1、傅科擺軌跡的數(shù)值分析與模擬【摘要】 本論文通過對(duì)于單擺的簡(jiǎn)單分析引申為到在旋轉(zhuǎn)體系中單擺（即為傅科擺）的軌跡分析，通過合理的假設(shè)初始條件和簡(jiǎn)化 物理過程，推導(dǎo)出傅科擺的運(yùn)動(dòng)微分方程，并通過MATLAB進(jìn)行求解和繪制其在X-Y平面上的運(yùn)動(dòng)軌跡。其中對(duì)于科里奧利力的推 導(dǎo)采取了一種高中學(xué)生可以理解的等效分解方法，將復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形式分解為簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)進(jìn)而求解。通過圖像分析了影響傅科擺運(yùn)動(dòng)軌跡形 狀的因素，獲得了擺平面的進(jìn)動(dòng)周期和緯度的關(guān)系，擺的軌跡和初始條件的關(guān)系。【關(guān)鍵字】 科里奧利力 傅科擺 運(yùn)動(dòng)軌跡 MATLAB模擬引言生活中，只要你留心觀察并思考，常常會(huì)發(fā)現(xiàn)一些“奇 妙”的現(xiàn)象：水槽下方出水時(shí)，水流

2、總是以某個(gè)特定的方向 旋轉(zhuǎn)，而非直接落下；人在走路時(shí)，也從來不會(huì)不自覺地偏 到右邊去，在中國(guó)自西向東的河流總是南岸比北岸更加陡 峭那么這種現(xiàn)象是怎么產(chǎn)生的呢？我們都知道地球是在 以它的自轉(zhuǎn)軸為軸自西向東不停地在自轉(zhuǎn)，而這種現(xiàn)象的產(chǎn) 生正是和地球的自轉(zhuǎn)有關(guān)。但是在兩個(gè)世紀(jì)前，人們并不知 道地球在自轉(zhuǎn)或者是不能很好的證明地球在自轉(zhuǎn)。這時(shí)法國(guó) 物理學(xué)家傅科設(shè)計(jì)了一個(gè)單擺實(shí)驗(yàn)，成功的證明了地球在自 轉(zhuǎn)。而證明地球自轉(zhuǎn)的原因正是擺錘在沙盤上留下的軌跡發(fā) 生了偏轉(zhuǎn)。這是因?yàn)樵趹T性坐標(biāo)系中，擺錘并沒有受到外力， 因此擺平面應(yīng)該不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。而根據(jù)法國(guó)氣象學(xué)家科里奧利 提出的理論“在旋轉(zhuǎn)體系中描述物體的運(yùn)動(dòng)應(yīng)該

3、在運(yùn)動(dòng)方程 中引入一個(gè)假想力”。正是這個(gè)假想力的存在讓擺錘發(fā)生了 偏轉(zhuǎn)，因此可以反推得知地球在繞著自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。由此可知傅科擺的擺動(dòng)和河流的兩岸沖刷的不對(duì)稱性以 及南北半球熱帶氣旋的旋轉(zhuǎn)方向的不一樣產(chǎn)生的原因是一致 的，均是由地球自轉(zhuǎn)引起的，而導(dǎo)致這種現(xiàn)象的力正是來源 于科里奧利力。與此同時(shí)對(duì)于傅科擺的軌跡以及周期的研究 之前大家都是停留在數(shù)值推導(dǎo)中，現(xiàn)在利用計(jì)算機(jī)模擬可以 非常直觀的表現(xiàn)傅科擺的軌跡圖像和周期。本文主要通過一 種簡(jiǎn)單的數(shù)理證明科里奧利力的存在并推導(dǎo)獲得傅科擺的軌 跡方程，而后通過MATLAB進(jìn)行分析模擬。探究了傅科擺 在各種初始條件下，在水平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡的變化特征。通 過改變

