§2直角坐標系下二重積分的計算

二重積分計算的要點是把它化為定積分.這里有多種方法,其中最常用的是在直角坐標系下化為累次積分.

一、在矩形區(qū)域上二重積分的計算

二、在x型或y型區(qū)域上二重積分的計算

三、在一般區(qū)域上二重積分的計算

§2直角坐標系下二重積分的計算二重積分計算的要點一、在矩形區(qū)域上二重積分的計算

定理21.8設(shè)在矩形區(qū)域上可積,且對每個積分存在,

則累次積分

也存在,且一、在矩形區(qū)域上二重積分的計算定理21.8設(shè)在矩形區(qū)證令定理要求證明在

上可積,且積分的結(jié)果恰為二重積分.為此,對區(qū)間與分別作分割

按這些分點作兩組直線證令定理要求證明在上可積,且積分的結(jié)果恰為二把矩形D分為rs個小矩形(圖21-4).記為小矩

形設(shè)在上的上確界和下確界分別為和

.在區(qū)間中任取一點于是就有不等

式其中因此

把矩形D分為rs個小矩形(圖21-4).記為小矩其中記的對角線長度為,于是

由于二重積分存在,由定理21.4,當(dāng)時,使

和有相同的極限,且極限

值等于因此當(dāng)時,由不等式

(2)

可得:其中記的對角線長度為,于是由于二重積分存在,由定(3)由于當(dāng)時,必有因此由定積

分定義,(3)式左邊定理21.9

設(shè)在矩形區(qū)域上可積,且對每個積分存在,

則累次積分(3)由于當(dāng)時,必有因此由定積分定義,(3也存在,且定理21.9的證明與定理21.8相仿.特別當(dāng)在矩形區(qū)域上連續(xù)

時,則有也存在,且定理21.9的證明與定理21.8相仿.特例1計算其中解應(yīng)用定理21.8

(或定理21.9),有例1計算其中解應(yīng)用定理21.8(或定理21對于一般區(qū)域,通常可以分解為如下兩類區(qū)域來進行計算.稱平面點集為x型區(qū)域(圖21-5(a));稱平面點集為y型區(qū)域(圖21-5(b)).二、在x

型或y

型區(qū)域上二重積分的計算對于一般區(qū)域,通常可以分解為如下兩類區(qū)域來進行計算.稱這些區(qū)域的特點是當(dāng)

D為

x型區(qū)域時,垂直于

x軸的直線至多與區(qū)域D

的邊界交于

這些區(qū)域的特點是當(dāng)D為x型區(qū)域時,垂直于x軸兩點;當(dāng)

D

為

y

型區(qū)域時,直線至

多與

D

的邊界交于兩點.定理21.10若在如

(4)

式所示的

x

型區(qū)域

D

上連續(xù),其中在上連續(xù),則

即二重積分可化為先對

y、后對

x的累次積分.證由于與在閉區(qū)間上連續(xù),故存

在矩形區(qū)域(如圖21-5(a)).現(xiàn)作一

兩點;當(dāng)D為y型區(qū)域時,直線至多與D定義在上的函數(shù)

容易知道函數(shù)在上可積,而且

類似可證,若

D

為

(5)

式所示的

y型區(qū)域,其中定義在上的函數(shù)容易知道函數(shù)在上可積,而且類在上連續(xù),則二重積分可化為先

對

x、后對

y

的累次積分例2設(shè)

D

是由直線及圍成的區(qū)域(圖21-6),試計算:

的值.在上連續(xù),則二重積分可化為先對x、后對y的累次積分解若用先對

y、后對

x的積分,則有由于的原函數(shù)無法求得,因此改用另一種順序的累次積分來計算:解若用先對y、后對x的積分,則有由于的原函數(shù)例3計算二重積分其中D為由直線及所圍的

三角形區(qū)域(圖21-7).解當(dāng)把

D

看作

x

型區(qū)域時,相應(yīng)的例3計算二重積分其中D為由直線及所圍的三角形區(qū)域(圖所以例4求兩個底面半徑相同的直交圓柱所圍立體的體積

V.

