，231，312，321引例用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)問題把n個(gè)不同的元素排成一列，共有多少種不同的排法？定義1把n個(gè)不同的元素排成一列，叫做這n個(gè)元素的全排列(allpermutation).n個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示.顯然即n個(gè)不同的元素一共有n!種不同的排法.問題把n個(gè)不同的元素排成一列，共有多少種不同的所有6種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數(shù)字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前.因此大部分的排列都不是“順序”，而是“逆序”.

3個(gè)不同的元素一共有3!=6種不同的排法123，132，213，231，312，321所有6種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數(shù)字是按從小對(duì)于n個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序.n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.定義2

一個(gè)排列中某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就稱這兩個(gè)元素組成一個(gè)逆序（inversesequence）.

例如在排列32514中，32514逆序逆序逆序思考題：還能找到其它逆序嗎？答：2和1，3和1也構(gòu)成逆序.對(duì)于n個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序.

定義

3排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).(inversenumber)排列的逆序數(shù)通常記為.奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列.偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列.思考題：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？答：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：123）的逆序數(shù)等于零，因而是偶排列.定義3排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法則此排列的逆序數(shù)為設(shè)是1,2,…,n這n個(gè)自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.先看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為；再看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為;……最后看有多少個(gè)比大的數(shù)排在前面，記為;計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法則此排列的逆序數(shù)為設(shè)例1求排列32514的逆序數(shù).解：例2

求下列排列的逆序數(shù),并說明奇偶性.解：2)1)453162解：奇排列偶排列例1求排列32514的逆序數(shù).解：例2求下列排列練習(xí)：

討論1，2,3所有全排列的奇偶性.解：t(132)=

1，123，132，213，231，312，321t(123)=

0，t(213)=

1，t(231)=

2，t(312)=

2，t(321)=

3，故123，231，312

為偶排列，132，213，321

為奇排列.練習(xí)：討論1，2,3所有全排列的奇偶性.解：t(132)

定義3在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換．例如二、對(duì)換定義3在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不2、對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系定理1

對(duì)換改變排列的奇偶性.推論奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).例如

312

為偶排列，

321

為奇排列.

213為奇排列.2、對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系定理1對(duì)換改變排列的奇偶性.推

定理2n個(gè)元素的所有全排列中奇排列與

偶排列數(shù)各占一半,即各有個(gè).

證：設(shè)n個(gè)元素的所有全排列中共有t個(gè)奇排列和s個(gè)偶排列.奇排列經(jīng)一次對(duì)換都變成偶排列，

例如1,2,3的所有排列中恰有3個(gè)偶排列和3個(gè)奇排列.于是t≤s.同理得s≤t，故s=t.又因?yàn)閟+t=n!，所以s=t=.

定理2n個(gè)元素的所有全排列中奇排列與

偶排列§3

n階行列式的定義§3n階行列式的定義一、概念的引入規(guī)律：三階行列式共有6項(xiàng)，即3!項(xiàng)．每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積．每一項(xiàng)可以寫成（正負(fù)號(hào)除外），其中是1、2、3的某個(gè)排列.當(dāng)是偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)；當(dāng)是奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào).一、概念的引入規(guī)律：所以，三階行列式可以寫成

其中表示對(duì)1、2、3的所有排列求和.二階行列式有類似規(guī)律.下面將行列式推廣到一般的情形.所以，三階行列式可以寫成其中表示對(duì)1、2、3的所二、n階行列式的定義簡記作，其中t=t(p1p2...pn),為行列式D的(i,j)元.

定義1

設(shè)有個(gè)數(shù)排成n行n列的數(shù)表

和式

稱為由上數(shù)表所確定的n階行列式，

二、n階行列式的定義簡記作，其中

n

階行列式共有

n!項(xiàng)．每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的

n

個(gè)元素的乘積．每一項(xiàng)可以寫成（正負(fù)號(hào)除外），其中是1,2,…,n的某個(gè)排列.當(dāng)是偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)；當(dāng)是奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào).n階行列式共有n!項(xiàng)．思考題：成立嗎？答：符號(hào)可以有兩種理解：若理解成絕對(duì)值，則；若理解成一階行列式，則.注意：當(dāng)n=1時(shí)，一階行列式|a|=a，注意不要與絕對(duì)值的記號(hào)相混淆.例如：一階行列式.思考題：成立嗎？答：符號(hào)可例1：寫出四階行列式中含有因子的項(xiàng).解：一般項(xiàng)為和已知，根據(jù)行列式的定義或，于是或故所求項(xiàng)為例1：寫出四階行列式中含有因子的項(xiàng).解：一般例2：計(jì)算行列式例2：計(jì)算行列式解：解：某大學(xué)線代(第六版)新課件其中其中(1)對(duì)角行列式(2)三、特殊行列式(1)對(duì)角行列式(2)三、特殊行列式(3)上三角形行列式（主對(duì)角線下側(cè)元素都為0）(4)下三角形行列式（主對(duì)角線上側(cè)元素都為0）(3)上三角形行列式（主對(duì)角線下側(cè)元素都為0）(4)練習(xí)：練習(xí)：例3已知