4、不同初始條件對(duì)比分析了在不同條件下傅科擺的軌跡 變化，進(jìn)而發(fā)掘其對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中的案例的意義并根據(jù)真實(shí) 數(shù)據(jù)復(fù)刻了傅科當(dāng)年設(shè)計(jì)的擺動(dòng)實(shí)驗(yàn)。分析研究傅科擺是根據(jù)法國(guó)物理學(xué)家萊昂傅科命名的，是證 明地球自轉(zhuǎn)的一種簡(jiǎn)單工具。因?yàn)榈厍蛟诶@著自轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)因 此是一個(gè)非慣性坐標(biāo)系，我們站在地球上隨著地球一起轉(zhuǎn) 動(dòng)，并不會(huì)感受到地球在自轉(zhuǎn)，但是傅科擺的擺錘留在沙盤 上的軌跡卻是可以觀察到的。從物理學(xué)的觀點(diǎn)來分析,這種 現(xiàn)象的產(chǎn)生是擺錘受到了科里奧利力的緣故。那科里奧利力 的時(shí)如何產(chǎn)生的呢？傅科擺的軌跡又和那些因素有關(guān)呢？為 了探究傅科擺的運(yùn)動(dòng)軌跡變化，并且能夠讓高中學(xué)生更容易 的認(rèn)知科里奧利力的作用，本論文將問

5、題劃分為三個(gè)部分。 分別是科里奧利力的簡(jiǎn)單推導(dǎo)、傅科擺軌跡方程的計(jì)算和 MATLAB的求解模擬與分析。科式力的簡(jiǎn)單推導(dǎo)科里奧利力是在非慣性坐標(biāo)系中物體運(yùn)動(dòng)是需要考慮的 一種等效相互作用，并且在推導(dǎo)過程中會(huì)涉及旋轉(zhuǎn)系坐標(biāo)的 變化問題3，而這在高中物理學(xué)習(xí)過程中并沒有涉及。鑒于 這樣的問題，本文將在非慣性系中的運(yùn)動(dòng)分解為非慣性系相 對(duì)于慣性系做勻速圓周運(yùn)動(dòng)和質(zhì)點(diǎn)在非慣性中沿著徑向做勻 速直線運(yùn)動(dòng)。而這兩種運(yùn)動(dòng)形式的分析和計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單并且 通過運(yùn)動(dòng)的疊加可以更容易認(rèn)知科里奧利力的等效相互作用 是如何產(chǎn)生的。首先是分析質(zhì)點(diǎn)沿著直徑方向的運(yùn)動(dòng)，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)在非慣性系中沿著徑向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以沿著直徑方向

6、的速度 V。的大小沒有發(fā)生變化。但是因?yàn)榉菓T性系相對(duì)于慣性系坐 標(biāo)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以沿著徑向方向的速度的方向也隨 著非慣性系得運(yùn)動(dòng)發(fā)生了變化。所以可以得到：aA =- = axv0然后分析質(zhì)點(diǎn)垂直于徑向的速度的變化，如圖2所示， 速度v,經(jīng)過時(shí)間dt改變成為v并且垂直于徑向方向的速度 的大小和方向的改變均是在慣性系中發(fā)生，因此根據(jù)矢量的 分解可以將垂直于徑向方向的速度的變化分解為由方向改變 引起的加速度和由大小改變引起的加速度兩部分。根據(jù)圖2 可以得到這兩部分分別引起的加速度的變化為：I I I 1/11、ati = 口 x vt = 口 x （口 x rt）= dt/(r 一 r)ii i

7、r - r = 可以得到：rat 2dtr/ x- rdtr/ x- rt)dtr r r r r ra = a + a= a + atl + at 因?yàn)樵谛D(zhuǎn)的慣性坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，合外 力為0.所以可得：I I I .I II III IF慣=m（-ar - an - at2） = -ma x v - ma x （/ x r ） -ma x v方程式中的負(fù)號(hào)表示和真實(shí)力的方向相反。顯然， -maxar）項(xiàng)就是我們常說的慣性離心力，而剩下的兩部分即 為科里奧利力-max V- max V=-2max V并且由方程式可以看出 科里奧利力是由兩種不同的效果疊加產(chǎn)生，而在形式上我們 將其

