1、PAGE16合情推理與演繹推理1推理從一個或幾個已知命題得出另一個新命題的思維過程稱為推理推理一般分為合情推理與演繹推理兩類2合情推理歸納推理類比推理定義從個別事實中推演出一般性的結論根據兩個或兩類對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同特點由部分到整體、由個別到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步驟1通過觀察個別情況發現某些相同性質；2從已知的相同性質中推出一個明確的一般性命題猜想1找出兩類事物之間相似性或一致性；2用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題猜想3演繹推理1定義：由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法稱為演繹推理；2特點：演繹推理是由一

2、般到特殊的推理；3模式：三段論“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：“三段論”的結構大前提提供了一個一般性的原理；小前提指出了一個特殊對象；結論兩個判斷結合起來，提示了一般原理與特殊對象的內在聯系，從而得到第三個命題“三段論”的表示大前提M是是3的倍數，則m一定是9的倍數”，這是三段論推理，但其結論是錯誤的5一個數列的前三項是1,2,3，那么這個數列的通項公式是annnN*6eqr2f2,32eqrf2,3，eqr3f3,83eqrf3,8，eqr4f4,154eqrf4,15，eqr6fb,a6eqrfb,aa，b均為實數，則可以推測a35，b62數列2,5,11,20，,47，中的等于_答

3、案32解析523,1156,20119，推出2012，所以323觀察下列各式：553125,5615625,5778125，則52022的后四位數字為_答案8125解析553125,5615625,5778125,58390625,591953125，可得59與55的后四位數字相同，由此可歸納出5m4與5mN*，m5,6,7,8的后四位數字相同，又202245017，所以52022與54陜西觀察下列等式1211222312223261222324210照此規律，第n個等式可為_答案122232421n1n21n1eqfnn1,2解析觀察等式左邊的式子，每次增加一項，故第n個等式左邊有n項，指數

4、都是2，且正、負相間，所以等式左邊的通項為1n1n2等式右邊的值的符號也是正、負相間，其絕對值分別為1,3,6,10,15,21，設此數列為an，則a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123neqfnn1,2所以第n個等式為122232421n1n21n1eqfnn1,25設等差數列an的前n項和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數列類比以上結論有設等比數列bn的前n項積為Tn，則T4，_，_，eqfT16,T12成等比數列答案eqfT8,T4eqfT12,T8解析對于等比數列，通過類比，有等比數列bn的前n項積

5、為Tn，則T4a1a2a3a4，T8a1a2a8，T12aT16a1a2a16因此eqfT8,T4a5a6a7a8，eqfT12,T8a9a10a11a12，eqfT16,T12a13a而T4，eqfT8,T4，eqfT12,T8，eqfT16,T12的公比為q16，因此T4，eqfT8,T4，eqfT12,T8，eqfT16,T12成等比數列題型一歸納推理例1設feqf1,3r3，先分別求f0f1，f1f2，f2f3，然后歸納猜想一般性結論，并給出證明思維啟迪解題的關鍵是由f計算各式，利用歸納推理得出結論并證明解f0f1eqf1,30r3eqf1,31r3eqf1,1r3eqf1,3r3eq

6、fr31,2eqf3r3,6eqfr3,3，同理可得：f1f2eqfr3,3，f2f3eqfr3,3，并注意到在這三個特殊式子中，自變量之和均等于1歸納猜想得：當121時，均為f1f2eqfr3,3證明：設121，f1f2思維升華1歸納是依據特殊現象推斷出一般現象，因而由歸納所得的結論超越了前提所包含的范圍2歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經驗或試驗的基礎之上的3歸納推理所得結論未必正確，有待進一步證明，但對數學結論和科學的發現很有用1觀察下列等式11234934567254567891049照此規律，第五個等式應為_2已知fn1eqf1,2eqf1,3eqf1,nnN*，經計算

7、得f42，f8eqf5,2，f163，f32eqf7,2，則有_答案15678910111213812f2neqfn2,2n2，nN*解析1由于112,234932,345672552,456789104972，所以第五個等式為567891011121392812由題意得f22eqf4,2，f23eqf5,2，f24eqf6,2，f25eqf7,2，所以當n2時，有f2neqfn2,2故填f2neqfn2,2n2，nN*題型二類比推理例2已知數列an為等差數列，若ama，anbnm1，m，nN*，則amneqfnbma,nm類比等差數列an的上述結論，對于等比數列bnbn0，nN*，若bmc，

8、bndnm2，m，nN*，則可以得到bmn_思維啟迪等差數列an和等比數列bn類比時，等差數列的公差對應等比數列的公比，等差數列的加減法運算對應等比數列的乘除法運算，等差數列的乘除法運算對應等比數列中的乘方開方運算答案eqrnm,fdn,cm解析設數列an的公差為d，數列bn的公比為q因為ana1n1d，bnb1qn1，amneqfnbma,nm，所以類比得bmneqrnm,fdn,cm思維升華1進行類比推理，應從具體問題出發，通過觀察、分析、聯想進行對比，提出猜想其中找到合適的類比對象是解題的關鍵2類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數列與等比數列類比；數的運算與向量