，求的系數(shù).例3已知故的系數(shù)為－1.解含的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即對(duì)應(yīng)于故的系數(shù)為－1.解含的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即對(duì)應(yīng)于§4

對(duì)換§4對(duì)換一、對(duì)換的定義定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換，叫做相鄰對(duì)換．例如一、對(duì)換的定義定義在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素二、對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系定理1

對(duì)換改變排列的奇偶性.推論奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).二、對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系定理1對(duì)換改變排列的奇偶性.推備注相鄰對(duì)換是對(duì)換的特殊情形.一般的對(duì)換可以通過一系列的相鄰對(duì)換來實(shí)現(xiàn).如果連續(xù)施行兩次相同的對(duì)換，那么排列就還原了.m次相鄰對(duì)換

m+1次相鄰對(duì)換

m次相鄰對(duì)換

m+1次相鄰對(duì)換

備注m次相鄰對(duì)換m+1次相鄰對(duì)換m次相鄰對(duì)換m+1二、對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系定理1

對(duì)換改變排列的奇偶性.證明先考慮相鄰對(duì)換的情形．二、對(duì)換與排列奇偶性的關(guān)系定理1對(duì)換改變排列的奇偶性.證注意到除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.注意到除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.當(dāng)時(shí)，，，.當(dāng)時(shí)，，，.因此相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性.當(dāng)時(shí)，，，既然相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性，那么2m+1次相鄰對(duì)換因此，一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列的奇偶性改變.推論奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).

由定理1知，對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為零)，因此可知推論成立.證明既然相鄰對(duì)換改變排列的奇偶性，那么2m+1次相鄰對(duì)換因因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的，所以n個(gè)元素相乘的次序是可以任意的，即每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列與都同時(shí)作一次對(duì)換，即與同時(shí)改變奇偶性，但是這兩個(gè)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的，所以n個(gè)元素相乘的次序是可以任于是與同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù).即是偶數(shù).因?yàn)閷?duì)換改變排列的奇偶性，是奇數(shù)，也是奇數(shù).設(shè)對(duì)換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為

，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為

.所以是偶數(shù)，因此，交換中任意兩個(gè)元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.設(shè)經(jīng)過一次對(duì)換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為于是與同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù).即經(jīng)過一次對(duì)換是如此，經(jīng)過多次對(duì)換還是如此.所以，在一系列對(duì)換之后三項(xiàng)的符號(hào)也是相同的，即經(jīng)過一次對(duì)換是如此，經(jīng)過多次對(duì)換還是如此.所以，在一系列對(duì)定理2

n階行列式也可定義為定理3

n階行列式也可定義為四、行列式的等價(jià)定義

定理2n階行列式也可定義為定理3n階行列四個(gè)結(jié)論：(1)對(duì)角行列式(2)四個(gè)結(jié)論：(1)對(duì)角行列式(2)(3)上三角形行列式（主對(duì)角線下側(cè)元素都為0）(4)下三角形行列式（主對(duì)角線上側(cè)元素都為0）(3)上三角形行列式（主對(duì)角線下側(cè)元素都為0）(4)練習(xí)：練習(xí)：例3已知

，求的系數(shù).例3已知故的系數(shù)為－1.解含的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即對(duì)應(yīng)于故的系數(shù)為－1.解含的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即對(duì)應(yīng)于因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的，所以n個(gè)元素相乘的次序是可以任意的，即每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列與都同時(shí)作一次對(duì)換，即與同時(shí)改變奇偶性，但是這兩個(gè)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.因?yàn)閿?shù)的乘法是可以交換的，所以n個(gè)元素相乘的次序是可以任于是與同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù).即是偶數(shù).因?yàn)閷?duì)換改變排列的奇偶性，是奇數(shù)，也是奇數(shù).設(shè)對(duì)換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為

，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為

.所以是偶數(shù)，因此，交換中任意兩個(gè)元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.設(shè)經(jīng)過一次對(duì)換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為于是與同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù).即經(jīng)過一次對(duì)換是如此，經(jīng)過多次對(duì)換還是如此.所以，在一系列對(duì)換之后三項(xiàng)的符號(hào)也是相同的，即經(jīng)過一次對(duì)換是如此，經(jīng)過多次對(duì)換還是如此.所以，在一系列對(duì)定理2

n階行列式也可定義為定理3

n階行列式也可定義為定理2n階行列式也可定義為定理3n階行列例4

試判斷

和是否都是六階行列式中的項(xiàng).解下標(biāo)的逆序數(shù)為所以是六階行列式中的項(xiàng).