8、寫在一起而已。通過科里奧利的表達(dá)形式可以看出，科式力和相對(duì)速度 成正比也就是在物體相對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)參考系運(yùn)動(dòng)時(shí)才會(huì)出現(xiàn)，并 且科式力的方向始終和運(yùn)動(dòng)方向垂直因而不會(huì)改變相對(duì)速度 的大小。傅科擺軌跡方程推導(dǎo)將問題簡(jiǎn)化并忽視一些不相干的影響因子：擺錘視為質(zhì) 點(diǎn)，擺繩不可拉伸，運(yùn)動(dòng)過程中認(rèn)為其系統(tǒng)機(jī)械能守恒（不 計(jì)空氣阻力、摩擦力等）2。設(shè)擺長(zhǎng)為L(zhǎng),擺的質(zhì)量為m,擺懸掛于北緯X ,設(shè)地球 的自轉(zhuǎn)速度為3。以傅科擺的平衡位置為原點(diǎn)建立空間直角 坐標(biāo)系。O為遠(yuǎn)點(diǎn)，X軸指向正東方，y軸指向正北方，z軸 指向正上方。現(xiàn)假設(shè)擺長(zhǎng)很長(zhǎng)，那么當(dāng)傅科擺做較小幅度的 擺動(dòng)時(shí)，可以認(rèn)為擺錘近似x-O-y平面中運(yùn)動(dòng)。下面進(jìn)行

9、受力分析：由于擺長(zhǎng)很長(zhǎng)，則可以認(rèn)為T R mg;科氏力F= -2ma x vII IF= -2m（a sin Xk + a cos 人 j） x v由假設(shè)可知單擺的速度向量v在x-O-y平面內(nèi)，則有 f=ma=mrf “-mr+fc1 C r r由于科氏力中的第二項(xiàng)-2ma cos Xj xv始終垂直于x-O-y 平面，則其在此平面的運(yùn)動(dòng)方程中不出現(xiàn)，由此簡(jiǎn)化得： m險(xiǎn)-號(hào)-2ma血九V。進(jìn)一步便可得出：S&- 2aj&sin X =y&- 2aXsin X =亨這樣我們就得出了傅科擺在x和y方向上的運(yùn)動(dòng)方 程。而解這兩個(gè)微分方程的難度是十分巨大的，但是通過 MATLAB可以輕松的進(jìn)行數(shù)值解析

10、和數(shù)值模擬。Matlab模擬為了更清晰直觀地感受與對(duì)比不同初始條件下的傅科擺 運(yùn)動(dòng)情況，我們借助MATLAB進(jìn)行運(yùn)動(dòng)圖像的繪制。各參 數(shù)取值如下：重力加速度g取9.8m/s2,擺長(zhǎng)L為67m,時(shí)間 t取0到100s變化角速度3取若rad/s （由于地球自轉(zhuǎn)的角速 度為7.27x10-7rd/s很小，為使曲線圖明顯，適當(dāng)放大3, 而放大后繪制的圖像不會(huì)引起圖像的形狀的改變）4o在不 同的設(shè)置條件下，傅科擺的軌跡的形狀和周期變化都會(huì)發(fā)生 改變。因此本文著重分析了在同一緯度不同的初始條件和不 同緯度同一初始條件下的傅科擺軌跡的圖像變化。首先，分析在相同的緯度初始條件不一樣的情況。本文 中對(duì)比的結(jié)果我

11、們選取了緯度值為北緯45。根據(jù)MATLAB 代碼的數(shù)值模擬以及微分方程的初始條件要求可以知道，在 模擬過程中輸入的初始條件格式是x, v, y, V。xy10.100110010011002100310010因此本文分別探究了在相同方向上初始速度和位移比值 變化以及垂直方向上初始速度和位移比值變化對(duì)于傅科擺的軌跡的影響。因?yàn)閿[動(dòng)軌跡在X-Y平面上的對(duì)稱性，我們 設(shè)計(jì)了上表中的初始條件：經(jīng)由MATLAB模擬可得如下結(jié)果：隨著初始速度和位移比值的增加，從上圖中1,0.0,0,0 到1,1,0,0，傅科擺在X-Y平面上的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生了顯著的 變化。從接近直線的運(yùn)動(dòng)逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閳@滑線的運(yùn)動(dòng)。即在較 大的

