1、26對數函數1對數(1)對數：如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a為底N的_，記作x_.其中a叫做對數的，N叫做_(2)兩類重要的對數常用對數：以_為底的對數叫做常用對數，并把log10N記作_；自然對數：以為底的對數稱為自然對數，并把logeN記作_注：(i)無理數e2.718 28；(ii)負數和零沒有對數；(iii)loga1_，logaa_.(3)對數與指數之間的關系當a0，a1時，axNxlogaN.(4)對數運算的性質如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)_；logaeq f(M,N)_；logaMn_；一般地，logamMn_；(5)換底公式及對數恒等式對數恒

2、等式：alogaN_；換底公式：logab_ (a0且a1；c0且c1；b0)特別地，logab_.2對數函數的圖象及性質定義一般地，函數ylogax(a0，且a1)叫做對數函數圖象a10a1定義域_值域_性質過定點_在(0，)上是_在(0，)上是_3.對數函數與指數函數的關系對數函數ylogax(a0，且a1)與指數函數 yax(a0且a1)互為反函數；它們的圖象關于直線_對稱自查自糾：1(1)對數logaN底數真數(2)10lgNelnN(iii)01(3)(4)logaMlogaNlogaMlogaNnlogaMeq f(n,m)logaM(5)Neq f(logcb,logca)eq

3、f(1,logba)2(0，)R(1，0)增函數減函數3yx log5352logeq sdo9(f(1,2)eq r(2)log5eq f(1,50)log514的值為()A.eq f(3,2) B2 C3 D4解：原式log5eq f(3550,14)2logeq sdo9(f(1,2)2eq sup6(f(1,2)log55312.故選B. (eq avs4al(2018天津) 已知alog2e，bln2，c logeq sdo9(f(1,2)eq f(1,3)，則a，b，c的大小關系為 ()Aabc BbacCcba Dcab解：由題意結合對數函數的性質可知：alog2e1，bln2e

4、q f(1,log2e)(0，1)，clogeq sdo9(f(1,2)eq f(1,3)log23log2e.據此可得cab.故選D. (eq avs4al(2017北京)根據有關資料，圍棋狀態空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質的原子總數N約為1080.則下列各數中與eq f(M,N)最接近的是(參考數據：lg30.48) ()A1033 B1053 C1073 D1093解：設xeq f(M,N)eq f(3361,1080)，兩邊取對數，lgxlgeq f(3361,1080)lg3361lg1080361lg38093.28，所以x1093.28，即eq f(M,N

5、)最接近1093.故選D. (eq avs4al(2018全國卷)已知函數f(x) ln(eq r(1x2)x)1，f(a)4，則f(a)_.解：由題意得f(x)f(x)ln(eq r(1x2)x)1ln(eq r(1x2)x)1ln(1x2x2)22，所以f(a)f(a)2，f(a)2.故填2. (eq avs4al(2018禪城月考)已知函數f(x)|lgx|，若0ab，且f(a)f(b)，則2ab的取值范圍是_解：畫出y|lgx|的圖象如圖因為0ab，且f(a)f(b)，所以|lga|lgb|且0a1，所以lgalgb，所以ab1，所以2ab2eq r(2ab)2eq r(2)，當且僅當

6、eq blc(avs4alco1(2ab，,ab1，)即aeq f(r(2),2)，beq r(2)時等號成立故填2eq r(2)，)類型一對數的化簡與求值(1)已知3a4beq r(12)，則eq f(1,a)eq f(1,b)()A.eq f(1,2) B1 C.eq r(2) D2解：因為3a4beq r(12)，所以alog3eq r(12)，blog4eq r(12)，eq f(1,a) SKIPIF 1 0 ，eq f(1,b) SKIPIF 1 0 ，所以eq f(1,a)eq f(1,b) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 2.故選D.(2)求值

7、：eq f(lg8lg125lg2lg5,lgr(10)lg0.1)_.解：eq f(lg8lg125lg2lg5,lgr(10)lg0.1)eq f(lg1000lg10,f(1,2)lg10（lg10）)4.故填4.(3)若loga2m，loga3n，則a2mn_，用m，n表示log46為_解：因為loga2m，loga3n，所以am2，an3，a2mn(am)2an22312，log46eq f(loga6,loga4)eq f(loga2loga3,2loga2)eq f(mn,2m).故填12；eq f(mn,2m).點撥：對數式的化簡、求值問題，要注意對數運算性質的逆向運用，但無論