行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和所以不是六階行列式中的項(xiàng).例4試判斷和是否都是六階行例5

用行列式的定義計(jì)算例5用行列式的定義計(jì)算解解例6：是五階行列式的一項(xiàng),求解：將已知項(xiàng)按行標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)次序排列得由此得而例6：是五階行列式的一項(xiàng),求解：將已知項(xiàng)按行標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)次序排小結(jié)一、排列與逆序數(shù)小結(jié)一、排列與逆序數(shù)對(duì)換對(duì)換2.行列式的三種表示方法二、n階行列式2.行列式的三種表示方法二、n階行列式

作業(yè)

P21:2（4）（6）作業(yè)P21:2（4）（6）§4行列式的性質(zhì)§4行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)則行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.若記，則.定義1記

注：行列式也是行列式的轉(zhuǎn)置行列式,即

一、行列式的性質(zhì)則行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.例1寫出下列行列式的轉(zhuǎn)置行列式.解：例1寫出下列行列式的轉(zhuǎn)置行列式.解：性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.證明根據(jù)行列式的定義，有若記，則行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.證明根據(jù)行列式的定義，性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).驗(yàn)證于是推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有，所以.

備注：交換第行（列）和第行（列），記作.性質(zhì)2互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).驗(yàn)證于是推論性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)倍數(shù)，等于用數(shù)乘以此行列式.驗(yàn)證我們以三階行列式為例.記根據(jù)三階行列式的對(duì)角線法則，有備注：第行（列）乘以，記作.D1性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)倍數(shù)推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．備注：第行（列）提出公因子，記作.推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行驗(yàn)證我們以4階行列式為例.性質(zhì)4

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．驗(yàn)證我們以4階行列式為例.性質(zhì)4行列式中如果有兩行（列性質(zhì)5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,即性質(zhì)5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,即驗(yàn)證我們以三階行列式為例.有錯(cuò)誤

驗(yàn)證我們以三階行列式為例.有錯(cuò)誤性質(zhì)6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)倍數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．則驗(yàn)證我們以三階行列式為例.記備注：以數(shù)乘第行（列）加到第行（列）上，記作.性質(zhì)6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)倍數(shù)然后加證:由性質(zhì)5和性質(zhì)4證:由性質(zhì)5和性質(zhì)4例1計(jì)算行列式二、應(yīng)用舉例例1計(jì)算行列式二、應(yīng)用舉例解：計(jì)算行列式常用方法：利用行列式性質(zhì)將給定行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．解：計(jì)算行列式常用方法：利用行列式性質(zhì)將給定行列式化為上三角某大學(xué)線代(第六版)新課件例2計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．例2計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為解解某大學(xué)線代(第六版)新課件某大學(xué)線代(第六版)新課件某大學(xué)線代(第六版)新課件練習(xí)P214（1）練習(xí)P214（1）例3

計(jì)算階行列式解將第列都加到第一列得例3計(jì)算階行列式解將第某大學(xué)線代(第六版)新課件例4設(shè)

證明例4設(shè)證明證明對(duì)作運(yùn)算，把化為下三角形行列式設(shè)為對(duì)作運(yùn)算，把化為下三角形行列式設(shè)為證明對(duì)作運(yùn)算，把化為下三角形行列式對(duì)D

的前k行作運(yùn)算，再對(duì)后n

列作運(yùn)算，把D

化為下三角形行列式故對(duì)D的前k行作運(yùn)算，再對(duì)后例5

計(jì)算行列式

解：把D2n

的第2n行依次與第2n-1行、…、第2行對(duì)調(diào)（作2n-2次相鄰兌換），第2n列依次與第2n-1列、…、第2列對(duì)調(diào)，得例5計(jì)算行列式解：把D2n的第2n行依次與第2（n-1）2（n-1）以此作遞推公式，即得以此作遞推公式，即得例6計(jì)算行列式行列式特點(diǎn)：第一行、列及對(duì)角線元素除外，其余元素全為0