12、初始速度和位移比的情況下，在較小擺動(dòng)幅度范圍內(nèi)擺 錘的位置距離平衡的位置越來越近，而在最大擺幅位置由尖 角轉(zhuǎn)變?yōu)閳A角。但是，兩種比值情況下，擺的轉(zhuǎn)動(dòng)周期沒有 發(fā)生變化。發(fā)生這種情況的原因是在單擺處于最大擺幅位置 時(shí)垂直于徑向的速度不為零因此導(dǎo)致了尖角到圓角的過渡。由圖可以得到，隨著Y方向速度和X方向位移比值的 增加，傅科擺的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生了尖角到圓周再到近乎花瓣?duì)?的運(yùn)動(dòng)軌跡。這是因?yàn)樵谳^小的比值情況下單個(gè)擺動(dòng)平面內(nèi) 的傅科擺可以近似為單擺，而隨著比值的增加單擺逐漸向圓 錐擺過渡。而對(duì)于在相同緯度下的任意初始條件的傅科擺擺 動(dòng)軌跡均可以在擺動(dòng)幅度最大時(shí)的相互垂直的速度和位移的 比值轉(zhuǎn)化為上圖模擬

13、中的某種情況。隨后分析了在不同緯度相同初始條件（初始無速度）下 的擺的軌跡的變化。我們?cè)O(shè)計(jì)了初始條件為1,0,0,。,緯度 值從北緯到南緯分別為90, 60，30，-30，-60，-90.模擬 結(jié)果如下圖所示：由圖可以得到，隨著緯度的增加在相同時(shí)間內(nèi)擺動(dòng)平面 轉(zhuǎn)動(dòng)的角度也在逐漸增加，而在平衡位置時(shí)擺錘距離平衡中 心的距離也在增大。并且在北半球時(shí)即緯度為正值傅科擺的 轉(zhuǎn)動(dòng)方向是順時(shí)針方向，在南半球時(shí)則是逆時(shí)針方向。但是 不同的緯度并沒有對(duì)擺的運(yùn)動(dòng)軌跡產(chǎn)生影響。這是因?yàn)榭评?奧利力的大小和非慣性系得轉(zhuǎn)動(dòng)速度有關(guān)，直觀的表現(xiàn)便是 在赤道位置時(shí)大小接近為0,而在兩極時(shí)數(shù)值最大。總結(jié)分析通過對(duì)于坐標(biāo)系得分解可以相對(duì)容易得計(jì)算獲得科里奧 利力的表達(dá)形式，并且可以讓高中生深入理解科式力的作用 形式和來源。通過MATLAB模擬將傅科擺的軌跡方程這一 抽象的數(shù)理方程直接的表現(xiàn)為相應(yīng)的圖像，更為直觀的獲得 了影響傅科擺運(yùn)動(dòng)的軌跡的因素。在不同條件下擺的軌跡是 不一樣的。而傅科擺即初始相對(duì)速度為0,擺在最大擺幅處 自由擺動(dòng)，即為模擬中的垂直方向速度和位置的比值為零， 它的軌跡也是確定的，在數(shù)學(xué)上稱為內(nèi)旋線。隨之初始速度 和位移比值的增加，擺錘的運(yùn)動(dòng)軌跡由菊形線轉(zhuǎn)變?yōu)槎囗?yè)玫 瑰線和橢圓進(jìn)動(dòng)5，這些運(yùn)動(dòng)形式的相同點(diǎn)為擺錘擺至最大 幅角時(shí)，擺的相對(duì)速度不為零，而有橫向速度。