所以例4求兩個底面半徑相同的直交圓柱所圍立體的體積V解設(shè)圓柱底面半徑為a,兩個圓柱方程為利用對稱性,只要求出在第一卦限(即)部分(見第十章圖10-9)的體積,然后再乘以8

即得所求的體積.第一卦限部分的立體是一曲頂柱所以它的體積為D:底為四分之一圓域體,曲頂為解設(shè)圓柱底面半徑為a,兩個圓柱方程為利用對稱性,只要于是于是三、在一般區(qū)域上二重積分的計算邊界為分段光滑曲線的有界閉域,一般可把它分解成有限個除邊界外無公共內(nèi)點的

x

型區(qū)域或

y

型區(qū)域.如圖21-8所示,D

被分為

x

型區(qū)域,

為

y

型區(qū)域.解成三個區(qū)域,其中

、三、在一般區(qū)域上二重積分的計算邊界為分段光滑曲線的有界閉域,例5設(shè)為上的連續(xù)函數(shù),試將二重積分化為不同順序的累次積分.

解(1)先對積分,再對積分.

(見圖21-9),其中為此設(shè)例5設(shè)為上的連續(xù)函數(shù),試將二重積分化為不同順序的累所以有(2)先對積分,再對積分.類似地有:所以有(2)先對積分,再對積分.類似地有:(見圖21-10)(見圖21-10)例6計算其中解記

(見圖

21-11)例6計算其中解記(見圖21-11)則又有則又有直角坐標系下二重積分的計算課件(2)若則復(fù)習(xí)思考題1.若可求面積的區(qū)域滿足條件:

又設(shè)在上可積.證明:(1)若則(2)若則復(fù)習(xí)(1)在上連續(xù);(2)若在上連續(xù),求證:2.設(shè)是區(qū)域上的可積函數(shù).其中求證:其中(1)在上連續(xù);(2)若在上連續(xù),求證:2.設(shè)是區(qū)域上的作業(yè)P2351、（2）（4）；2、（2）（4）3（2）（4）*4、5作業(yè)P235§2直角坐標系下二重積分的計算

二重積分計算的要點是把它化為定積分.這里有多種方法,其中最常用的是在直角坐標系下化為累次積分.

一、在矩形區(qū)域上二重積分的計算

二、在x型或y型區(qū)域上二重積分的計算

三、在一般區(qū)域上二重積分的計算

§2直角坐標系下二重積分的計算二重積分計算的要點一、在矩形區(qū)域上二重積分的計算

定理21.8設(shè)在矩形區(qū)域上可積,且對每個積分存在,

則累次積分

也存在,且一、在矩形區(qū)域上二重積分的計算定理21.8設(shè)在矩形區(qū)證令定理要求證明在

上可積,且積分的結(jié)果恰為二重積分.為此,對區(qū)間與分別作分割

按這些分點作兩組直線證令定理要求證明在上可積,且積分的結(jié)果恰為二把矩形D分為rs個小矩形(圖21-4).記為小矩

形設(shè)在上的上確界和下確界分別為和

.在區(qū)間中任取一點于是就有不等

式其中因此

把矩形D分為rs個小矩形(圖21-4).記為小矩其中記的對角線長度為,于是

由于二重積分存在,由定理21.4,當(dāng)時,使

和有相同的極限,且極限

值等于因此當(dāng)時,由不等式

(2)

可得:其中記的對角線長度為,于是由于二重積分存在,由定(3)由于當(dāng)時,必有因此由定積

分定義,(3)式左邊定理21.9

設(shè)在矩形區(qū)域上可積,且對每個積分存在,

則累次積分(3)由于當(dāng)時,必有因此由定積分定義,(3也存在,且定理21.9的證明與定理21.8相仿.特別當(dāng)在矩形區(qū)域上連續(xù)