常用方法：行列式第一列加其它

各列一定倍數(shù)，化為三角形行列式．

三線型/爪型例6計(jì)算行列式行列式特點(diǎn)：第一行、列及對(duì)角線元素常解：作解：作

行列式的主要性質(zhì)：值相等。性質(zhì)1行列式D與其轉(zhuǎn)置性質(zhì)2互換行列式的某兩行（列），行列

式的值變號(hào)。推論行列式中有兩行（列）完全相同，

則其值為零。性質(zhì)3行列式中某一行（列）的公因子可提到行列式符號(hào)的前面。小結(jié)行列式的主要性質(zhì)：值相等。性質(zhì)1行列式推論1若行列式的某一行（列）中所有元素全為零，則此行列式的值為零。性質(zhì)4若行列式的某兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值為零。性質(zhì)5若行列式的某一行（列）中所有元素都是兩個(gè)元素的和，則此行列式等于兩個(gè)行列式的和。性質(zhì)6行列式某一行（列）k倍加到另一行(列)上，行列式的值不變。推論1若行列式的某一行（列）中所有元素性質(zhì)4若行列式的作業(yè)

P214(2)(6)作業(yè)P214(§5

行列式按行(列)展開對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式.本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式.§5行列式按行(列)展開對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列一、引言結(jié)論三階行列式可以用二階行列式表示.思考題任意一個(gè)行列式是否都可以用較低階的行列式表示？一、引言結(jié)論三階行列式可以用二階行列式表示.思考題任定義在n階行列式中，把元素所在的第行和第列劃后，留下來的n－1階行列式叫做元素的余子式（cofacter），記作.例如把稱為元素的代數(shù)余子式．注：1)行列式中每一個(gè)元素對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和代數(shù)余子式.2)一個(gè)元素的余子式和代數(shù)余子式只與該元素的位置有關(guān).定義在n階行列式中，把元素所在的第引理

一個(gè)n階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如引理一個(gè)n階行列式，如果其中第即有又從而下面再討論一般情形.分析當(dāng)位于第1行第1列時(shí),即有又從而下面再討論一般情形.分析當(dāng)位于第1行第1列我們以4階行列式為例.思考題：能否以代替上述兩次行變換？我們以4階行列式為例.思考題：能否以代替上述兩思考題：能否以代替上述兩次行變換？答：不能.思考題：能否以代替上述兩次行變換？答：不能.

被調(diào)換到第1行，第1列被調(diào)換到第1行，第1列例1計(jì)算行列式解例1計(jì)算行列式解某大學(xué)線代(第六版)新課件例2用按行（列）展開法計(jì)算下列行列式。

例2用按行（列）展開法計(jì)算下列行列式。二、行列式按行（列）展開法則定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即二、行列式按行（列）展開法則定理3行列式等于它的任一行（同理可得同理可得

證明用數(shù)學(xué)歸納法例3證明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2時(shí)(1)式成立.證明用數(shù)學(xué)歸納法例3證明范德蒙德(Vandermo假設(shè)(1)對(duì)于n－1階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行減去前行的倍：假設(shè)(1)對(duì)于n－1階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行按照第1列展開，并提出每列的公因子，就有按照第1列展開，并提出每列的公因子

n?1階范德蒙德行列式n?1階范德蒙德行列式推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即分析我們以3階行列式為例.把第1行的元素?fù)Q成第2行的對(duì)應(yīng)元素，則推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即綜上所述，有同理可得定理3行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余例4設(shè),的元的余子式和代數(shù)余子式依次記作和，求分析利用及例4設(shè),解解某大學(xué)線代(第六版)新課件練習(xí)P228（1）(7)

練習(xí)P228（1）(7)引理

一個(gè)n階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．一、余子式與代數(shù)余子式的定義與聯(lián)系

二、按行（列）展開定理

小結(jié)

引理一個(gè)n階行列式，如果其中第定理2

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即綜上所述，有同理可得定理2行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余作業(yè)P228（2），9

作業(yè)P228（2），9第一章習(xí)題課第一章習(xí)題課1.全排列

把n個(gè)不同的元素排成一列,叫做這n個(gè)元素的全排列(或排列).n個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)用Pn表示,且Pn=n!.2.逆序數(shù)在一個(gè)排列(i1

i2···

is

···it

···in)中,若數(shù)is>it,則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.