9、的運算類比；圓錐曲線間的類比等3在進行類比推理時，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點：找兩類對象的對應元素，如：三角形對應三棱錐，圓對應球，面積對應體積等等；找對應元素的對應法則，如：兩條邊直線垂直對應線面垂直或面面垂直，邊相等對應面積相等1給出下列三個類比結論：abnanbn與abn類比，則有abnanbn；logaylogalogay與sin類比，則有sinsinsin；ab2a22abb2與ab2類比，則有ab2a22abb其中結論正確的序號是_2把一個直角三角形以兩直角邊為鄰邊補成一個矩形，則矩形的對角線長即為直角三角形外接圓直徑，以此可求得外接圓半徑reqfr

10、a2b2,2其中a，b為直角三角形兩直角邊長類比此方法可得三條側棱長分別為a，b，c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑R_答案12Reqfra2b2c2,2解析1錯誤，正確2由平面類比到空間，把矩形類比為長方體，從而得出外接球半徑題型三演繹推理例3已知函數feqfra,araa0，且a11證明：函數yf的圖象關于點eqf1,2，eqf1,2對稱；2求f2f1f0f1f2f3的值思維啟迪證明本題依據的大前提是中心對稱的定義，函數yfeqfra,araa0且a1的圖象關于點eqf1,2，eqf1,2對稱1證明函數f的定義域為全體實數，任取一點，y，它關于點eqf1,2，eqf1,2對稱的點的坐標為1，

11、1y由已知得yeqfra,ara，則1y1eqfra,araeqfa,ara，f1eqfra,a1raeqfra,fa,araeqfraa,araaeqfa,ara，1yf1，即函數yf的圖象關于點eqf1,2，eqf1,2對稱2解由1知1ff1，即ff11f2f31，f1f21，f0f11則f2f1f0f1f2f33思維升華演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結論之間有著某種蘊含關系，解題時要找準正確的大前提，一般地，若大前提不明確時，可找一個使結論成立的充分條件作為大前提已知函數yf，滿足：對任意a，bR，ab，都有afabfbafbbfa，試證明：f為R

12、上的單調增函數證明設1，2R，取11f21f1f22f2f10，f2f1210，10，f2f1所以yf為R上的單調增函數高考中的合情推理問題典例：15分湖北古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數，如三角形數1,3,6,10，第n個三角形數為eqfnn1,2eqf1,2n2eqf1,2n，記第n個邊形數為Nn，3，以下列出了部分邊形數中第n個數的表達式：三角形數Nn,3eqf1,2n2eqf1,2n，正方形數Nn,4n2，五邊形數Nn,5eqf3,2n2eqf1,2n，六邊形數Nn,62n2n可以推測Nn，的表達式，由此計算N10,24_思維啟迪從已知的部分邊形數觀察一般規律寫出Nn，然

13、后求N10,24，N10,24eqf242,2100eqf424,21011001001000答案100025分若P00，y0在橢圓eqf2,a2eqfy2,b21ab0外，過P0作橢圓的兩條切線的切點為P1，P2，則切點弦P1P2所在的直線方程是eqf0,a2eqfy0y,b21，那么對于雙曲線則有如下命題：若P00，y0在雙曲線eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0外，過P0作雙曲線的兩條切線，切點為P1，P2，則切點弦P1P2所在直線的方程是_思維啟迪直接類比可得解析設P11，y1，P22，y2，則P1，P2的切線方程分別是eqf1,a2eqfy1y,b21，eqf2,a2eqfy2

14、y,b21因為P00，y0在這兩條切線上，故有eqf10,a2eqfy1y0,b21，eqf20,a2eqfy2y0,b21，這說明P11，y1，P22，y2在直線eqf0,a2eqfy0y,b21上，故切點弦P1P2所在的直線方程是eqf0,a2eqfy0y,b21答案eqf0,a2eqfy0y,b2135分在計算“1223nn1”時，某同學學到了如下一種方法：先改寫第項：1eqf1,31211，由此得12eqf1,3123012，23eqf1,3234123，nn1eqf1,3nn1n2n1nn1相加，得1223nn1eqf1,3nn1n2類比上述方法，請你計算“123234nn1n2”，其結果為_思維啟迪根據兩個數積的和規律猜想，可以利用前幾個式子驗證解析類比已知條件得12eqf1,4123112，由此得123eqf1,412340123，234eqf1,423451234，345eqf1,434562345，nn1n2eqf1,4nn1n2n3n1nn1n2以上幾個式子相加得：123234nn1n2eqf1,4nn1n2n3答案eqf1,4nn1n2n3溫馨提醒1合情推理可以考查學生的抽象思維能力和創新能力，在每年的高考中經常會考到；2合情推理的結論要通過演繹推理來判斷是否正確方法與技巧1合情推