時,則有也存在,且定理21.9的證明與定理21.8相仿.特例1計算其中解應(yīng)用定理21.8

(或定理21.9),有例1計算其中解應(yīng)用定理21.8(或定理21對于一般區(qū)域,通常可以分解為如下兩類區(qū)域來進行計算.稱平面點集為x型區(qū)域(圖21-5(a));稱平面點集為y型區(qū)域(圖21-5(b)).二、在x

型或y

型區(qū)域上二重積分的計算對于一般區(qū)域,通常可以分解為如下兩類區(qū)域來進行計算.稱這些區(qū)域的特點是當(dāng)

D為

x型區(qū)域時,垂直于

x軸的直線至多與區(qū)域D

的邊界交于

這些區(qū)域的特點是當(dāng)D為x型區(qū)域時,垂直于x軸兩點;當(dāng)

D

為

y

型區(qū)域時,直線至

多與

D

的邊界交于兩點.定理21.10若在如

(4)

式所示的

x

型區(qū)域

D

上連續(xù),其中在上連續(xù),則

即二重積分可化為先對

y、后對

x的累次積分.證由于與在閉區(qū)間上連續(xù),故存

在矩形區(qū)域(如圖21-5(a)).現(xiàn)作一

兩點;當(dāng)D為y型區(qū)域時,直線至多與D定義在上的函數(shù)

容易知道函數(shù)在上可積,而且

類似可證,若

D

為

(5)

式所示的

y型區(qū)域,其中定義在上的函數(shù)容易知道函數(shù)在上可積,而且類在上連續(xù),則二重積分可化為先

對

x、后對

y

的累次積分例2設(shè)

D

是由直線及圍成的區(qū)域(圖21-6),試計算:

的值.在上連續(xù),則二重積分可化為先對x、后對y的累次積分解若用先對

y、后對

x的積分,則有由于的原函數(shù)無法求得,因此改用另一種順序的累次積分來計算:解若用先對y、后對x的積分,則有由于的原函數(shù)例3計算二重積分其中D為由直線及所圍的

三角形區(qū)域(圖21-7).解當(dāng)把

D

看作

x

型區(qū)域時,相應(yīng)的例3計算二重積分其中D為由直線及所圍的三角形區(qū)域(圖所以例4求兩個底面半徑相同的直交圓柱所圍立體的體積

V.

所以例4求兩個底面半徑相同的直交圓柱所圍立體的體積V解設(shè)圓柱底面半徑為a,兩個圓柱方程為利用對稱性,只要求出在第一卦限(即)部分(見第十章圖10-9)的體積,然后再乘以8

即得所求的體積.第一卦限部分的立體是一曲頂柱所以它的體積為D:底為四分之一圓域體,曲頂為解設(shè)圓柱底面半徑為a,兩個圓柱方程為利用對稱性,只要于是于是三、在一般區(qū)域上二重積分的計算邊界為分段光滑曲線的有界閉域,一般可把它分解成有限個除邊界外無公共內(nèi)點的

x

型區(qū)域或

y

型區(qū)域.如圖21-8所示,D

被分為

x

型區(qū)域,

為

y

型區(qū)域.解成三個區(qū)域,其中

、三、在一般區(qū)域上二重積分的計算邊界為分段光滑曲線的有界閉域,例5設(shè)為上的連續(xù)函數(shù),試將二重積分化為不同順序的累次積分.

解(1)先對積分,再對積分.

(見圖21-9),其中為此設(shè)例5設(shè)為上的連續(xù)函數(shù),試將二重積分化為不同順序的累所以有(2)先對積分,再對積分.類似地有:所以有(2)先對積分,再對積分.類似地有:(見圖21-10)(見圖21-10)例6計算其中解記

(見圖

21-11)例6計算其中解記(見圖21-11)則又有則又有