一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)．逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.1.全排列把n個(gè)不同的元素排成一列,叫做3.計(jì)算排列逆序數(shù)的方法

依次計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)并求和,即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù),則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).4.對(duì)換

定義:

在排列中,將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào),其余元素不動(dòng),這種作出新排列的過程叫做對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào),叫做相鄰對(duì)換.

定理1:

一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換,排列改變奇偶性.

推論:奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù),偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù).3.計(jì)算排列逆序數(shù)的方法依次計(jì)算出排列中5.n階行列式的定義或5.n階行列式的定義或6.n階行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1:

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即DT=D.

性質(zhì)2:

互換行列式的兩行(列),行列式變號(hào).

推論:

如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零.

性質(zhì)3:

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式.

推論:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面.

性質(zhì)4:

行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零．性質(zhì)5:

若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和,則該行列式等于兩個(gè)行列式之和.

性質(zhì)6:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去,行列式不變.6.n階行列式的性質(zhì)性質(zhì)1:行列式與7.行列式按行(列)展開

在n階行列式D中,把元素aij

所在的第i

行和第j

列元素劃去后,留下來的n–1階行列式叫做(行列式D的關(guān)于)元素aij的余子式,記作Mij.稱Aij=(–1)i+jMij為元素aij

的代數(shù)余子式.7.行列式按行(列)展開在n階行列式典型例題例1:

計(jì)算行列式典型例題例1:計(jì)算行列式解:解:例2:

計(jì)算

解:

Dn中各行元素分別是同一個(gè)數(shù)的不同方冪,方冪的次數(shù)自左至右按遞升次序排列,但不是從0到n–1,而是從1遞升至n.若提出各行的公因子,則方冪的次數(shù)便是從0升到n–1,于是得:例2:計(jì)算解:Dn中各行元素分別是同一個(gè)上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式的轉(zhuǎn)置,由范德蒙行列式知

評(píng)注:本題所給行列式各行(列)都是某元素的不同方冪,而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同,需要利用行列式的性質(zhì)(如提取公因子,調(diào)換各行(列)的次序等)將此行列式化成范德蒙行列式.上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式的轉(zhuǎn)置,由范德例3:

計(jì)算解:將第2,3,···,n+1列都加到第1列,得例3:計(jì)算解:將第2,3,···,n+1列都加到提取第一列的公因子,得cj+1+(–aj)c1,j=2,3,···,n+1.得提取第一列的公因子,得cj+1+(–aj)c1,j=

評(píng)注:本題利用行列式的性質(zhì),采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式.化零時(shí)一般盡量選含有1的行(列)及含零較多的行(列);若沒有1,則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù),或利用行列式性質(zhì)將某行(列)中的某數(shù)化為1;若所給行列式中元素間具有某些特點(diǎn),則應(yīng)充分利用這些特點(diǎn),應(yīng)用行列式性質(zhì),以達(dá)到化為三角形行列式之目的.評(píng)注:本題利用行列式的性質(zhì),采用“化零”的方法，逐步例5:

計(jì)算解:

依第n列把Dn拆成兩個(gè)行列式之和,例5:計(jì)算解:依第n列把Dn拆成兩個(gè)行列式之和,

將上式右端第一個(gè)行列式的第n列的(–1)倍分別加到第1,2,···,n–1列上去;將上式右端第二個(gè)行列式按第n列展開.得,從而得遞推公式:于是如此繼續(xù)下去,可得Dn=x1x2···xn-1a+xnDn-1.故Dn-1=x1x2···xn-2a+xn-1Dn-2.Dn=x1x2···xn-1a+x1x2···xn-2axn

+xn-1xnDn-2.Dn=x1x2···xn-1a+x1x2···xn-2axn

+···+x1x2ax4···xn+x3···xn-1xnD2.將上式右端第一個(gè)行列式的第n列的(–1)倍分而所以,Dn=x1x2···xn-1a+x1x2···xn-2axn

+···+x1x2ax4···xn+x1ax3···xn+ax2x3···xn+x1x2x3···xn.=a(x1x2···xn-1

+x1x2···xn-2xn

+···+x1x3···xn+x2x3···xn)+x1x2x3···xn.當(dāng)x1x2x3···xn

0時(shí),可改寫為:

評(píng)注:本題是利用行列式的性質(zhì)和所給行列式的特點(diǎn),導(dǎo)出所給n階行列式Dn的遞推公式,從而求出Dn.遞推公式方法是求有規(guī)律性n階行列式Dn的常用方法.而所以,Dn=x1x2···xn-1a+x1x2·第二章矩陣及其運(yùn)算第二章矩陣及其運(yùn)算2.1線性方程組和矩陣2.2矩陣的運(yùn)算2.3逆矩陣2.4克拉姆法則2.5矩陣分塊法2.1線性方程組和矩陣2.2矩陣的運(yùn)算2.3逆矩§1