8、是正向還是逆向運用都要注意對數的底數須相同(1)(eq avs4al(2017北京東城區綜合練習)已知函數f(x)eq blc(avs4alco1(2x，x4，,f（x1），x4，) 則f(2log23)的值為()A24 B16 C12 D8解：因為32log230，且a1)的值域為y|y1，則函數yloga|x|的圖象大致是() A B C D解：由于ya|x|的值域為y|y1，所以a1，則ylogax在(0，)上是增函數，又函數yloga|x|的圖象關于y軸對稱因此yloga|x|的圖象應大致為選項B.故選B.(2)(eq avs4al(2017河北五校質監)函數yloga(x3)1(a0

9、，且a1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mxny20上，其中m0，n0，則eq f(2,m)eq f(1,n)的最小值為 ()A2eq r(2) B4 C.eq f(5,2) D.eq f(9,2)解：由函數yloga(x3)1(a0，且a1)的解析式知：當x2時，y1，所以點A的坐標為(2，1)，又因為點A在直線mxny20上，所以2mn20，即2mn2，又m0，n0，所以eq f(2,m)eq f(1,n)eq f(2mn,m)eq f(2mn,2n)2eq f(n,m)eq f(m,n)eq f(1,2)eq f(5,2)2eq f(9,2)，當且僅當mneq f(2,3)時等號成立，所

10、以eq f(2,m)eq f(1,n)的最小值為eq f(9,2).故選D.(3)(eq avs4al(2017衡水調研)已知函數f(x)eq blc(avs4alco1(log2x，x0，,3x，x0，) 且關于x的方程f(x)xa0有且只有一個實根，則實數a的取值范圍是_解：如圖，在同一坐標系中分別作出yf(x)與yxa的圖象，其中a表示直線在y軸上截距由圖可知，當a1時，直線yxa與ylog2x只有一個交點故填(1，)點撥：在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點(與坐標軸的交點、最高點、最低點等)排除不符合要求的選項一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象

11、問題，數形結合求解(1)(eq avs4al(2018張家界三模)在同一直角坐標系中，函數f(x)2ax，g(x)loga(x2)(a0，且a1)的圖象大致為()ABCD解：B中f(x)圖象與x軸交點橫坐標eq f(2,a)2，則0a1，g(x)單調遞減，矛盾，排除；C中由f(x)圖象知a0，排除；D中eq f(2,a)1，g(x)單調遞增，矛盾，排除，僅A正確故選A.(2)已知0m12m2，a0，且a1，若logam1m11，logam2m21，則實數a的取值范圍是()A(2，3) B(0，1)C(1，2) D(3，4)解：依題意，知方程式logaxx1有兩個不等實根m1，m2，在同一直角坐

12、標系下，作出函數ylogax與yx1的圖象，顯然a1，由圖可知m11，要使m22，需滿足loga221，即a2.綜上知：實數a的取值范圍是1a2.故選C.(3)(eq avs4al(2017合肥月考)當0 xeq f(1,2)時，4x1時 4x0，logax0eq blc(rc)(avs4alco1(0 xf(1,2)，不滿足條件，當0a1時，畫出兩個函數在eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)上的圖象，可知feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)geq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，即2eq f(r(2),2)，所以a的取值范圍為eq b

13、lc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)，1).故選B.類型三對數函數的性質及應用(1)(eq avs4al(2017天津一模)已知alog25，blog5(log25)，ceq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(0.52)，則a，b，c的大小關系為()Aabc BbcaCcba Dbac解：alog252，blog5(log25)(0，1)，c eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(0.52)(1，2)，可得bca.故選B.(2)設函數f(x)eq blc(avs4alco1(21x，x1，,1log2x，x1，)

14、則滿足f(x)2的x的取值范圍是 ()A1，2 B0，2C1，) D0，)解：當x1時，21x2，解得x0，所以0 x1；當x1時，1log2x2，解得xeq f(1,2)，所以x1.綜上可知x0.故選D.(3)函數f(x)log2eq r(x) SKIPIF 1 0)，所以當log2xeq f(1,2)，即xeq f(r(2),2)時，f(x)取得最小值eq f(1,4).故填eq f(1,4).點撥：在解決與對數函數相關的比較大小或解不等式問題時，要優先考慮利用對數函數的單調性來求解在利用單調性時，一定要明確底數a的取值對函數增減性的影響，同時注意真數必須為正(1)(eq avs4al(2