線性方程組和矩陣一、矩陣概念的引入二、矩陣的定義三、特殊的矩陣四、矩陣與線性變換§1線性方程組和矩陣一、矩陣概念的引入定義1

設(shè)有n

個(gè)未知數(shù)m

個(gè)方程的線性方程組一、線性方程組其中aij表示第i個(gè)方程第j個(gè)未知數(shù)的系數(shù)(coefficient),bi是第i個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)(constant)，i=1,2,…，m，j=1,2,…,n.（1）定義1設(shè)有n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方一、線

b1,b2,…,bm

不全為零時(shí)，方程組（1）稱為n元非齊次線性方程組(systemofnon-homogeneouslinearequations).b1=b2=…=bm=0

時(shí)，方程組（1）成為（2）稱為n元齊次線性方程組(systemofhomogeneouslinearequations)..b1,b2,…,bm不全為零時(shí)，

對(duì)于齊次線性方程組（2）,x1=x2=…=xn=0

一定是它的解，稱為方程組（2）的零解(nullsolution)；如果存在不全為零的數(shù)是（2）的解，則稱為其非零解(non-zerousolution).n元線性方程組通常簡稱為線性方程組或方程組.

（1）有唯一解，（2）無解，（3）有無窮多解.

例如非齊次方程組可能有解可能無解.對(duì)于齊次線性方程組（2）,x1=x2=…線性方程組的研究內(nèi)容：是否有解？有解時(shí)它的解是否唯一？如果有多個(gè)解，如何求出其所有解？問題的答案都取決與方程組（1）的m×n個(gè)系數(shù)aij(i=1,2,…，m，j=1,2,…,n)與常數(shù)項(xiàng)b1,b2,…,bm

所構(gòu)成的m行n+1列的矩形數(shù)表線性方程組的研究內(nèi)容：是否有解？問題的答案都取齊次方程組（2）的相應(yīng)問題取決于m行n列數(shù)表b1

b2...bm

齊次方程組（2）的相應(yīng)問題取決于m行n列數(shù)表b1

由

m×n

個(gè)數(shù)排成的

m

行

n

列的數(shù)表稱為

m行

n列矩陣，簡稱

m×n矩陣．記作二、矩陣(Matrix)的定義A=由m×n個(gè)數(shù)簡記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.這m×n個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元.A=簡記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣行數(shù)可不等于列數(shù)共有m×n個(gè)元素本質(zhì)上就是一個(gè)數(shù)表行數(shù)等于列數(shù)共有n2個(gè)元素矩陣行列式行數(shù)可不等于列數(shù)行數(shù)等于列數(shù)矩陣行列式行數(shù)與列數(shù)都等于

n的矩陣，稱為n階方陣．可記作.只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).

只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).元素全是零的矩陣稱為零距陣．可記作O

.例如：三、特殊的矩陣行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣，稱為n階方陣．可記作形如的方陣稱為對(duì)角陣(diagonalmatrix)

特別的，方陣稱為單位陣(unitmatrix),記作記作．記作記作．形如下面兩個(gè)矩陣的方陣稱為上三角矩陣(uppertriangularmatrix)．形如下面兩個(gè)矩陣的方陣稱為上三角矩陣(uppertri5.形如下面兩個(gè)矩陣的方陣稱為下三角矩陣(lowertriangularmatrix)．5.形如下面兩個(gè)矩陣的方陣稱為下三角矩陣(lower6.若方陣中,則稱為對(duì)稱矩陣(symmetricmatrix)．即6.若方陣中例如例如7.如果方陣中,則A稱為

反對(duì)稱矩陣(antisymmetricmatrix)．即7.如果方陣中例如例如同型矩陣與矩陣相等的概念

兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.

兩個(gè)矩陣與為同型矩陣，并且對(duì)應(yīng)元 素相等，即 則稱矩陣A

與

B相等，記作A=B

.同型矩陣與矩陣相等的概念兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)相等時(shí)，稱注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如注意：不同型的零矩陣是不相等的.例如例1對(duì)于非齊次線性方程組（1）四、應(yīng)用舉例

有下列幾個(gè)矩陣?yán)?對(duì)于非齊次線性方程組（1）四、應(yīng)用舉例x1

x2...xm

x=未知數(shù)矩陣b1

b2...bm

b=常數(shù)項(xiàng)矩陣A=b1

b2...bm

B=系數(shù)矩陣增廣矩陣x1x=未知數(shù)矩陣b1b=常數(shù)項(xiàng)矩陣A=b1第i市到j(luò)市有單程航線用1表示，無單程航線用0表示，則得到一個(gè)數(shù)表：②①③④②①③④例2

某航空公司在四座城市之間開辟了若干航線，四座城市之間的航班圖如圖所示，箭頭從始發(fā)地指向目的地.②①③④圖2.1第i市到j(luò)市有單程航線用1表示，無單程航線用0表示，則得若令則圖2.1中的航線可表示成下列矩陣若令則圖2.1中的航線可表示成下列矩陣其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例3

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．其中aij表示工廠向第i家商店例3某工表示一個(gè)從變量到變量線性變換，其中為常數(shù).五、矩陣與線性變換

n個(gè)變量與m

個(gè)變量之間的關(guān)系式表示一個(gè)從變量到變系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2例4

線性變換稱為恒等變換.對(duì)應(yīng)

單位陣

En恒等變換例4線性變換稱為恒等變換.對(duì)應(yīng)單位陣En恒等變換對(duì)應(yīng)投影變換例5

2階方陣對(duì)應(yīng)以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)j

角的旋轉(zhuǎn)變換例6

2階方陣對(duì)應(yīng)投影變換例52階方陣對(duì)應(yīng)以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針例小結(jié)1.矩陣的定義2.特殊矩陣4.矩陣與線性變換行（列）矩陣單位矩陣零矩陣對(duì)稱矩陣反對(duì)稱矩陣3.同型矩陣，矩陣相等對(duì)角矩陣三角矩陣小結(jié)1.矩陣的定義2.特殊矩陣4.矩陣與線性變換行（列）矩陣§2

矩陣的運(yùn)算§2矩陣的運(yùn)算例1

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店發(fā)送貨物的數(shù)量可用數(shù)表表示：試求：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量．其中aij

表示上半年工廠向第

i家商店發(fā)送第

j種貨物的數(shù)量．其中cij

表示工廠下半年向第

i家商店發(fā)送第j

種貨物的數(shù)量．例1某工廠生產(chǎn)四種貨物，它在上半年和下半年向三家商店試求解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量解：工廠在一年內(nèi)向各商店發(fā)送貨物的數(shù)量一、矩陣的加法定義：設(shè)有兩個(gè)

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.一、矩陣的加法定義：設(shè)有兩個(gè)m×n矩陣A=(aij例2求A+B，其中解：例2求A+B，其中解：知識(shí)點(diǎn)比較知識(shí)點(diǎn)比較矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B、C是同型矩陣設(shè)矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)，稱為矩陣

A的負(fù)矩陣．顯然矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)A、B、C是同型矩陣設(shè)矩陣A=設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各

l件，試求：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量．例1（續(xù)）該廠所生產(chǎn)的貨物的單價(jià)及單件重量可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．設(shè)工廠向某家商店發(fā)送四種貨物各l件，試求：工廠向該商例1解：工廠向該商店發(fā)送第

j種貨物的總值及總重量其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．解：工廠向該商店發(fā)送第j種貨物的總值及總重量其中bi1二、數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù)

l與矩陣

A

的乘積記作

lA

或

Al

，規(guī)定為2二、數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù)l與矩陣A的乘積記作lA數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)A、B是同型矩陣，l,m是數(shù)矩陣知識(shí)點(diǎn)比較知識(shí)點(diǎn)比較其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．例1（續(xù)）

某工廠生產(chǎn)四種貨物，它向三家商店發(fā)送的貨物數(shù)量可用數(shù)表表示為：這四種貨物的單價(jià)及單件重量也可列成數(shù)表：其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．試求：工廠向三家商店所發(fā)貨物的總值及總重量．其中aij表示工廠向第i家商店例1（續(xù)）某工廠生產(chǎn)解：以

ci1，ci2

分別表示工廠向第

i家商店所發(fā)貨物的總值及總重量，其中i=1,2,3．于是其中aij

表示工廠向第

i家商店發(fā)送第j種貨物的數(shù)量．其中bi1

表示第

i種貨物的單價(jià)，bi2

表示第

i種貨物的單件重量．解：以ci1，ci2分別表示工廠向第i家商店所發(fā)貨可用矩陣表示為一般地，可用矩陣表示為一般地，三、矩陣與矩陣相乘定義：設(shè)，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個(gè)

m×n矩陣，其中并把此乘積記作C=AB．三、矩陣與矩陣相乘定義：設(shè)，例2設(shè)求解：則例2設(shè)求解：則因此因此知識(shí)點(diǎn)比較有意義.沒有意義.只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘.知識(shí)點(diǎn)比較有意義.沒有意義.只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)例3結(jié)論：矩陣乘法不一定滿足交換律.矩陣，卻有， 從而不能由得出或的結(jié)論．例3結(jié)論：矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)