15、018全國卷)設alog0.20.3， blog20.3，則 ()Aabab0 Babab0Cab0ab Dab0ab解：因為alog0.20.3，blog20.3，所以eq f(1,a)log0.30.2，eq f(1,b)log0.32，eq f(1,a)eq f(1,b)log0.30.4，所以0eq f(1,a)eq f(1,b)1，即0eq f(ab,ab)0，b0，所以ab0，即abab0，,log2alog2a)或eq blc(avs4alco1(alog2（a），)解得a1或1a0.故選C.(3)設a，b，c均為正數，且2alogeq sdo9(f(1,2)a，eq blc(r

16、c)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(b) logeq sdo9(f(1,2)b，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(c)log2c，則 ()Aabc BcbaCcab Dbac解：因為a0，所以2a1，所以logeq sdo9(f(1,2)a1，所以0aeq f(1,2).又因為b0，所以0eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(b)1，所以 0logeq sdo9(f(1,2)b1，所以eq f(1,2)b1.又因為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(c)0，所以 lo

17、g2c0，所以c1，所以0aeq f(1,2)b1c.故選A.類型四對數函數的綜合問題已知函數f(x)logeq sdo9(f(1,2)(x22ax3)(1)若f(x)的定義域為R，求實數a的取值范圍；(2)若函數f(x)的值域為R，求實數a的取值范圍；(3)若函數f(x)在1，)內有意義，求實數a的取值范圍；(4)若函數f(x)的值域為(，1，求實數a的值解：(1)由f(x)的定義域為R，知x22ax30的解集為R，則4a2120，解得eq r(3)aeq r(3).所以a的取值范圍為(eq r(3)，eq r(3)(2)函數f(x)的值域為R等價于ux22ax3取(0，)上的一切值，所以只

18、要umin3a20 aeq r(3)或aeq r(3).所以實數a的取值范圍是(，eq r(3)eq r(3)，)(3)由f(x)在1，)內有意義，知u(x)x22ax30對x1，)恒成立，因為yu(x)圖象的對稱軸為xa，所以當a1時，u(x)minu(1)0，即eq blc(avs4alco1(a1，,2a40，) 解得2a1；當a1時，u(x)minu(a)3a20，即eq r(3)aeq r(3)，所以1aeq r(3).綜上可知，a的取值范圍為(2，eq r(3)(4)因為yf(x)1，所以u(x)x22ax3的值域為2，)，又u(x)(xa)23a23a2，則有u(x)min3a2

19、2，解得a1.點撥：利用對數函數的性質，求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的另外，解題時要注意數形結合、分類討論、化歸與轉化思想的使用(1)(eq avs4al(2016青海平安一中月考)已知函數f(x)logeq sdo9(f(1,2)(x2axa)在區間(2，)上是減函數，則實數a的取值范圍是_解：令t(x)x2axa，則由函數f(x)在區間(2，)上是減函數，可得函數t(x)在區間(2，)上是增函數，且t(2)0，所以eq blc(a

20、vs4alco1(f(a,2)2，,t（2）4a0，) 解得a4，所以實數a的取值范圍是a4.故填(，4(2)(eq avs4al(2016南京師大附中等四校聯考)若函數 f(x)eq blc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(x3)，x2，,logax，x2)(a0且a1)的值域是2， )，則實數a的取值范圍是_解：當x2時，f(x)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(23)2，即函數的值域為2，)；當x2且a1時，f(x)loga2，即函數的值域為(loga2，)，由(loga2，)2，)，得loga22，解

21、得12且0a1時，f(x)1，) g(x)|xk|x1|，若對任意的x1，x2R，都有f(x1)g(x2)成立，則實數k的取值范圍為_解：對任意的x1，x2R，都有f(x1)g(x2)成立，即 f(x)maxg(x)min，由yf(x)的圖象(如圖)可知，當xeq f(1,2)時，f(x)取最大值，且f(x)maxeq f(1,4)；因為g(x) |xk|x1|xk(x1)|k1|，所以g(x)min|k1|，所以|k1|eq f(1,4)，解得keq f(3,4)或keq f(5,4).故填eq blc(rc(avs4alco1(，f(3,4)eq blcrc)(avs4alco1(f(5,

22、4)，).已知函數f(x)loga(3ax)(a0且a1)(1)當x0，2時，函數f(x)恒有意義，求實數a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數a，使得函數f(x)在區間1，2上為減函數，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由解：(1)設t(x)3ax，則t(x)是關于x的一次函數，從而eq blc(avs4alco1(t（0）0，,t（2）0，) 所以a0且a1，所以a(0，1)eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2).(2)t(x)3ax，因為a0，所以函數t(x)為減函數因為f(x)在區間1，2上為減函數，所以ylogat為增函數，所以a1，x1