乘法結(jié)合律(3)

乘法對(duì)加法的分配律(2)

數(shù)乘和乘法的結(jié)合律（其中

l

是數(shù)）(4)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即推論：矩陣乘法不一定滿足交換律，但是純量陣

lE

與任何同階方陣都是可交換的.純量陣不同于對(duì)角陣矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律(1)乘法結(jié)合律(3)乘法對(duì)(5)方陣的冪若A是n階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時(shí)候成立？A、B可交換時(shí)成立(5)方陣的冪若A是n階方陣，定義顯然思考：某大學(xué)線代(第六版)新課件練習(xí)求A+2B

和BC.練習(xí)求A+2B和BC.四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

.例4四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)分析：設(shè)則而又如果，不可乘.但有意義.分析：設(shè)則而又如果，不可乘.但有意義.例5已知解法1例5已知解法1解法2解法2定義：設(shè)A

為n

階方陣，如果滿足，即那么A稱為對(duì)稱陣.如果滿足A=－AT，那么A稱為反對(duì)稱陣.對(duì)稱陣反對(duì)稱陣定義：設(shè)A為n階方陣，如果滿足例5

設(shè)列矩陣X=(x1,x2,…,xn

)T

滿足XT

X=1，E

為n階單位陣，H=E－2XXT，試證明

H是對(duì)稱陣，且HHT=E.證明：從而

H是對(duì)稱陣．例5設(shè)列矩陣X=(x1,x2,…,xn)T五、方陣的行列式定義：由

n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運(yùn)算性質(zhì)五、方陣的行列式定義：由n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫證明：要使得|AB|=|A||B|

有意義，A、B

必為同階方陣，假設(shè)A=(aij)n×n，B=(bij)n×n.我們以

n=3為例，構(gòu)造一個(gè)6階行列式證明：要使得|AB|=|A||B|有意義，A、B某大學(xué)線代(第六版)新課件某大學(xué)線代(第六版)新課件令，則

C=(cij)=AB．令，則C=(ci從而．從而．定義：行列式|A|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式

Aij

所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣

A的伴隨矩陣(adjointmatrix).

.元素的代數(shù)余子式位于第j行第i列注：1.只有方陣才有伴隨矩陣.

2.與的階數(shù)相同.六、方陣的伴隨矩陣定義：行列式|A|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成例2：求3階方陣的伴隨矩陣.解：例2：求3階方陣性質(zhì)證明：令

則

2性質(zhì)證明：令則2（設(shè)A，B

為復(fù)矩陣，l為復(fù)數(shù)，且運(yùn)算都是可行的）：七、共軛矩陣運(yùn)算性質(zhì)當(dāng)為復(fù)矩陣時(shí)，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記，稱為的共軛矩陣.

（設(shè)A，B為復(fù)矩陣，l為復(fù)數(shù)，且運(yùn)算都是可行的）：七、共小結(jié)1.矩陣的運(yùn)算線性運(yùn)算加法數(shù)乘冪運(yùn)算2.方陣乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)置運(yùn)算伴隨矩陣行列式作業(yè)P52:1(2)(4)小結(jié)1.矩陣的運(yùn)算線性運(yùn)算加法數(shù)乘冪運(yùn)算2.方陣乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)置§3

逆矩陣§3逆矩陣矩陣與復(fù)數(shù)相仿，有加、減、乘三種運(yùn)算.矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢？這就是本節(jié)所要討論的問題.這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都是n階方陣.

從乘法的角度來看，n階單位矩陣E在同階方陣中的地位類似于1在復(fù)數(shù)中的地位．一個(gè)復(fù)數(shù)a

≠0的倒數(shù)a－1可以用等式aa－1

=1來刻劃.類似地，我們引入對(duì)于n階單位矩陣E以及同階的方陣A，都有矩陣與復(fù)數(shù)相仿，有加、減、乘三種運(yùn)算.從定義：

n階方陣A稱為可逆的，如果有n階方陣B，使得這里E是