23、，2時，t(x)最小值為32a，f(x)最大值為f(1)loga(3a)，所以eq blc(avs4alco1(32a0，,loga（3a）1，) 即eq blc(avs4alco1(af(3,2)，,af(3,2).)故不存在這樣的實數a，使得函數f(x)在區間1，2上為減函數，并且最大值為1.點撥：確定函數的定義域，研究或利用函數的性質，都要在其定義域上進行如果需將函數解析式變形，一定要保證其等價性，否則結論錯誤在解決與對數函數相關的比較大小或解不等式問題時，要優先考慮利用對數函數的單調性來求解在利用單調性時，一定要明確底數a的取值對函數增減性的影響，及真數必須為正的限制條件(eq avs

24、4al(2018安徽蚌埠月考)已知函數f(x)log4(4x1)2kx(kR)是偶函數(1)求k的值；(2)若方程f(x)m有解，求實數m的取值范圍解：(1)由函數f(x)是偶函數，可知f(x)f(x)，所以log4(4x1)2kxlog4(4x1)2kx，即log4eq f(4x1,4x1)4kx，所以log44x4kx，所以x4kx，即(14k)x0對一切xR恒成立，所以keq f(1,4).(2)由mf(x)log4(4x1)eq f(1,2)xlog4eq f(4x1,2x)log4eq blc(rc)(avs4alco1(2xf(1,2x)，因為2xeq f(1,2x)2，當且僅當x

25、0時等號成立，所以mlog42eq f(1,2).故要使方程f(x)m有解，實數m的取值范圍為eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，).1熟練掌握指數式與對數式的互化，它不僅體現了兩者之間的相互關系，而且為對數的計算、化簡、證明等問題提供了更多的解題途徑2比較兩個對數的大小的基本方法(1)若底數為同一常數，則由對數函數的單調性直接進行判斷；若底數為同一字母，則需對這一字母進行分類討論(2)若底數不同真數相同，則可先換底再進行比較(3)若底數與真數都不同，則常借助1，0等中間量進行比較3作對數函數ylogax(a0，且a1)的圖象應抓住三個點eq blc(rc)(avs4alco

26、1(f(1,a)，1)，(1，0)，(a，1)1計算：eq blc(rc)(avs4alco1(lgf(1,4)lg25) SKIPIF 1 b0，0c1，則()Alogaclogbc BlogcalogcbCaccb解：因為0c1，所以ylogcx在(0，)上單調遞減，又0ba，所以logcalogcb.故選B.4定義在R上的函數f(x)滿足f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且x(1，0)時，f(x)2xeq f(1,5)，則f(log220)的值為 ()A1 B.eq f(4,5) C1 Deq f(4,5)解：由f(x2)f(x2)，得f(x)f(x4)，因為4log2200，且a

27、1)的值域是4，)，則實數a的取值范圍是_解：當x2時，f(x)4；又函數f(x)的值域為4，)，所以eq blc(avs4alco1(a1，,3loga24，) 解1a2，所以實數a的取值范圍為(1，2故填(1，29(eq avs4al(2016衡陽月考)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且f(0)0，當x0時，f(x)logeq sdo9(f(1,2)x.(1)求函數f(x)的解析式；(2)解不等式f(x21)2.解：(1)當x0，則f(x)logeq sdo9(f(1,2)(x)因為函數f(x)是偶函數，所以f(x)f(x) logeq sdo9(f(1,2)(x)，所以函數f(x)

28、的解析式為f(x)eq blc(avs4alco1(logsdo9(f(1,2)x，x0，,0，x0，,logsdo9(f(1,2)（x），x0.)(2)因為f(4)logeq sdo9(f(1,2)42，f(x)是偶函數，所以不等式f(x21)2轉化為f(|x21|)f(4)又因為函數f(x)在(0，)上是減函數，且f(0)0f(4)2.所以|x21|4，解得eq r(5)x0，且a1)的最大值是1，最小值是eq f(1,8)，求a的值解：由題意知f(x)eq f(1,2)(logax1)(logax2)eq f(1,2)(logax)23logax2eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(logaxf(3,2)eq sup12(2)eq f(1,8).當f(x)取最小值eq f(1,8)時，logaxeq f(3,2).又因為x2，8，所以a(0，1)因為f(x)是關于logax的二次函數，所以函數f(x)的最大值必在x2或x8時取得，若eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(loga2f(3,2)eq sup12(2)eq f(1,8)1，則a2eq f(1,3)，此時f(x)取得最小值時，x(2eq f(1,3)eq f(3,2)eq r(2)2，8，舍去. 若eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(loga